Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 10

Рассмотрим новую систему, в которой все аксиомы те же самые, что и в системе Гильберта, кроме аксиомы параллельности, вместо которой помещено е6 отрицание (т. е. утверждается, что можно указать такую прямую и точку вне е6, что через точку можно провести более заной прямой, не пересекающей данную прямую н лежащей с ней в одной плоскости). Представим себе, что мы установили непротиворечивость этой новой системы аксиом.

Отсюда сейчас же следует, что аксиома параллельности независима от остальных аксиом. В самом деле, если бы она была их следствием, то она вытекала бы и из новой системы аксиом (в которой все прежние аксиомы, кроме аксиомы параллельности, содержатся). А так как в новой системе аксиом содержится и отрицание аксиомы параллельности, то новая система аксиом, вопреки установленному, содержала бы противоречие. Итак, лля доказательства независимости данной аксиомы от остальных достаточно доказать непротиворечивость той системы аксиом, которая получается, если данную аксиому заменить е6 отрицанием, а остальные аксиомы оставить без изменения, В нашем случае задача сводится, очевидно, Ф к доказательству непротиворечивости неевклидовой геометрии Лобачевского.

Когда ставился вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии, то мы сводили его к вопросу о непротиворечивости арифметики пут6м аналитической интерпретации, Аналогичным образом вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского можно свести к вопросу о непротиворечивости евклидовой геометрии пут6м, например, проективной интерпретации Кэпи-Клейна геометрии Лобачевского. На эту интерпретацию Гильберт и ссылается.

Возьмби в евклидовом пространстве шар и условимся понимать под точками — точки внутри шара, под прямыми в отрезки, имеющие концы на поверхности шара, под плоскостями— внутренности кругов, полученных сечением шара плоскостями.

Принадлежность понимается в обычном смысле, порядок точек на прямой — тоже в обычном смысле, а под конгруентностью двух отрезков или углов понимается возможность совместить эти отрезки (или углы) в результате такой коллинеации (проективного преобразования) пространства в себя, при которой внутренность шара переходит в себя (подробное изложение вопроса см, Клейн, Неевклидова геометрия).

Можно проверить, что при таком истолковании (интерпретации) основных геометрических понятий оказываются верными все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы параллельности, которая заведомо неверна. Лругими словами, мы имеем интерпретацию геометрии Лобачевского, при которой нсе основные понятия, а значит, и все предло«кения этой геометрии истолкованы как некоторые понятия и предложения евклидовой геометрии. Так как при этой интерпретации аксиомы геометрии Лобачевского имеют место, то, если бы они приводили к противоречию, мы получили бы противоречие и в интерпретации, Но в интерпретации предложения геометрил Лобачевского истолкованы как предложения евклидовой геометрии; следовательно, мы получили бы противоречие в этой последней, Поэтому если мы признабм евклидову геометрию непротиворечивой, то и геометрию Лобачевского нам придется признать в такой же степени непротиворечивой.

4« и. к. Рлшевскнй б2 О )10БАВЛЕНИЯХ г» Лалее (В 11) Гильберт доказывает независимость аксиомы Н! от всех остальных; дело в том, что эта аксиома на первый взгляд представляется слишком сложной и гроиоздкой, япохожей на теорему». Однако доказательство неззвисимости показывает, что мы не можем отбросить эту аксиому, так как из остальных она не вытекает. Наконец (Э 12), показываетсв, что аксиома Архимеда независима от предыдущих аксиом ! — !Ч, С этой целью строится незрхимедовз геометрия в узком смысле, т.

е. геометрия, в которой ах~нома Архимеда заведомо неверна. В немецком издании 1930 года к основному тексту книги приложены в качестве дополнений десять статей, написзнных Гильбертом в разное время; эти статьи переведены полностью. О статьях Ч! — Х, посвященных основаниям мзтематикн, мы выше уже говорили, Статьи ! — Ч носят геометрический характер; в них исследуются отдельные проблемы, ценные сами по себе, но чрезвычайно разнородные и несравнимо более узкого характера, чем солержанне основного текста. Только статья Я (исследование плоской геометрии, лишйнной зеркальной симметрии) и ГН (построенне геометрии Лобачевского без участия аксиом непрерывности) по стилю примыкают к основному тексту; остальные имеют к нему лишь косвенное отношение. Не только по своей весьма специальной тематике, но в значительной степени и по характеру изложения дополнительные статьи рассчитаны на читателя-специалиста, В связи с этим при переводе по отношению к ним не ставилась га задача, которая была поставлена для основного текста: дать подробные примечания, восполняющие во всйм существенном часто чрезмерно беглое изложение автора.

Д. ГИЛЬ Б БРТ еометрия, —.так же как и арифметика,— требует Г для своего построении только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются а к с и о мами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — зто зааача, которая со времвн Е в к л и л а являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного прелставления.

Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из зтнх аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при атом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом. Г Л. А З .А П В Р В .А Я а 2, паРвля ГРуппА Аксиом ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ 2 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом ы мыслим три различные системы вещей ['1: 1 ! вещи нерпой системы мы называем точьами и обозначаем А, В, С, ...; вещи вт о рой системы мы называем прямыми и обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, р, у, ...; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые — влементами плоской геометрии [»), точки, прямые и плоскости — элементами просгпранственной геомепгрии или элемевппами пространства.

Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то; «лежать», «между», «конгруентный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии.. Аксиомы геометрии мы можем разбить на пять групп. Каждая из этих групп выражает определенные, связанные друг с другои основные результаты нашего опыта. Мы буден называть эти группы следующим образои: ! 1 — 8 аксиоиы соединения (принадлежности), П 1 — 4,аксиомы порядка, !!1 ! — 5 аксиомы конгруентности, !Ч аксиома о параллельных, У 1 — 2 аксиомы непрерывности.

$2. Первая группа акеиояп аксиомы соединения (принадлежности) [«1 Аксиомы этой группы устанавливают отношения принадлежности между введанными выше вещачн — тачками, прямыми и плоскостями — н гласят следующим образом: 1,. Лля любых двух точек А, В существует прлмал а, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В. 1 . для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.

Здесь, как и в последующем, под двумя, тремя, точками (прямыми, плоскостями) всегда подразумеваются р а зл и ч н ы е точки (прямые, плоскости). Вместо термина «принадлежат» мы будем пользоваться также и другими формулировками. Например, вместо прямая а принадлежит каждой из точек А и В, мы будем говорить: прямая а проходит через точки А и В илн прямая а соединяет точку А с точкой В; вместо А принадлежит а, мы будем говорить: А лежит на а, или А является точк ой а и т. и. Если точка А лежит на прямой а и, кроме того, на прямой Ь, то мы будем также говорить: и ря м ые а и Ь пересекаются в точке А, имеют общую точк у А и т.

и. 1,, гга прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точкщ не лежащие на одной прямой. 1. г(ля любых трйх точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость а, принадлежащая каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка. Мы будем также употреблять выражения: А лежит на а, А есть точка а и т. и. 1. Тля любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этик точкам.

1«. Если две точки .4, В прямой а лежат в плоскости а, то всякая точка прямой а лежит в плоскости а. 58 в 3 втогля ГРуппА Аксиом ГЛ. 1. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ В этом случае мы говорим: прямая а лежит в плоскости а и т. и. 1,. Если две плоскости а и р имеют общую точку А, то они имеют по крайней .Иере ещй одну общую точку В. 1. Существуют ло крайней мере чегпыре точки, не лежащие в одной плоскости. Аксиома 1, выражает, что пространство имеет ие более трйх измерений; напрэтив, аксиома 1, выражает, что пространство имеет не менее трах измерений. Аксиоь«ы 1,, иожно назвать плоскостными аксиомами группы 1, в отличие от аксиои ! „котэрые я назову пространственными аксиомами хруппы 1.

Вз теорем, вытекающих из аксиом 1,, я упомяну только следующие две; Теорема 1. Две прямые, лежащие в одной и той же плоскости, имеют либо одну общую точку, либо не имеют ни одной. Две плоскости либо не ииеют ни одной общей точки, либо имеют общую прямую и никаких других (не ле1кащих на этой прямой) общих точек. Плоскость и не лежащая на ней пряная либо не имеют общей точки, либо имеют одну общую точку. Т е орем а 2.