Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 12

При надлежащем выборе названия для обеих областей, в плоскости будут существовать прямые, целиком проходящие во внешней области многоугольника, и, наоборот, ие будет существовать ни одной пря- й< мой, целиком лежащей в его внутренней области А' [черт, 10) [>г). Т е о р е м а 10. Каждая плоскость а разбивает про- в чие точки пространства на две области, обладающие следующим свойством: любая Черт. 1О.

точка А одной из областей совместно с любой точкой В другой области определяет отрезок АВ, внутри которого лежит точка плоскости а; наоборот, любые две точки А и А' одной н той же области определяют отрезок АА', не содержащий ни одной точки плоскости а [>е). О и р е д е л е н и е. Мы. будем говорить, что точки А и А' — мы пользуемся здесь обозначениями теоремы 1О— в пространстве находятся по одну и ту же стороНу от плоскости а, а точки А и В в Пространстве находятся по разные стороны от плоскости а. 5 д.

Гияьверт ГЛ. 1. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ АВ=А'В', то А'В'= АВ [1«1; АВ= А'В' если А'В' == А'В', АВ= А'В'. то АВ = — А«В'. АВ: — А'В', АВ: — В'А', ВА = — А'Ь', ВА = В'А' Черт. 1!. Теорема 1О выражает важнейшие факты, касающиеся расположения элементов в и р о с т р а н с т в е; эти факты, таким образом, являются лишь следствиями до сих пор рассмотренных аксиом: группа !! не нуждается ни в каких новых и р ос т р а н с т в е н н ы х аксиомах. ф б.

Третья группа аксиом: аксиомы конгруентиости Эти аксиомы определяют понятие конгруентиости и тем самым понятие движения. Отрезки [в некоторых случаях~ находятся в определенном соотношении друг с другом; для обозначения этого соотношения служат слова «лонгруентен» или «равен» [111, 1!!1, Если А, В суть две точки на прямой а и А'— точка На гной же прямой ипи Нл другой прямой а', то всегда можно найти точггу В', лежащую по данную от точки А' сторону прямой а', и притом такую, что отрезок АВ конгруенп1«н, иначе говоря, равен отрезку А'В'. Конгруентность отрезка АВ отрезку А'В' обозначается следую щи и о бра зом: Эта аксиома дает возможность откладывать отрезки, Одиозна чность такого откладывания будет доказана впоследствии.

Отрезок был определен просто как система двух точек, которая обозначалась через АВ или через ВА, Насчет порядка, в котором эти точки следуют одна за другой, в опрелелении не было ничего сказано; поэтому записи имеют олин и тот же смысл. !!1, Если отрезок А'В' и отрезок А"В" конгруентны одному и тому же о»пргзку АВ, то отрезок А'В' конгруентен также и отрезку А"В"; короче говоря, если два отрезка конгруентны третьему, то они конгруентны гпанже друг другу. э 5. ТРЕТ!*Я ГРУППА АКСИОМ бт Так как конгруентность, илн равенство, вводится здесь впервые этими аксиомами, то кон груентность любого отрезка самому себе сначала отнюдь не представляется само собой разумеющимся фактом; однако этот факг следует из первых двух аксиом конгруентности: отложим отрезок АВ на каком-либо луче, т.

е, построим отрезок А'В', конгруентный АВ, и применим затем к конгруентностн АВ=А'В' и АВ=А'В' аксиому !!!г. На основании этого получается палее, с помощью применения аксиомы !!1„ что конгруентность отрезков обладает свойствами симмеп1рии и тринзитивно«1ли, т, е. что справедливы теоремы. если Вследствие симметрии конгруентности отрезков можно пользоваться выражением: два отрезка «конгруентны друг другу», !!1,. Оусть АВ и ВС суть два отргзка прямой а, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, А'В' и В'С' суть два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие общей точки [черт.

11~; б» гл. и пять гггпп лионом если лри юлом АВ: — А'В' и ВС = — В'С', то и АС= А'С', Эта аксиома выражает требование в о з м о ж н о с т и складывать отрезки. Откладывание углов трактуется совершенно так хге, как и откладывание отрезков. Правда, кроме возможности откладывания углов приходится аксиоматически потребовать ещв и е д и н с т в е н н о с т ь такого откладывания; транзитивность и возможность складывания углов доказуемы. О и р е д е л е н и е. Пусть а — произвольная плоскость, а Ь и Й вЂ” какие-то ее два луча, различные, исходящие из одной и той же точки О и принадлежащие ра зличны м прямым. Систему таких двух лучей Ь, й мы называем углом и обозначаем еч так: »С(Ь, й) или бг (й, Ь).

Лучи Ь, й называются сторонами угла, а точка Π— вершиной угла. Развернутые и сверхтупые углы этим определением исключаются. Пусть луч Ь принадлежит пряной Ь, луч й — прямой й, Лучи й и й совместно с точкой О лепят остальные точки плоскости а на две области; одну область составляют точки, которые лежат от Й по одну сторону с Ь и от Ь по одну сторону с й, — про них говорят, что онн лежат в н ут р и угла бС (Ь, й); про остальные точки гОворят, что они лежат вне этого угла. На основании аксиом [групп~! и!! легко показать, что обе области содержат точки и что отрезок, соелиняюший дае точки внутри угла, целиком прохолит внутри угла.

Точно так же легко доказать следующие теоремы: отрезок НК, соединяющий точку Н, лежащую на Ь, с точкой К, лежащей на Й, целиком проходиг внутри угла эс.(Ь, й); луч, исходящий из точки О, либо целиком лежит внутри угла ~(Ь, й), либо целиком лежит вне этого угла; луч, лежащий внутри угла бС (Ь, й), встречает отрезок НК.

Если А— ф 5. ТРЕТЬЯ ГРУППЛ ЛКСИОМ точка одной области и  †точ другой области, то вся,кая ломаная, [лежащая в плоскости угла и) соелиняющая точки А и В, или проходит через точку О, или имеет либо с Ь, либо с й общую точку; если же А, А' — точки Одной и той же области, то всегда [в плоскости угла~ существует ломаная, соединяющая точку А с точкой А' и не проходящая ни через точку О, ии через одну из точек лучей Ь и й [~в) Углы [в некоторых случаях~ находятся один к другому в определенном соотношении, для обозначения которого нам служат слова «конгругитгн» или «равен». 111«. Пусть даны угол бС(Ь, й) в плоскости а и прямая а' в плоскости и', а гиихже вполне опрвдглднная ло онгногигнию прямой а с»лорана плоскости а'. Пусть й' обозначает луч прямой а', исходящий из точки О'; в пи«ком случае в алоснослш а' сущгсгпвувт один а только один луч й', обладающий следующим свопсгпвом; угол С(Ь, й) хонгрувнтгн, иначе говоря, равен углу ~(Ь', й'), и вмвси~в с твм всв внутреннив точки угла' ~(Ь', й') находятся в плоскости а', ло данную.

сторону от прямоп а'. Коигруентность угла эС (Ь, й) углу ЬС (Ь, й ) обозна чают та к: ~(Ь, й) = <(Ь', Й'). Каждый угол нонгрувнтен самолгу себе, т. в. всегда ~С (Ь, Й) = бг, ( Ь, й), Короче говоря: каждый угол может быть отложен [ге) одним единственным способоч в заданной плоскости, при заданном луче по заданную его сторону. При определении угла мы не обращали внимания на направление вращения, подобно тому как при опрелелении отрезка мы не обращали внимания на его направление. Поэтому записи ~С (Ь, Й) Р— п < (Ь', Й') < (Ь, й) = Х (й', Ь'), Х(й, Ь)— : Ш,й'), Х(й. Ь)= К(й',й') имеют олин и тот хсе смысл.

ГЛ. 1. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ П о я с н е н и е. Угол с вершиной в точке В, на одной стороне которого лежит точка А, а нз другой — точка С, обозначается тзкже символом .:С АВС или, короче, ~ В, Углы обозначаются также малыми греческими буквами, И!,. Если длн двух треугольников АВС и А'В'С имеют меспго конгруентности АВ=АВ', АС: — А С', ~ ВАС= ~ В АС, то имеегп место также и конгруентность ф б. слвдстэиЯ из АксиОм конГРУЯитности 71 случае точку С', лежащую вне прямой А'В'.

Мы имеем конгруенцин. А'В':= А'В", А'С'= А'С, ~ В'А'С'= — ~" В'А'С'. Поэтому, в силу аксиомы Ш,, эГ А'СВ'== ьт А С'В", что противоречит аксиоме Ш„требующей однозначности откладывания угла. ~АВС=— ~А ВС. Понятие треугольника было определено на стр. 64. Переменив обозначения, мы найдйм, что при выполнении условий последней аксиомы всегда имеют место д в е к о нгруентности: ~ АВС= ~ А'В'С' и ~ ьАСВ: — ~ А'С'В'. Аксиомы Ш,, содержат утверждения, касзющиеся лишь конгруентиости отрезков; их можно поэтому называть линея- ными аксиомами группы Ш.

Аксил В ома И)ь содержит утверждение, касающееся конгруентности углов. Аксиома 1И связывает между собой понятия о конгруентности отрезков и углов, Аксиомы И! и И1, содержат утверждения относительно л' В )Г" элементов геометРии на плоскости и поэтому могут быть названы плоЧерт. 12. скостными аксиомами группы 1И, Однозначность откладывания отрезков вытекает из единственности откладывания углов и получается с помощью аксиомы )И .

Предположим, что отрезок АВ может быть отложен на луче, исходящем из точки А', двояким образом, именно зо точки В' и до точки В' )черт. 12). Рассмотрим в таком ф 6. Следствия из аксиом коягруентяостя Определение. Если у двух углов, имеющих общую вершину ну и общую сторону необщие стороны составляют \ олну пр у рямую то эти углы называются смежными, Если у двух углов, имеющих общую вершину, стороны попарно составляют прямые линии, то такие углы называются верти- кальными.

Угол, конгруентный своему смежному, называется ПРЯЛГЫМ. Докажем рял следующих теорем. Теорема 11. В треугольнике с двумя конгруентными сторонзми углы, противолежащие этим сторонам, конгруентны, или, короче: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, Эта теорема следует из аксиомы Н! и последней части аксиомы И1, [г11. О п р е д е л е н и е. Треугольник АВС назывзется кон- груентным треугольнику А'В'С', если конгруентности АВ= А'В', АС= А'С', ВС= В'С, ~ А= :ь А', у В= ~В', ~С= — у: С' выполняются одновременно. Теорема 12 (первая теорема о коигруентн о с т и т р е у гол ь н и к о в). Треугольник АВС конгруентен треугольнику А'В'С, если имеют место конгруеитности АВ = — А'В', АС = А'С', ~.

А = ~ А'. ГЛ. Г. ПЯТЬ ГРУПП ЛКСИОМ ОВ = — 0'В'. у. В = э. В', ~ С = ~ С'; д / Черт. 14. Черт. 13. Д о к а за т е л ь ство. Согласно аксиоме 1!1„должны выполняться конгруентностн: поэтому нам остайгся только доказать, что стороны ВС и В'С' конгруентны друг другу. Предположим противное, именно, положим, что ВС не конгруентно В'С', и определим на В'С' точку О' [черт. 13) так, чтобы ВС— : В'0'. Тогда, применив аксиому 111, к треугольникам АВС и А'В'0', мы найдем, что ~С ВАС= — ~ В'А'О'. Таким образом, получается, что угол бС ВАС конгруентен как углу ~ В'А'0', так и углу ~С В'А'С'! это, однако, невозможно, так как согласно аксиоме 111, любой угол в данной плоско. сти может быть одним единственным способом построен при данном луче по данную его сторону.