Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 13

Таким образом, доказано, что треугольник АВС конгруентен треугольнику А'В'С', Так же легко доказывается следующая теорема. Теорема 13 (вторая теорема о конгруентности тре у голь н иков). Треугольник АВС конгруентен треугольнику А'В'С', если имеют место конгруепт- ности АВ= — А В ~А: — ~СА ~В=~В [ ] Теорем а 14. Если угол р.

АВС конгруентен другому углу ~С А'В'С', то угол С СВО, смежный с первым из них, конгруентен ~ С В'О, смежному со вторим Доказательство. Выберем точки А',С',0' на сторонах углов, исходящих из точки В' так, чтобы имели 5 б. Следствия из лксиом конгггентности 73 $ место конгруентиости [черт. 14): АВ = А'В', СВ = С'В', Из теоремы 12 следует в таком случае, что треугольник АВС конгруентен треугольнику А'В'С', т. е. что имеют место конгруеитности: АСж А'С', ~ ВАС = — ~С В'А'С'.

А так как, в 'силу аксиомы !П„отрезок АО конгруентен отрезку А!О', то из той же теоремы 12 следует, что треугольник САО конгруентен треугольнику С'А'О', т, е. что справедливы конгруентности: СО: — С О, ~с АОС = — ~С А О С . Рассматривая треугольники ВСО и В'СО', мы можем теперь, в силу аксиомы 111, написать: эС СВО: — эг, С'В'0'. Как непосредственное следствие теоремы 14, мы получаем теорему о конгруентности вертикальных у гло в. Далее из этой же теоремы следует суще ст вова н ие п р я и ы х у г л о в (см. стр. 71). Действительно, если от точки О построить прн луче ОА по обеего стороны олин и тот же угол и на проведенных лучах отложить от точки О конгруентные отрезки ОВ= — ОС [черт.

151, то отрезок ВС пересечет прямую ОА в некоторой точке О. Если при гл. ь пять гггпп аксиом этом точка О совпадет с точкой О, то углы ~ ВОА и ~ СОА будут равными смежными углами, а поэтому и прямыми угламн, Если точка О лежит на луче ОА, то, согласно построению, бг,ООВ— : ~ ООС; если же О лежит на другом луче, то указанная конгруентность следует из д Черт. 15. теоремы (4. Согласно аксиоме (Вя, каждый отрезок конгруентен самому себе, ОО==ОО, а потому, в силу аксиомы В(м < ООВ= <ООС [231. Теорема !5. Пусть Ь, Ь, 1 и И', Ь', 1' [черт.

(61 суть две тройки лучей, каждая из которых исходит из одной точки и лежит в одной плоскости; эти точки мы обозначим соответственно буквами О и О', а плоскости — а и а'. При этом пусть пары лучей И, Ь и И', Ь' либо обе 0 д',, Г Черт. 16. лежат по одну сторону, либо обе лежат по разные стороны от соответствующих лучей 1, 1'. Тогда из конгруентностей ~ (И,1) = — ~ь: (Ь', 1'), ~ (Ь, 1) = ~, (Ь',1') следует, что эС(Ь, Ь)= ~ (Ь',Ь'). Д о к а з а т е л ь с т в о будет приведено для того случая, когда И и й лежат по одну сторону от 1; в этом случае 6 б.

слвдствия из. аксиом конгяхвнтности 75 И' и Ь', согласно условиям, также лежат по одну сторону от 1'. Другой случай с помощью теоремы (4 сводится к рассматриваемому. Из сказанного на стр, 68 следует, что либо луч Ь проходит внутри угла бс (Ь, 1), либо луч Ь вЂ” внутри угла ~ (Ь, 1) ['а~. Обозначения выбраны нами так, что луч Ь проходит внутри угла ~ (Ь, 1). Вы.

берем на сторонах Ь, Ь', 1, 1' точки К, К', Е, Е' так, чтобы ОК= О'К' и ОЕ= — О'Е'. В силу одной из теорем, указанных на стр. 68, луч Ь пересекает отрезок КЕ в точке Н. Выберем точку Н' на луче Ь' так, чтобы ОН= — О'Н'. В треугольниках 01.Н и О'Е'Н', а также в треугольниках ОЕК и О'Е'К', в силу теоремы (2, следующие элементы конгруентны: < ОЕН:= < О'Е'Н', Х ОЕК= — Х О'Е'К', ЕН— : Е'Н', ЕК вЂ”: Е' К' и, наконец, .р. ОКЕ = р.

О'К' !.'. Согласно аксиоме (((„в заданной плоскости при данном луче по данную сторону от него можно отложить угол одним единственным способом. Точки Н' и К', согласно предположению, лежат по одну сторону от 1', а потому, в силу первых двух из вышеуказанных конгруентностей между углами, точка Н' лежит на прямой 1.'К'. А отсюда, на основании выписанных выше конгруентностей между отрезками и в силу аксиомы Ш , легко получается, что НК= Н'К'. Из конгруентностей же ОК =— О'К'; НК= — Н'К'; ~ ОКЕ:— ~ О'К'Е', в силу аксиомы Ш, следует справедливость доказываемой нами теоремы [я').

Таким же образом мы устанавливаем следующий факт. Теорем'а !6. Пусть угол ~(Ь,Ь), лежащий в плоскости а, конгруентен углу ~(Ь', Ь'), лежащему в плоскости а'. Пусть, кроме того, 1 — луч, лежащий в плоскости и, исходящий из вершины угла ~(И,Ь) и проходящий внутри этого угла, При этих условиях в плоскости а' существует один и только один луч 1', исходящий из вершины угла ьс(Ь, Ь') и проходящий внутри этого угла так, что 4" (Ь 1)= ~С (И' 1') и ~~ (Ь 1)= ~(Ь' !') [га1 76 гл. и пять гггпп лксиом $ 6.

сле>(ствия из аксиом конгггвнтности Перейдбм к доказательству третьей теоремы о коигруентности и того факта, что конгруентность углов обладает свойством симметрии. Для этого мы сначала выведем из теоремы 15 следующее следствие. Теорема 17. Если две точки е.> и Я расположены с различных сторон прямой ХГ и если прй этом имеют место конгруентности ХЕ>=— ХАг и )Х> =)~ю Ге ге ~ХУг,=~ Ит,. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 11 г~ ХЛ>гг='~ Хазе> и бС )'Е>Яг = 9. )ее.гд >, а потомУ Черт. 17.

из теоремы 15 [гг) следует, что '~ ХУ>1'— : бС ХЕг)е [черт. 17) . В особом случае, когда точка Хили точка )е лежат йа отрезке Я12г, доказательство ещб проще. Из последней конгруентности и конгруентностей ХЛ> == Хег и е'е.> = )ед,„ в силу аксиомы !П„ следует справедливость нашего утверяшения: 6>. Х)еЕ,: — бг, Х)еЕ .

Теорема 18 (третья теорема о конгруентности треугольников). Если в двух треугольниках АВС и А'В'С' соответственные стороны конгруентны, то [эти~ треугольники конгруентны. Доказательство. Как доказано на стр. 67, конгруентность отрезков обладает свойством симметрии, а потому достаточно доказать, что треугольник АВС конгруентен треугольнику А'В'С' [черт. 18~7 От точки А' по обе стороны луча А'С' отложим по лучу так, чтобы угол бС ВАС был конгруентен каждому из двух углов, образуемых ими с лучом А'С .

На луче, лежащем поту же сторону от прямой А'С', что и точка В', выберем точку В, так, чтобы А'Вг: — АВ, а на другом луче выберем точку В" так, чтобы А'В" = АВ. Согласно теореме 12, ВС= — В С' и точно так же ВС= В"С'. Из этих двух конгруентностей и конгруентностей, указанных в условии теоремы, в силу аксиомы !Пм следует: А В = А Вг' В'С' =: В«С и соответственно А'В" = А'В', В"С' == В'С. Условиям теоремы 17 удовлетворяет как пара треугольников А 'В'С' и А'В С', так и пара треугольников А'В'С' и А 'В'С'; следовательно, угол ~ В"А'С' конгруентен как углу бг, В«А'С', так и углу '~ В'А'С'. Но так как, по аксиоме П1„ в заданной плоскости при данном луче по данс г' « д' )Ю" А< е л 4' Черт.

18. ную его сторону любой данный угол можно отложить > ге одним единственным способом, то луч А В должен совпасть с лучом А'В', т. е. угол, конгруентный углу ~С ВАС и построенный при луче А'С' с определбнной его стороны, есть бС В'А 'С'. Из конгруентности ~ ВАС = ~С В'А'С' и из конгруентностей отрезков, о которых говорится в условии теоремы, следует, согласно теореме 12, заключение нашей теоремы. Теорема 19. Если два угла 6>. (Ь', А') и ~С ( И", А") порознь конгруентны третьему ~ (Ь,(г), то угол 6>.(ее', А') конгруентен также углу ~ (Ь",/г") «).

Эта теорема, которая соответствует аксиоме Ш„ может быть формулирована так. если два угла конгруентны порознь третьему, то они конгруентны друг другу. Доказательство. Пусть точки О, О", О служат вершинами трйх данных углов, На одной из сторон каждого ") Это доказательство теоремы 19, которая в первом из>анин была принята аа аксиому, принадлежит А. Р о з е и т а л ю (См. А. Козе п1)>а!, Ма((> Апп, т, 7!) А Розе я та ею принадлежит также упрощенная формулировка аксиомы !г (см. Мапл Апп. г.

691. уа ГЛ. К ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ Черт. 20. >г е" е Черт. !9. ь Черт. 21. угла выберем по точке так, чтобы выполнялись конгруентности: О'А' = — ОА и О"А" = ОА, тле буквами А', А", А обозначены выбранные нами точки [черт. 191. Точно также на других сторонах этих же у~лов выберем точки В', В", В так, чтобы О'В' =— ОВ и О"В":= ОВ. В силу теоремы 12 е еь е эти конгруентности вместе с заданными Е (Ь', й') = — 9 (Ь, й) и ~(Ь", й"):— ~(Ь, й) влекут за собою конгруентности: А'В' = — АВ и А'В" =. АВ.

Согласно аксиоме Шв, стороны треугольников А'В'О' и А"В"О" соответственно конгруентны, а потому, на основании теоремы 18, ~С (Ь', й') =: ~ь" (Ь", й"). Аналогично тому, как из аксиомы В!я вытекает свойство симметрии для конгруентности отрезков, из теоремы 19 следует свойство симметрии для конгруентности углов, т.

е. если ь а= — ~р, то углы ~а и ~Ср конгруентны дру г другу [в любом порядке). В частности, формулировку теорем 12 — 14 можно теперь сделать симметричной. Теперь мы можем обосновать сравнение углов по величине. Теорема 20. Пусть мы имеем два угла ~С(й,й) и ~С (Ь',1'). Если прн откладывании угла ~ (Ь, й) при луче Ь' со стороны луча 1' получается внутренний луч й', то при построении угла ~ (Ь', 1') при луче Ь со стороны луча й получается внешний луч 1и наоборот [черт.

20~, До казательство. Предположим, что 1 проходит внутри угла ь ~(Ь, й), Так как 9. (Ь, !г) =.~(Ь', й'), то внутреннему лучу 1, согласно теореме 16, соответствует луч 1", проходящий в н утри угла 9.(Ь', й') и притом такой, что 5 б. слглствия из Аксиом конггувнтности 79 ~ (!г !) = лС (Ь', ! ) [чеРт, 211. По пРедположению, ~ (Ь, 1)= : — 9.(Ь'1'), причвм 1' и 1" должны быть непременно различны. Получаем противоречие с однозначностью отклады- ванин углов по аксиоме 1Пм Обратное положение доказывается аналогично.

Определение. Если в результате построения угла ~-(Ь, й), описанного в теореме 20, луч й' попадает внутрь угла ~С(Ь',!'), то говорят, что угол ~С(Ь, й) меньше угла ~ (Ь', В), и обозначают зто так: ~, (Ь, й)(~(Ь', !'); если же луч й' попадает вне угла ~С(Ь', !'), то мы говорим, что угол ~(й,й) болеше угли ~ (Ь',1'),и обозначаем ~С(й,й)) ~(й', 1'). Мы нашли, что для углов а и р всегда имеет место одна и т о л ь к о о д н а из следующих трдх возможностей: а(р и р)а, а=:р, а)р и .9(а.

Сравнение углов по величине тригьтиглиено, т. е. нз каждого из трах предполо>кений: 1. а ьр, р)Т; 2. а) р, 9=.1; 3, а=~я, р)Т следует, что а) Т [те~. 80 Гл. 1, пять ГРупп лксноы ф б, слвдствия нз аксиом конгггвитности 8! Сравнение величин отрезков и аналогичные свойства этого сравнения непосредственно вытекают из аксиом П и Ш, и однозначности откладывания отрезков, доказанной на стр. 70. При помощи сравнения углов получается доказательство следующей простой теоремы, которую Евклид — по моему мнению, неправильно — отнес к аксиомам.

Т е о р е м а 2!. Все прямые углы конгруентны мегкду собою «). Д о к а з а т е а ь с т в о. Согласно определению, прямой угол есть угол, конгруентный своему смежному. Пусть угол бь, (Ь, 1), обозначенный а, и угол бС (Ь,1), обозначенный 'р, суть углы смежные, равно как и углы а' и р', и пусть при этом а: — р и а =р. Предположим, в противоречии с утверждением теоремы, что угол а' не конгруецтен углу а (черт. 22), Тогда, построив угол а' прн луче 1г с той Черт. 22, его стороны, с которой лежит луч 1, мы получим луч 1", отличный от 1, Таким образом, 1" лежит либо внутри угла а, либо внутри угла р.