Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 4

Повидимому, Пиери стремился свести к минимуму число основных понятий, т. е. таких понятий, которые вводятся без прямого определения и косвенно определяются всей системой аксиом. Таких понятий у Пиери лишь два: «точка» и «движение». Одна из аксиом (!Ч аксиома) Пиери утверждает, что каждое движение есть взаимно однозначное отображение совокупности точек в себя. Но это не есть ещй полное определение движения, так как остальные аксиомы накладывают на это понятие дополнительные ограничения. Так, напрймер, аксиома Ч1!! утверждает, что если а, Ь, г — различные точки и хоть одно из движений (не являющееся тождественным преобразо- 23 П. К.

РАШЕВСКИЙ «осноВАния ГеометРии» ГильвеРТА ванием) оставляет их в покое, то всякое движение, оставляющее на месте а и Ь, оставляет на месте и с, Таким образом, не всякое взаимно однозначное отобрав«ение точек в точки будет движением. Точки а, Ь, с, обладающие свойством, указанным в аксиоме Ч!!1, называются прямолинейно расположенными. Исходя отсюда, Пиери лайт определение прямой линии, а вслед за этим и определение плоскости. А именно, плоскостью называется совокупность точек, получаемая таким образом, Берутся три точки а, Ь, с, не лежащие на одной прямой, и, например, а соединяется прямыми с точками прямой Ьс.

Точки таких прямых по определению и образуют плоскость, В дальнейших аксиомах фигурируют уже понятия прямой и плоскости. Затем лайт«я крайне искусственное определение понятий «между», и в дальнейшем это понятие фигурирует в аксиомах. Сфера опреде. ляется как совокупность точек, получаемых из одной точки всевозможными движениями, оставляющими на месте некоторую другую точку. Система аксиом Пнери страдает недостатками в следующих отношениях, Стремясь к минимальному числу основных понятий, Пиери ради этого формального упрощения крайне усложнил свою систему по существу. Многие из его аксиом очень тяжеловесны, Например, аксиома Х!Ч: « Если а, Ь и с суть точки, не лежащие на одной прямой,а~(и е суть точки плоскости аЬс, отличные от с и принадлежащие двум сферам, проходящим через точку с и имеющим центры в точках а и Ь, то эти две точки л'и е совпадают», Если попытаться свести эту формулировку к основным понятиям «точка» и «движенне», учитывая, что понятия плоскости и сферы даются прямыми определениями через основные понятия, то получится нечто неописуемо сложное, Чрезмерно уменьшив число основных понятий, Пиери был вынужден вводить изгнанные основные понятия («прямая», «плоскость», «между») посредством искусственных определений, Вследствие этого не было выявлено естественное логическое расчленение аксноматнки по областям действия от.

дельных основных понятий, логические связи были даны в запутанном виде,и система приобрела весьма тяжеловесный вид, АКСИОМАТИКА ГИЛ(»ВЕРТА (1 17 ГРУППЫ АКСИОМ) Как и работа Пиери, «Основания геометрии» Гильберта появились в первом издании в 1899 году (Р.

Н1! Ьегг, Огонь)айеп бег Оеогпегле). Настоящий перевод сделан с седьмого издания 1930 г. За истекший значительный срок Гильберт внйс в свою аксиоматику ряд исправлений и уточнений, не меняя, однако, ей характера в чвмлибо существенном, Мы дадим здесь обзор его аксиома- тики в ее современном виде, указывая попутно, какие изменения произошли со времени первого издания. Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд на наших глазах становится классическим, заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчленйнную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии станоВится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в ей основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматнка.

Такого рода логический анализ, выясняющий роль отдельных групп аксиом, действительно проведен Гильбертом в ряде интересных исследований, которые и составляют, в сущности, ббльшую часть его книги. Кроме того, работа Гильберта дала толчок целому ряду дальнейших исследований в атом же направлении; о некоторых из них он упоминает в подстрочных примечаниях. Сейчас мы займе»«ся самой аксиоматикой Гильбарта, изложенной в 1 главе.

В системе Гильберта рассматриваются вещи трйх сортов: «точки», «прямые» и «плоскости», и трйх сортов отношения между вещами, выражаемые словами «принадлежит», «между» и «конгруентен». Это в основные понятия, и, строго говоря, в системе Гильберта изучаются только указанные вещи и указанные отношения между ними. Все остальные понятия вводятся посредством прямых определений на основе перечисленных шести основных понятий.

25 П. К. РАШЕВСКИЙ «основАния ГеометРииь ГильвеРТА Чтб»ке представляют собою эти основные понятинй .Мы уже'говорили о том, что геометрия как математика интересуется лишь чисто логическим выводом предложений геометрии из неко~прото ограниченного их числа. Эти особо выделенные предложения принято называть аксиомами. Но если выводы из аксиом делаются исключительно по правилам формальной логики, то совершенно безразлично, чтб именно подразумевать под вещами («точка», «прямая», «плоскость») и под отношениями этих вещей («принадлежит», «между», «конгруеитенэ), лишь бы можно было считать, что аксиомы имеют место, В самом деле, фор»<альная логика потому и носит эпитет «формальная», что ее выводы справедливы в силу самой своей формы, независимо от того, чтб именно мы будем понимать, по существу, под теми вещами, о которых мы рассуждаем. Поэтому при аксиоматическом построении геометрии строго логически доказанная теорема остается верной, чтб бы мы ни понимали под «точкамиь, «прямымиэ, «принадлежностью точки прямойэ и т.

д., если только остаются верными аксиомы, на которые мы опирались при доказательстве. В частности, ие обязательно связывать с точками, прямыми и т. д. обычные наглядные представления. Итак, яод «<почками», «прямыми», «плоскостями» и под опгношениями «принадлежить, <междуь. «конгруентень мы понимаем некоторые вещи и о<пипи<ения, относительно которых известно талька то, тпо они удовлетвортат аксиомам. Для этих вещей и отношений не дайтся, следовательно, никаких прямых определений; но можно сказать, что систеиа аксиом косвенным образом характеризует их в сонокупности. Первая группа аксиом (стр, 56) содержит 8 аксиом.

Здесь перечислено всй то, что при построении геометрии нам нужно знать об отношениях «точка принадлежит прямой» и «точка принадлежит плоскости». Совершенно необязательно при этих словак представлять себе маленький шария, насаженный на алинный стержень, и т. п„ равно как необязательно вкладывать в эти слова вообще какой бы то ни было определянный смысл. Но зато обязательно знать, что если даны две различные точки, то существует одна и только одна, прямая, которой принадлежит каждая из этих точек (аксиомы 1, и 1,) и т, д.

Таким образом, некоторое отношение, которое возможно между точкой и прямой, точкой и плоскостью и которое мы выражаем термином принадлежит», подчинено лишь тону требовзнию, что длн него должны иметь место 8 аксиом ! группы. Связывать же с этим отношением какие-либо другие идеи— в принципе излишне, по крайней мере, при аксиоматическом построении геометрии.

В этом смысле мы можем сказать, что 1 группа аксиом служит косвенным определением понятия «принадлежить, Гильберт в дальнейшем пользуется обычно териинологией «лежит на», «проходит через» и т. д, разумеется, здесь нет никаких новых понятий, а только изменено словесное выражение прежнего понятия. Итак, в ! группе аксиом охарактеризовано наиболее фундаментальное понятие «принадлежит».

При формулировке аксиои послеаующих групп это понятие предполагается уже установленным, так как существенно входит в самые формулировки, Во П группе аксиом (стр. 58) речь идет о некотором отношении, могущем иметь место для одной точки и двух других точек, принадлежащих одной и той же прямой. Это. отношение мы назывзем словом «между». Всй, что может потребоваться от понятии «между» при логическом развитии геометрии, исчерпывающе перечислено в 4 аксиомах П группы, Наглядное представление о точке, лежащей на прямой между лвумя другими, может, следовательно, и не привлекаться без какого-либо принципиального ущерба для развертывания геометрии, Важнейшую роль в этой группе аксиом играет аксиома Паша (П<), характеризующая свойства понятия «между» для отрезков, образующих треугольник (и не умещающихся, следовательно, на одной прямой).