Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 2

Его целью является получить в геометрической теории, так сказать, максимум возможного за счет формально логических умозаключений. Конечно, так как формальная логика учит лишь тому, кйк выводить новые положения из уже данных положений, то «из ничего» формальная логика ничего вывести и не может. Поэтому по крайней мере некоторые из положений геометрии необходимо так илн иначе принять в качестве верных, а затем уже попытаться все остальные положения выводить из иих путем чисто логических умозаключений.

Если этой цели удаатся достичь, то те положения геометрии, из которых все остальные можно вывести чисто логическим путем (без ссылок на геометрическую нагляд- П. К. РАШЕВСКИЙ «основлиия ГеометРии» ГильвеРТА )з ность), называются аксиомами, а логически вытекшощие из них предло кения — теоремами. При этом, естественно, нужно стремиться к тому, чтобы количество аксиом было возможно меньшим и чтобы тем самым на долю формально логических умозаключений прн построении геометрии выпадала наибольшая возможная работа, Действительно, такое положение вещей наилучшим образом выявляет весь объем логических связей и освещает логическую структуру геометрии.

Резюмируем вса сказанное. Геометрия как физика изучает свойства протяженности материальных тел. Ей положения могут и должны быть проверяемы опытным путйм; как все положения физики, они воспроизводят материальный мир лишь в абстракиии а истинны поэтому лишь приближенно. Геометрия как математика интересуется лишь логическими зависимостями между своими положениями, более точно, — занимается логическим выводом из некоторого числа положений (аксиом) всех остальных. Об истинности предложений геометрии как математики можно говорить поэтому лишь условно, а именно в том смысле, что данное предложение действительно выводится из аксиом. Ейы вианм, что эти две точки зрения на геометрию существенно различны и, как бы они ни соприкасались в области фактического материала, механизм развития геометрии в оеном случае будет работать иначе, чем в другом, Так оно и происходит в действительности, хотя при этом геометрия кзк флзнка существенно опирается на логические схемы геометрии-математики, а геометрия- математика развивается в значительной степени под влиянием импульсов, идущих прямо или косвенно из области физики, Боло бы, конечно, совершенно неправильно понять это противопоставление в том смысле, что геометрия как физика занимается материальным миром, а геометрия как математика относится к области «чисто духовного» творчества.

И соеержание н форма человеческого мышления в конечном счате целиком обусловлены материальным миром, н сами законы формальной логики лишь потому на- вязываются нашему сознанию с такой силой, что прелставляют собой отражение многократно повторанного материального опыта.

Отчйтливое разграничение геометрии как физики и геометрии как математики — разумеется, не в порядке декларации, а в смысле фактической разработки той и другой — представляет собою крупное принципиальное достижение науки конца Х!Х вЂ” начала ХХ века. Дос~ижением это является в том смысле, что слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие и той и другой. Но разграничение это, сейчас почти очевилное, вовсе не было достигнуто коротким путем, Оио пришло лишь как итог елительного и сложного развития научной мысли, в котором видное место занимают «Основания геометрии» Гильберта. Сейчас в самых кратких чертах мы осветим некоторые моменты этого развития, наиболее важные для наших' целей. «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА «Начала» Евклиаа (ок.

300 г. Ео н, э,) содержат систематическое изложение основ геометрии в том виде, в каком она сложилась к этому времени в итоге примерно трех веков развития математики на греческой почве, С того и почти до нашего времени сНачала» считались образцом научно строгого стиля изложения; никто не находил поводов предпринять их коренную переработку, а наши школьные учебники и до сих пор в существенных чертах воспроизводят «Начала» Евклида, Причина этого коренится в том исключительном мастерстве н совершенстве — конечно, с точки зрения науки того времени, — с каким было проведено Евклиеом логическое развар~ывание геометрии путам, как тогда казалось, строгого вывода последующих предложений из предшествующих. Конечно, было бы сильным преувеличением сказать, что Евклид стоял на выше охарактеризованной точке зрения аксиоматнческого построения геометрии, Но тенденция такого рода у него, несомненно, была.

Действительно, в начале изложения помещены четырнадцать основных пред- «осноаьния гзомхтгии» гнльввгть 15 14 ,и. к. РАшввский ложений (пять из которых названы постулатами, а девять— аксиомами), которые предпосылаются всему дальнейшему и кладутся в его основу. Однако этих предложений далеко не достаточно для развития геометрии чисто логическим путам, и в дальнейших доказательствах, наряду с подлинно логическими умозаключениями, Евклид постоянно прибегает к наглядному представлению.

Многие из определений — и как раз самые основные, — даваемые Евклидом, совсем не являются определениями в логическом смысле, а являются лишь наглядными описаниями геометрических образов: например, «линия есть длина без ширины» и т. п. Из такого определения строго логически никаких следствий вывести нельзя, и оно служит лишь указанием для работы наглядного представления в последующих выводах.

Таким образом, в «Началах» нельзя усмотреть ещй ни принципиальной аксиоматической установки в современном смысле слова, ни, во всяком случае, ее фактического осуществления. Но тенденция в этом направлении была и продолжала развиваться и в дальнейшем. Это можно видеть из работ многочисленных комментаторов Евклида, которые, не предлагая существенных переработок изложения, часто стремились его усовершенствовать, подводя под иего более прочный фундамент. Эти попытки шли по линии увеличения числа аксиом, недостаточность которых для логического построения геометрии ощущалась. И до сих пор мы не знаем, какие именно аксиомы и постулаты бесспорно принадлежат Евклиду, а какие добавлены впоследствии.

Однако эти попытки по сравнению с «Началами» не знаменовали собой новых, принципиально более высоких точек зрения и делались ощупью. Даже когда в них правильно угадывались те пробелы, которые следовало заполнить, они облекались в ту же логически несостоятельную форму.

Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики и доказательств Евклида, а осуществилось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был совершенно прав. Мы имеем в виду историю Ч постулата Евклида. Ч НОСТУЛАТ ЕВКЛИДА И ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ Последний, Ч постулат Евклида гласит: «всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми обрззует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2«(, эти прямые пересекаются и притон с той стороны, с которой эта суима меньше 2а'». Постулат этот играет особую роль в системе Евклида: он нзходнт себе применение срзвнительно поздно, н 28 первых прелложений Евклида доказываются без его участия.

Это обстоятельство, естественно, наталкивало на мысль, что, быть может, и вообще этот постулат излишен и сам может быть доказан в качестве теоремы. И действительно, многие комментаторы Евклида на протяжении более двух тысячелетий пытались такое доказательство дать, часто считая свою цель достигну~ой (а некоторые малообразованные диле~виты продолжают эти попытки и сейчас). Все эти доказательства с нашей современной ~очки зрения ложны и сводятся к тому, что виесто Ч постулата принимается без доказательства какое-нибудь предложение, ему эквивалентное. Таковы, например, предложения: перпенликуляр и наклонная в сторону острого угла вся время сближзются между собой; через каждую точку внутри угла проходи~ по иеньшей мере однз прямая, пересекающая его обе стороны; непересекающиеся прямые в плоскости не могу~ неограниченно удаляться др) г от друга; не существует абсолютной единицы длины, т, е.

отрезка, который отличается от отрезков другой длины особыми геометрическими свойствами (наполобие пряного угла среди всевозможных углов); существуют по меньшей иере два подобных треугольника и т. д. Расценивая какое-нибудь из этик предложений как очевидно верное и обнаружив, что отрицание Ч постулата ему противоречит, ав~ор доказательства считал свою цель достигнутой. Было бы, однако, неправильным считать, что здесь мы встречаемся обязательно с элементарно грубой логической ошибкой. Б самом деле, ло появления совреиенного аксиоматического изложения геометрии — жо 16 п.

к. Рхшенский БИБЛИОТЕНА НФ НГУ ИНП. У4-~'~63 было достигнуто лишь к концу Х!Х векз — вообще не было вполне отчетливого критерия, чтобы отличать строгие доказательства в геометрии ' от нестрогих. Во всех вообще доказательствах непрестанно допускалнсь ссылки на наглядность, и те пределы, в каких эти ссылки можно было считать законными, очерчены не были. Поэтому в известной мере каждый нз авторов, докззывавшнх Ч по. стулат, мог претендовать, что его допущения законны, и Ч постулат нм доказан. Лишь теперь выступает несостоятельность всех этих доказательств; раньше же она скорее угадывалась наиболее силы<ыми умами, чем неопровержимым образом могла быть ими установлена.

Так или иначе, по мере накопления разнообразных попыток доказательства, всй более расширялся круг предложений, эквивалентных Ч постулату, час~ь из которых перечислена выше. Становилось ясно, что отрицание Ч постулата влечет за собой отрицание всех этих предложений, т. е. влечет за собой целый ряд невероятных, парадоксальных следствий, в которых, однако, никак не удавалось усмотреть прямого логического противоречия. В поисках этого противоречия уже в ХЧ!П веке некоторыми учбнымн были довольно далеко развиты следствия нз предположения, что Ч постулат неверен (Саккери, 1733; Ламберт, 1788).