Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 6

(1.47а) Таки, образом, тангенциальная составляющая вектора Е не- прерывна на границе раздела сред. !ела, т< ~2!е /2. е /1.48) Сопоставляя фор!о!).зы (!.45а, 1.46, !.47а и !.48) видим, что .!инин векторов Е и 0 на границе преломляются. При отсутствии поверхностного заряда (4=0) справедливы соотношения (ряс. 18) (!.49) где 3, 2п !,2о Е 0 ь" 6! 2е />! зс ьЧ 9. Граничные условия для векторов магнитного полн Н о р и а л ь н ы е с о с т а в л я ю ш и е.

Граничные условия для векторов Н и В находятся аналогично. Вычисляя полный поток магнитной индукции через поверхность цилиндра. изображенного на рнс. 16. согласно (!.14а), имеем В П„Л —.- Веп„Л5 — с/эо„о = О. Переходя к пределу при Л/! — >О, полу шем (В, — Во) п„= О, '( ! . 50) [по,(Е! — Ео)! = О. '1.476) Из (!.47а) и (!.22) нетрудно заключить, что тангенцнальная составляющая электрической индукции на границе сред испытывает разрыв, будучп пропорциональной диэлектрической проницаемости ка идой среды.

Рос. 1Я Учитывая, что то= [Хо, п„), можно написать вместо (1.47) (Е! — Ео) [Х„п.) =[по (Е! — Ее)) Хо=О. Так как равенство не должно зависеть от направления некто. ра й), указывающего ориентацию контура /. на поверхности раз- 32 илн в,„= в,„. (!.50а) /О/ео !'. Н,„я, ' Т а н г е н ц и а л ь н ы е с ос т а в л я ю щ и е. Запишем циркуляцию вектора Н по конт 'ру /., показанному на рис.

17. Из уравнения (1.7а) следует: (!.51) Н!т,Л/ — НетоЛ/+С„„= Хо(~~+ 6 ) Л/Л/, 3 ън;, х !!е Зтот розу:п тат пш взывает, !то .и!рмальная ссстзвлщошая магнитной индукции всегда непрерывна. !1рнвлекая формулу (1.2!), находим условие для нормальных составляющих вектора Н: (Нг Нт) то= т)с(о (1.55) Н!, — Нет =- цн (1.55а) (1.556) границе раздела магнитного поля Примеры и упражнения можно записать так: гу! Ч го -'ггг о-, (1.54) 0п Ьб(Ь(г = 1,6! =-!о — А( =- т)Л(, д о (1.57) откуда в результате предельного перехода при Л(г — > О находим: (Н, — На) то = О, (1,52) или Нгт На (1.

52а) (и, (Н, — Но)) (1.526) о (сравнить с выводом формул 1.47, 1,47а, 1,476). С учетом (1.21) получаем условие для тангенциальных составляющих магнитной индукции: ягт (!.53) В, (го Магнитные линии преломляются на границе. Полное представ. ление об этом дают результаты, полученные при исследовании электрических линий у незаряженной поверхности.

Разумеется, ьа в формуле (!.49) и в обозначениях на рис. !8 следует заменить Е на Н, 0 на В и и на р. Случай поверхностного спо(гадин тока. Положим, что по поверх- ности раздела, не занимая объема, Рис. 19 течет ток (рис. 19). Тогда плот- ность этого поверхностного тока где го — единичный вектор, указывающий направление движения зарядов в данной точке, а Л( — пересекаемый током отрезок лушин перпендикулярный вектору г,. Представление о поверхностном токе является абстракцией— реальный ток всегда занимает некоторый объем. Для дальнейшего полезно вьгяснить, какие изменения внесет в граничные условия наличие поверхностного тока.

Ток проводимости фигурировал лишь при выводе условия (1.52). При этом в правой части первоначального равенства в результате предельного перехода при ЛЬ вЂ > О член би Л(г = 1, 6( исчезал. В данном случае стягивание контура 1. к отрезку Л( на граничной поверхности не обратит записанное выражение в нуль, так как весь ток протекает именно через этот отрезок.

Мы будем иметь и, следовательно, вместо условия (1.52) и других его форм (1.52а) и (! о26) по»учим [п„(Н,— Н,)) =ц. Итак, при наличии поверхностного тока на тангенциальная сосгпавляюгцая напряженности исгггггтываегп разрыв, равный его плотности. !. Указать, в ка ких случаях и насколько изменяется число ний векто ов Е, Р и Н чи о ли- П р и Н при переходе через границу раздела. ачему нри этом никогда не изменяется число лин индукции В» линий магнитно 2.Се р ды разделены заряженной .поверхностью, и в о ной из них поле отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде? По условию задачи в одной из сред поле отсутствует, т. е.

!)а = Е, =- О Тогда из уравнения (1.45) следует, что причем нор гать п направчена нз второи срезы в пе видно из (1.47а), ервую. ак Е„= О. Таким образом, напряженность электрического поля н к границе и равна с оля нормальна Е,=п — ' о а, Решить эту жс задачу также нутом н теоремы Гаусса. у у ем непосредстнсиного применении 3. ток. Поле в . Среды разделены плоской г а р ницей, несущей поверхностный оле в одной среде отсутствует. Показать, что в де магнитное поле параллелью поверхностного тока соо границе и связано с ка соотношением плотностью (п„н,) = „, Поясни нить этот результат рисунком, 4.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 6 1О. Система уравнений Максвелла Выписав уравнения Максвелла (1.7, 1.8, 1.13 и 1.14) и их интегральные аналоги, а также уравнения (1.21 — 1.23), получаем систему уравнений электромагнитного поля, или систему уравнений Максвелла: Дифференцгигльная форма Интегральная форлга го1Н = — +Ь, д0 дг ~)Н (1=+', ~018+~ 615, (ей= — т ~Вж. и! 58 дв го1Е= —— дг ~0б8=д ~вж=о. 6(ч 0 = о, (1.58) б!чВ= О, в=рн, О =еЕ, 6= ОЕ. Этп уравнения будут исходныгги при изучении теорои электрохгагнит>гого поля.

П пнцкп су пер позиции. В дальнейшем все записанные т уравнен гения фигурируют только как линейные, таге как нс б)ду рассматриваться среды, параметры которых зависят от векторов поля. Как известно, сумма частных решений линейного дифференциального уравнения также является его решением. Иными словами, если известен ряд полей, которые мы условно обозначим Е„Н,; Е„Н.,; Е, Н, и т. д.. то может счществовать поле Е, Н, где Е=Е,+Е,+Ех+... и Н=Н,-~-Не+Не+.... Этому положению соответствует весьма важный принцип срперггозиции, 'согласно которому поле, образованное несколькими источниками, и е ставляет собой сумму полей каждого из источников, сущер д ствующего в тех >ке условиях отдельно. й 11. Классификация электромагнитных явлений Основным классам электромагнитных явлений соответствуют частные виды системы уравнений Максвелла.

Простейшими являются неизменные во времени поля в пространстве без токов. Положив в (!.58 и 1.58а) д!61=. О, и 6= 0, видим, что система уравнений электромагнитного поля распадается на две независимых системы: Уравнения злектростатики ~г Е г(1 = О, ~0б8=ц. го1 Е= О, (1,59а) б(ч 0=в (!.58) 0=еЕ. Уравнения лгагнитостатики го1 Н = О, '3'На=О, б(ч В = О, (! '0) (1.60а) ';!В(8=0. в = (гн. Таким образом, электрические и магнитные явления при указанных условиях взаимно незивисимы. с д Однако уже при наличии постоянного тока ( — = О, ЬФО) ( дг электрическое и магнитное поля оказываются связанными посредством соотношений: го1Н=Ь, Ь=-оЕ дВ ВЬ го1Е= — —, Э= —— дг ' дг Интегральная форма второго уравнения Максвелла дана здесь в виде (1.11), наиболее характерном для квазистационарных полей.

В первом уравнении Максвелла при наличии тока проводимости (6~0) можно пренебречь током смещения, так как для д.О квазистационарных явлении — < 6, и тогда уравнения примут вид: дг го(И=6, г~нг(! —. ! зт =>лектромагннтное гюле при постоянном токе описывается уравнениями (1.58, 1.58а), в которых положено —; —. О. Следующим шагом является переход к явленпя>г квазисгпиционарным, т. с. протекающим достаточно медленно. По своему строению квазистациопарньге поля еще близки к статическим, но в записи второго уравнения Максвелла теперь правая часть отлична от нуля Однако ток смещения необходимо учитывать, когда тока проводимости нет (емкость в цепи переменного тока), тогда 1Н= — ',~, банд!= — „", ~ !Уй3. и Весьма существенно, что понятие быстроты электромагнитного процесса относительно.

Как видно из примера, рассмотренного во введении. при любой скорости процесса система будет квазистационарной, если ее размеры достаточно малы. Но в области, значительной по размерам, проявятся все особенности электромагнитного процесса как «быстропеременного». Будет показано, что электромагнитному полю свойственен волновой характер. Это качество выступает на передний план в быстропеременных процессах, которым посвящена большая часть настоящей книги. Примеры и упражнения 1, Записать систему уравнений Максвелла в декартовых координатах. 2.

Исследовать поле двух одинаковых по абсолютной величине зарядов, одноименных и разноименных, поле точечного заряда было наидено в упр. 2 3 3. 3. Магнитное поле прямолинейного постоянного тока было определено в упр. 3 2' 3. Произвести качественное исследование поля двух параллельных, а также антипараллельных токов, одинаковых по величине. 4. Сопоставив уравнения Х электростатики и магнитостаГ1 тики, указать сходство и различие их физического содержания. 5.

Имеем колебательный Ряс, 20 контур в виде витка провода с воздушным конденсатором из двух пластин (рис. 20). Требуется вычислить амплитуду напряженности поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в контуре составляет 1„,=1 ° 1О 'а, площадь одной пластины конденсатора равна Я вЂ” — ! 00 см', а частота принимает значения 1= 1.10'-; 1 10'; 1 10' гц. Ток смещения, замыкающий цепь и сосредоточенный между обкладками конденсатора, равен току проводимости: 1«"=~=1 »1пмг. — м С другой стороны, полагая поле конденсатора однородным, имеем: 1' =А 1 0йБ=Я~Т. и1,) Сопоставляя эти равенства, получаем с!1 Пн — „Т вЂ” — — — з10 м1, «Т 5 н, следовательно, амплитуда напряженности электрического поля равна: Р„, Е г« ~«ох В частности, прн !'= 100 гц 2я 100 0 01,10-» Как видно, весьма значительному электрическому полю кон.