Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 2

Онн должны значительно облегчить изучение курса. ' От латинских слов Чнаа! («кобы) н а1а1ьэпапна (постоянный). Глава ! ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ !. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА й 1. Векторы электромагнитного поля Электромагнитное поле можно рассматривать как особую форму материи. Оно характеризуется четырьмя векторными величинами: Š— напряженность электрического поля; Р— электрическая нндукция; Н вЂ” напряженность магнитного поля;  — магнитная индукция. Определить поле в некоторой области пространства — значит указать эти вгкпгоры поля в любой ее точке. Электромагнитное поле предстает как совокупность полей элекгпрического (векторы Е, Р) н магнитного (векторы Н, В), находящихся во взаимной зависимости.

Лишь в некоторых специальных случаях (например, видимый свет) электромагнитное поле непосредственно воздействует на органы чувств человека, однако наблюдению доступны многочисленные электромагнитные явления, в основе которых лежат различные преврагцения энергии поля. Простейшие нз явлений удобны для выяснения физического содержания векторов Е, Р, Н, В и»югут специально воспроизводиться с целью их измерения.

Так, напряженность электрического поля Е, по определению, измеряется силой, действующей в поле на неподвижный единичный точечный заряд', т. е. на достаточно малое тело, заряд которого в используемой системе единиц есть +1. Опыт показывает, что эта сила пропорциональна заряду. В практической системе единиц МКЯ, которая применяется в этой книге, единица измерения силы— ньютон (1 н =-0,102 кГ); единица заряда — кулон (к), а напряжен- ' Понятия заряда Ч и тока проводимости I предполагаются извести»оп~ и~затеню нз сбщсго Юрса фнзнкн. ность Е измеряется в вольтах на метр (вам): Р [и] = д [к] Е [в)м]. В аналогичном определении вектора магнитной индукции В можно исходить из того экспериментального факта, что на достаточно малую плоскую рамку с током 1 (рис. 2) в поле действует момент силы К=75[па, В], (1.2) я где  — площадь рамки, а и,— единичный вектор нормали к ее плоскости, образующий с направлением тока правовинтовую систему.

пр ... ° ° „„„. ° р. ния тока — ампер (а); длины— метр (м), а магнитной индукции — вебер на квадратный' метр (вб/ма). Для поля в вакууме справедливы соотношения ! Рис. 2 0 =в,Е (1.4) В=р,н, причем скалярный коэффициент е,= 8,854 1О "- — 10 а фарад на метр (унлс) (!.51 называется электрической постояннои, а аналогичный коэффициент )за=-4п 10 »=-1,257.10 а генри на метр (гнус) (1.6) — магнитной постоянной. Вообше же взаимосвязь векторов электромагнитного поля— Р и Е, В и Н вЂ” определяется свойствами среды, о чем будет говориться в 2 4.

Напряженность магнитного поля измеряется в ампе' рах на метр (а м), а электрическая индукция — в кулонах на квадратныг! метр (к!мз). Определив векторы поля по его механическим проявлениям, мы теперь можем представить себе следующую идеальную картину. В произвольную точку М(х, у, г) исследуемой области )г— «точку наблюдения» — помещается весьма малый «.пробный элемент» — точечный заряд или рамка с током.

н в нужный момент измеряется действующая на него сила (или, соответственно, момент силы). Некоторое число таких измерений, произведенных в разных точках в течение необходимого времени, дает представление о поле в области )г. В действительности описанный опыт технически осуществим лишь в немногих яростей!них случаях; экспериментальное исследование электромагнитного поля требует иных средств, весьма разнообразных в зависимости от конкретных условий. О некоторых из них будет говориться впоследствии. Впрочем, сведения, полученные путем непосредственного экспериментального изучения структуры поля, занимают лишь небольшое место в огромном обьеме опытных данных об электромагнитном поле, известных науке. Построенная на этой основе теория электромагнитного поля широко использует его аналитическое описание. Векторы поля рассматриваются как функции времени и точки наблю- а) Рнс.

3 денна, задаваемой пространственными координатами. Известные из опыта закономерности электромагнитных явлений получают математическую формулировку. Орудием дальнейшего исследования становягся чисто математическис средства, позволяющие обобщить данные опыта и приводящие к открытшо новых закономерностей На этой основе предсказываются еще не открытые электромагнитные явления.

Роль полезного дополнения к математическому анализу играет графическое описание поля, даю!цсе наглядное представление о сложных электромагнитных процессах и часто значительно облегчающее их понимание. Сущность его состоит в следующем. Каждому вектору поля в некоторой области в рассматриваемый момент времени ставится в соответствие семейство линий. Эти линии проводятся так, чтобы их касательные указывали направление вектора поля, а гус. тота приблизительно соответствовала абсолютному значению. Обычно линии вектора Е называются электрическими силовыми линиями, а линии вектора Н вЂ” магнитными силовыми. В качестве иллюстрзции напомним хорошо известные из курса физики картины электрических силовых линий поля двух зарядов и маги!лных силовых линий поля прямолинейного тока (рис. 3).

!О 5 2. Первые два уравнения Максвелла Изучение теории электромагнитного поля мы начинаем с его основных уравнений го1 Н = — -+б до, д! го1Е= — —, дв (!.8) носящих название уравнений Максвелла. Выше они записаны в дифференциальной форме. Величина 6 в правой части (1.?) есть плотность тока проводимосп!и. Это вектор, указывающий направление движения зарядов и по абсолютному значению равный пределу Ь= 1пп —, г!! (1.9) ьз опь где Л! — ток, пересекающий площадку ЛВ, перпендикулярную Ь. Здесь необходимо сделать следующее заме~!ание. Изучаемые нами законы электромагнетизма — это законы макроскоппческих процессов, в которых усредняется действие огромных количеств элементарных частиц материи. С точки зрения этих законов, среда представляется сплошной.

Совершенный в (1.9) предельный переход имеет прямой математический смысл именно для такой идеализированной сплошной среды. Для реальных сред символ Л — > 0 имеет условное значение: площадка уменьшается, но лишь до такой степени, при которой не будет проявляться дискретность материи.

и макроскопические закономерности останутся з сале. Аналогичные предельные переходы будут встречаться и впредь. Уравнения Максвелла — результат длительного процесса накопления и постепенного обобщения опыта в области электромагнетизма. Ближайшей задачей данной главы является выяснение основных черт их физического содержания. Второе уравнение Максвелла (1.8) выражает скорость изменения магнитной индукции В через пространственную пронзводну!о (го1) напряженности электрического поля Е. Положим, что электрическое иоле отсутствует, т. е, Е = О, н, следовательно, го1 Е = 0 В этом случае дВ!81 = О, а это значит, что магнитное поле может быть только посгпоянным. Однако всякое изменение магнитного поля (дВ1дг чь 0) неизбежно вызывает поле электрическое (левая часть (1.8) отлична от нуля).

Выделим в пространстве произвольную поверхность 5 с контуром Е (рпс. 4) и найдем лоток вектора го1 Е через эту поверхность. Согласно (1.8) имеем: — +Ь Е т„ Рис. ч Рис, 5 ~нд)= — „', ~ В 8-8 ~Ь,18. г, (1.7а1 Интеграл Э= $ Ег(1, 1 = —,'", ~Од8 (Здесь и во всей книге векторный символ Ж обозначает произведение элемента поверхности г15 на единичный вектор нормали к ней и,). Оператор временной производной можно вынести за знак интеграла'.

Используя теорему Стокса, заменим поток вихря го! Е циркуляцией вектора Е по контуру, охватывающему поток. Равенство (1.10) принимает вид: ~ Е д1 = - — „', !э В й8, (1.8а) ь Б где д1 — произведение элемента линии с(1 на касательный к ней единичный вектор ты Уравнение (1.8а) — это второе уравнение Максвелла в интегральной форме.

Рассмотрим характерный частный случай: поверхность 5 опирается на проводящий контур 1. (например, проволочный, рис. 5). аь в Циркуляция вектора Е в этом случае есть не что иное, как э. д. с. наводимая в контуре изменяющимся потоком вектора магнитнои индукции, илп, как принято говорить, .магнитным потоком Ф=~ Вд8. Итак, в применении к проводящему контуру уравнение (1.8а) выражает хорошо известный закон электромагнитной индукции дчг Э= — —. аг установленный еще опытами Фарадея. ',Чаи этого необходима непрерывность В и двгдг (см. например, В.

И. Смирнов, Курс аькшсй математики, т. И, гл. 1И). Второе уравнение Максвелла (1.8, 1.8а), таким образом, можно рассматривать как о обобщенный закон электромагнитной индукции. Вернемся к уравнению (1.7) — первому уравнению Максвелла в дифференциальной форме. Если электромагнитный процесс неизменен во времени — =01, то (1.7) описывает связь магнитного поля и постояндг ного тока: го1 Н = Ь. Вместе с тем, для случая переменного поля в отсутствие тока проводимости (Ь=О) следует написать; дп го1 Н=— дг Как видно, вектор д07д1 играет во втором уравнении ту же и плотность тока проводимости Ь в первом.