Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эта величина называется плотностью тока смещения. Пр в ур . П авая часть авнения (1.7) представляет собой плотность полного тока. К интегральной форме первого уравнения Максвелла нетрудно перейти уже известным путем. Интегрируя обе части (1.7) по произвольной поверхности 5 с контуром 7. и применяя теорем> Стокса получаеьс — поток вектора Ь через поверхность 5 — есть ток проводимости, пересекающий эту поверхность, а первый член в правой части (1.7а) э — гиок смеи(ения.
Сумма этих величин 3+! '" называется полным током. Из равнения (1.7а) видно, что в отсутствие магнитного поля з ур 0 (Н=О) равен нулю и полный ток. Но появление тока (1+1' Ф ) ! з (1.13) д!ч0=0 Гуримеры и упражнения (1.13а) ' ! оэ !5 неизбежно порождает магнитное поле (левая часть (1.7а) отлична от нуля, и, следовательно, Н ~0). Согласно (!.7а), роли величин и Г"х в этом процессе совершенно одинаковы: магнитное поле ак и током смещеможет возбуждаться как током проводимости, так ния, т.
е. изменением потока электрической индукции. 1. Записать уравнения Максвелла (!.7, 1.8) в декартовой с с координат. ой системе Векторы уравнения (1.8) разлагаем на составляющие, па аллельные осям х, у и г: ющие, парал- "о уо го д!дх д/ду д/дг = — д (хоВх+уоВу+гоВ,). (1,12) д Е„Еу Е, осей. Здесь х,, у, и г,— единичные векторы (орты) соответствующи х Запись (!.!2) эквивалентна трем скалярным уравнениям', г дЕх дЕу дВ у х ду до д! дЕ„дЕ, дВу дг дх до (1.12а) ! ВЕу дЕ . дВ. дх ду дг Этн же операции произвссти с уравнением (1.7).
векто а Е. Пок. 2. Дано электромагнитное поле с неизменным направт р о ением р . оказать, что векторы Е и В взаимно перпсн икулярны. ' д Одну из осей декартовой системы координат (например, ось ") направим параллельно вектору Е, тогда Е =-гоЕы Полагая в (!.!2а) Ех=-Еу=О замечаем, что В =О, т. е. о В =- х Вх+ уоВ, и, следовательно, ВЕ = О, что и требовалось установить. 3.
Направление вектора Н заданного электромагнитного поля постоянно. Показать, что вектор плотности полного тока перпендикулярен вектору Н. !4 в 3. Расходимость векторов электрической и магнитной индукции Следующие два уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют вид: д)у В = О. (1.14) Первое из них утверждает, что расходимость электрической индукции равна объемной плотности заряда о — величине, определяемой предельным соотношением о= 1!ш — ', (1.15) оу ои~ где Лд — заряд, содержащийся в элементарном объеме ст)' (см. замечание о характере предельного перехода на стр.
11). Интегрируя обе части (1.13) по некоторому объему у' и применяя к левой части формулу Остроградского — Гаусса, получаем: Здесь 5 — поверхность, ограничивающая объем Р, а а= ~ йо!у'— ч полный заряд в этом объеме. Равенство (!.13а), представляюгцее собой интегральную форму уравнения Максвелла (!.13), является формулировкой теоремы Гаусса, согласно которой поток электрической индукции через замкнутую поверхность е .
Ю равен заключенному внутри нее заряду. Можно показать (см. ниже причеры и упражнения), что поток вектора через векоторую поверхность измеряется числом пересекающих ее линий этого вектора. Поток положителен, если большая часть линий выходит через поверхность наружу, т. е. составляет острый угол с положительной нормалью к ней.
Наоборот, когда большая часть линий входшп внутрь (указанный угол оказывается тупым), то поток отрицателен. Из (1.13а) видно, что если внутри замкнутой поверхности нет заряда (а= 0), но электрическое поле существует (О ~ 0), то число входящих внутрь нее линий электрической индукции равно числу выходящих, так как полный поток индукции равен нулю. Линии пронизывают сбласть у' не прерываясь (рис. 6). Если зарядов нет во всей области существования поля, то линии 0 не имеют нн начала, ни конца; это либо замкнутые линии, либо уходящие в бесконечность. В,и а) ,э Рис. 7 Рис.
9 Рис. 10 с)гу го! Н = О имеем: б(у( —,—, + й ~)= О. с)(уй=д —— аа дс (1. 16) ~б! ЬЛ =~ дчЛ С Га исаа» и сс44 Положим, что в некоторой части области (с сосредоточен положительный заряд (с7 ) О). Поток электрической индукции, проходящий через замкнутую поверхность 5 в этом случае также положителен, и ему соответствуют выходящие наружу линии вектора Р. Будем стягивать поверхность 5 вокруг заряда. При умень- шенин 5 вплоть до вырождения ее в точку (если заряд точечный) поток индукции и число ее линий не изменяются.
Отсюда мы должны заключить, что положительный заряд служит начало»с линий электрической индукции и играет роль «источника» электрического поля. Точно таким же путем легко проверить, что отрицательный заряд играет роль «стока». Схематические рисунки (рис. Г 7а б) иллюстрируют сказанное. В У, Перейдем к интегральной форме уравнения (1.14). Интегрируя с!К В по объему Р и применяя формулу Остроградского-Гаусса, с находим, что фааа=а, и. 4 > Рис.
8 Сравнивая этот результат с выражением теоремы Г" усса (1.13а). нетрудно понять, что он свидетельствует об отсутствии в природе магнитных зарядов, Линии мащситной индукции всегда непрерьсвньс, они не имеют ни начала, ни конца. Это или линии, уходящие в бесконечность, или, как обычно, замкнутые линии (рис. 8.). В 9 2 указывалось, что лсагпитное поле связано с полным током. Если в некоторой области пространства существует максимум полного тока (в частности, тока проводимости или тока смещения), то замкнутые линии магнитной индукции окружают его, что в простейшем случае ясно из принципа симметрии. Как известно (9 1), в вакуу.се В =- Р,Н, и линии вектора Н можно отождествлять с,чиниями магнииной индукции В.
Вместе с тем, из первого уравнения Максвелла (1.7) следует, что вектор го! Н имеет то же направление, что и плотность полного тока — + Ь. А это означает, что замкнутые магнитные силовые линии д0 дс образуют с вектором плотности тока аравовинтовую систему (рис. 9). Совершенно аналогичные заключения можно сделать и в отношении замкнутых электрических силовых линий, об условии суще- ствования которых говорилось выше (здесь мы также отождест- дВ вляем линии векторов Е и О). Прп наличии максимума вектора— дс они окружают его, но образуют с ним при этом левовинтовую дВ систему, так как го! Е и — направлены противоположно друг дс другу (1.8).
Эго схематически изображено на рис. 10. Из уравнений Максвелла (1.7) и (1.13) следует важный вывод, на котором мы с:становимсш Применяя к обеим частям операцию с!1ч, в силу известного векторного тождества д Меняя местами операторы Йи и — в первом члене, а также дс заменяя согласно (1.13) расходимость вектора 0 через о, получаем: Это важное соотношение называют «уравнением непрерывности». Его физическое содержание проще усвоить, перейдя к интегральной форме. Интегрирс4я по объему )с обе части (1.!6) и совершая обычные преобразования, находим: 77римергг и уггражнения (1.16а) или (1. 1бб) где 7--ток, пересекающий замкнутую поверхность 5, ограничивающую )г, а г! — заряд в этом объеме. Полученная формула (! .166) выражает закон сохранения заряда.
Если ток отсутствует (! = О), то заряд постоянен. И обратно: если не происходит изменения заряда в объеме (с, то ток проводимости, пересекающий его границу, равен нулю. Это значит, что либо тбк вообще отсутствует, либо число линий тока, входящих в объем, равно числу выходящих: они непрерывны. В заключение используем полученные результаты с целью несколько расширить представление о токе смещения. На стр, 13 записано уравнение го1Н = Ь, (1.!7) г((чб = О, но это противоречит уравнению непрерывности (1.!6), т. е.
закону сохранения заряда. Чтобы привести (1.!7) в соответствие с этим законом, запишем вместо Ь причем поправка Ь' должна быть выбрана так, чтобы уравнение (1.16) оказалось удовлетворенным. Легко видеть, что поставленной цели может служить дг ибо б(ч — = — дгт 0=— дГг д . до дг дг от уравнения (1.17) к первому формальным выражением гипо- Выбранная поправка приводит уравнению Максвелла и является тезы Максвелла о токе смещения. 1Я которое выражает известную из опыта связь магнитного ноля и постоянного тока. Максвелл обобщил его и применил к переменным процессам. Можно рассуждать так. Расходимость вектора го1 Н равна нулю, поэтому 1.
Покажем, что поток некоторого вектора а через поверхность 5 измеряется числом пересекающих ее линий этого вектора. рассмотрим сначала элемент поверхности Л5. Проходящий чер ерез нее элементарный поток ЛФ' равен ЛФ =аЛ5=аЛ5„ где, — р Л5 — проекция векторного элемента поверхности Л5 на направление вектора а (рис. 11). Как видно из рисунка, эта проекция представляет собой площадку, через которую под прямым углом проьз ходят все линии вектора а, пересекающие элемент Л5, Но, согласно условию Ъа (стр.
10), густота линий, т. е. число их ь ЛЛг, отнесенное к Л5„ соответствует а дД,г абсолютному значению вектора а: а . ггг а== к — '. 'г Ьа где гг — коэффициент пропорциональ- Рис. 11 ности. Таким образом, поток ЛФ" измеряется числом ЛУ: ЛФ' = аЛ5, = ггЛЛг. Складывая потоки элементарных площадок, на которые разбита поверхность 5, и переходя в пределе от суммы к интегралу, находим: (1.!8) Ф" = )гйг, где Ф" — полный поток вектора а через поверхность 5, а Л' — число пересекающих ее линий этого вектора. Это и требова,тось показать. 2. Найти электрическую индукцию на расстоянии г от точечного заряда г7. Заряд служит началом всех линий индукРис. 12 ции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
