Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 7

денсатора, изменяющемуся с малой частотой, соответствует весьма малый ток контура, а, значит, и малое магнитное поле. Измерение внутри конденсатора магнитного поля., связанного с током сл»ещения первым уравнением Максвелла го1Н = —, ~ Нй(=.— „~ !»й3, ь Я можно рассматривать как способ проверки этого уравнения. Глава 2 (2.

3) р„= ЬЕ =-- оЕ» = Ьв)о. <3>> Ри= ) ~ ЕЬабЗ=Е! 65=и! !в>> з Е = 6, о — Е' и рав«нство (2.1) принимает вид: (2.4) Р = 6«, а -- Ь Е'", илш (2.5) Р=Р— Р 12. Закон Джоуля — Ленца Запишем сш>тношени<" Р =. ~ — <((I — ~ ЬЕ*"' Ю, (2,4а) 1 .=.6Е, <2.11 гд« р=- 1>гп— *>э ди оп'< (2.2) е> л ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ !!одчеркнвая физическую реальность электромагнитного поля. мы охарактеризовали его как носитель энергии. Непосредственно~ воздействие быстропеременного электромагнитного поля на органы чувств человека вызывает ощущение тепла, а прп известной часто те колебаний — света. Однако основной научный интерес представляют превращения энергии поля в иные формы, доступные наблюдению н изучению.

Так, рассмотрев простейшие электромехани. ческие превращения, мы построили определения векторов поля Полезно вспомнить в связи с эт>гц что ил<евно наблюдени< электромеханических явлений положило начало научному представлению об электричестве. В современной технике, как известно, широко использ) >отса также элеьтротепловые, фотоэлектрич««ки .. эг>«„трохи" и и ские и мног> е друщ.е пр«вращения. Н<; >редметом нашего вниз<внии в данной главе буд)т не са<п< эт; >ревращения, а возникаю>цее благодаря пм движение электромагиигной энергии, ес виды н характер распределения в прострацс>ве С этой целью будет рассмотрен баланс энергии в ограничешюй облзстп пространства.

В результате анализа появятся понятии потока энергии и вектора Пойнтинга, электр.шеской»;>агпитпор -нерг> и и > . птогиости есть плон<носи<в,ио<цносо>и; ЬР— количество энергии электромагнитного поля, переходящее за секунду в энергию иного вида внутри элем«нтарного объема 6)>. В простейшем случае, когда сторонних сил нет, речь идет о преобразовании электромагнитной энергии в тепло, выделяемое током проводимости, о «тепловых потерях» энергии ь. Отмечая этот факт индексом и (потери), прндадим равенству (2.!) с помощью закона Ома (1.23) другие формы: Интегрирование по объему (У приводит к выражени>о мощности потерь в объеме Рп = ~ ЬЕ сУ = ~ оЕ' с((х — ~ — <Л/.

(2.3а) Легко убедиться, что физическое содержание равенств (2.3, 2.3а) определяется известным законом Джоуля — Ленца. Действительно, применяя (2.3а) к цилиндрической области изображенной иа рис. !4, имеем: (смысл обозначений тот же, что и в з 6). Это формулировка закона Дн<оуля — Л«нца для участка цилиндрического проводника.

Если в области действуют сторонние силы, то в каждой ее точке, согласно (1.35). Здесь плотность мо<цности р разделена на две части, одна из которых соответствует потерям энергии, а другая — действию сторонних сил. Интегрируя по объему (У, находим: Может происходить преобраэоваиие энергии поли ие в теплову<о а, >пе припер, в хини >есиуи> (элеитролит] и др плн Р = — Є— Р'"', (2.5а) где Є— мощность потерь, определяемая законом Джоуля — Ленца в форме (2.3а), а Реи-- 1 6Ест У й !3. Баланс энергии электромагнитного поля Начнем с несложного формального преобразования. Записав уравнения Максвелла (1.8 и !.7), все члены первого из них умножим на Н, а второго — на Е н произведем вычитание соответственных частей.

Вот запись этих действий: дВ Н го1 Е = — Н вЂ”. д1 Е го( Н = Š—.,— + Ь Е Н го1 Š— Е го1 Н =- — Н вЂ” — Е- — — Ь Е дп д0 д1 — д! В силу известного тождества векторного анализа Н го1 Š— Его(Н = —. с!1г(Е, Н). я, следовательно, сВт [Е, Н) =- — Н вЂ” т Š— — ) 6 Е. дВ д0! д1 дь ) (2.б) называется мощностью с1поронних сил в объеме Р; эта величина характеризует процесс преобразования энергии различных видов (например, химической, механической и др.) в электромагнитную.

Мощность Р— величина положительная, если потери в области превышают вклад сторонних сил. Когда же мощность сторонних сил Р"" болыпе мощности потерь Р„, величина Р оказывается отрицательной. (2.9) знак в котором выбран из тех соображений, что при положительном Р (Р„> Рс"', преобладают потери) энергия должна убывать (д <О) Сравнивая (2.8) и (2.9), мы видим, что исследуемый интеграл равен временнбй производной энергии Ю'1 дв ( х НдВ, Едп (2.10) ш 5 ,. ду ' д! ./ Теперь обратимся к исходному уравнению (2.7).

Введя обоз- начение Смысл последнего члена в правой части равенства Р= () Ь Еок' ясен из предыдущего параграфа: это мощность, характеризующая всю совокупность процессов преобразования энергии в объеме Р. Отсюда видно, что и все остальные члены равенства (2.7) имеют размерность мощности, Т(ля выяснения физического содержания интеграла ( ( Н ~.~- Š— ) Ю рассмотрим особый случай.

Пусть изнутри г' к поверхности 5 примыкает другая непронииаемая для поля оболочка 5' (рис. 2!). При этом интеграл, стоящий в левой части (2.7), равен нулю, так как на поверхности Я поле отсутствует. Итак, для изолированной области уравне- х' ние (2.7) принимает вид: Р= ! (н — ",'к —",,)а~. о8~ ! Но раз область к' не сообщается с внешней Ряс. Ряс, 21 средой, то мощность Р есть не что иное, как скорость изменения энергии В', сосредоточенной внутри области 'к', и справедливо равенство дУ Р= — -— ш (2.!1) (2. 12) 1З После интегрирования по объему Р и применения к левой части формулы Остроградского — Гаусса получаем: ф (Е, Н) Ж = — ~ ~ Н вЂ” „-1- Š—, ) с(Š— ~ ЬЕ1Л~, (2.7) 3 где 5 — замкнутая поверхность, ограничивающая Р.

П=!ЕН ) и полагая в соответствии с (2.5а) Р =.— Р„"- Р'"', запишем (2.7) в следу1ощей форме: Пь(8+ —, + Р„=- ~ '"'. да7 Этот результат характеризует баланс электромагнитной энер- гии в области )г и известен как формулировка теоремы Умова— Пойнтинга. Не выясненным здесь пока осталось физическое содержание лишь одного члена — потока вектора П через замкну- тую границу 5. Существование этого потока 1$ Пе!3~ О, как видно отличает область, сообщающуюся с окружающим про- странством, от изолированной. Поток вектора П соответствует, таким образом, обмену энергией с внешней средой. Если внутри области (г нет потерь (Р„= О) и электромагнит- / д1Р' ная энергия остается постоянной ! —,— =0 ), то мощность, рав(,д! = виваемая сторонними силами внутри этои области )е, неизбежно расходуется за пределами ее,— это мощность излучения.

Но при этом согласно (2.12) фпйЭ=Р"* т. е. поток вектора П равен по абсолютной величине мощности излучения, или, иными словами, энергии, проходящей через гра- ницу 5 за секунду. В то же время, судя по знаку, можно было сразу сказать, что это выходящий (положительный) поток. Совершенно очевидно, что поток вектора П имеет смысл пото- ка энергии через границу 5. К такому же заключению можно прийти, рассматривая протисм воположный прим*!х Пусть Р'' .—.0 и — = О. Тогда потери внут- 4! ри (г происходят благодаря поглощению энергии окружающег< пространства. Но иа основании (2.12) при этом ф Пс(3-= — Ря, Следовательно, и здесь поток вектора П ранен по абсолютной величине энергии, проходящей через границу области за секунду, и по знаку соответствует направлению ее движения (входяи(ий, отрицательный поток), Величина П называется вектором Пойнтинга и интерпрети- руется как плотность потока энергии.

Примеры и упражнения 1. Как выпас.ппь мо:цность, излучаемую антенной, если известно ее полей 2 Чем возмещается излучаемая энергия, если установлено, что поток вектора Пойнтинга через замкнутую границу некоторой области, внутри которой нет сторонних сил, положителен. я! Ря =- а)р', (2.! 3) где а — коэффициент пропорциональности. Тогда, согласно (2. ) 2д — = — а)г', (2. 14) откуда ))7= Яу е а~ о (2.15) времени (1= 0).

коэффициентом причем ))я есть энергия системы в начале отсчета о Итак, энергия убывает экспоненциально с затухания ря а= —. Ге' ' (2.13а) й 14. Электрическая и магнитная энергия электромагнитного поля В качестве одного из результатов предыдущего параграфа напомним, что скорость изменения энергии области )г выражается через векторы поля в этой области форм) лой (2.10): '„~ =-. 1, ! Н -~-+ Е-д"— ' ) Лу. д! ')! др' дТ!' 1 Привлекая (!.21 и !.22), имеем'. дв ди д Рйн Н вЂ” — — иН вЂ” 1й —— дг 1 —,г, дв дЕ д абебе, Š— =еŠ— = — 1= ь д! д! д! 1 2 Таким образом, Т= — ' ~ ( — ""'+7)- й Если существенна янерцнонность среды, то ее нзрзметры р н е нельзя считать не зависящими от времени н вьщоснть зв знак производной д/дд Анвлнз электромагнитной энергии прн этом усложняется.

оз 3. Внутри области происходит преобразование энергии сторонних сил в электромагнитную, однако поток вектора Пойнтинга через ее границу оказывается отрицательным, Описать различные варианты баланса энергии. 4. В изолированной системе нет сторонних сил (Р' = 0), а мощность потерь пропорциональна запасу энергии. Найти закон изменения энергии во времени. Запишем (р = — ~ (рН'+ аЕ') сйс.

У (2. 16) Ряс. 23 Рис. 22 (2.17) нли ~"' = И' — ,'- )р'э" + (й'~"э. (2.17а) ф= ~ Вй8= р)),Е. (2. 20) (2 21) или (2.21а) Примеры и рпранснения *'в и, следовательно, электромагнитная энергия в области йс равна: Интеграл состоит из двух частей, одна из которых зависит только от магнитного, а другая †толь от электрического поля: йс = (р'"+ Ю". (2.16а) где Ю'" = — ~ рНс й$' и )Р'= —, ) еЕ'ййс. 1 Г 1 « 2 2) Поэтому (Р" называется магнитной энергиеи, а 1(с' — электрической энергией электромагнитного поля.

На энергию электромагнитного поля не распространяется принцип суперпозиции. Пусть, например, в области (с сначала существует магнитное поле Н„обладающее энергией (Р",, а затем поле Н„энергия которого есть Ю'э. Если теперь оба поля существуют одновременно, то полная энергия (Р" не равна сумме (Р~ + )кэ.