Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 5

В первом случае (О=-О) в среде может существовать лишь ток смещения, ибо первый член выражения плотности полного тока дП ОЕ +— дс равен нулю. Во втором (о — +со), наоборот, существует только ток проводимости (второй член в сравнении с первым — величина 26 Серебро . Медь (холоднотян.) . Алюминий и Железо Олово . Свинец Ртуть 6 14.10' 5 65.10' 3,54 1О' 1,0 1О' 0,669 1От 0,46 10' О,!04 10' Кварц плавлен . Парафин Мрамор Слюда Стекло обычное Сера Дерево парафиннрован.

2.10 4' 10 44 — 10 44 !От — 10в 10'м — 10 4' 10 " 10 'в 1О "— 10 " бесконечно малая). Очевидно, что реальная среда должна быть признана близкой к идеальному проводнику, если ток проводимости значительно преобладает над током смещения. Тогда это проводник. При обратном соотношении токов смещения и проводимости среда является диэлектриком.

Особый интерес представляют гармонически меня]ощиеся поля. Пусть напряженность электрического поля подчинена закону Е= Е„(х, у, г)созе]1, тогда плотности токов проводимости и смещения в произвольной точке М(х, у, г) следующие: д[ь 6=ОЕм(х, у, г)соею[ и — = — юеЕв,(х, у, г)з!пай Отношение их амплиту ! (дР]д!)вс юе От (! .Зб) есть мера оценки свойств среды на частоте )=со]2л. В соответствии со сказанным выше, среда характеризуется как диэлектрик, если и — «1 саа (1.37) и как проводник если — »1 а Мы видим, что деление сред на проводники и диэлектрики по их электропроводиости относительно, так как критерий оценки включает еще и частоту.

В том огромном диапазоне частот, которым располагает современная радиотехника, свойства сред меняются весьма значительно. Можно сказать, что с ростом частоты вещества приобретают диэлектрические качества, Поведение ряда хорошо известных сред иллюстрирует рис. 15, Как видно, медь, алюминий и другие металлы остаются хорошими проводниками во всем диапазоне частот, доступном практике, но, например сухая почва, будучи на низких частотах проводником, на сверхвысоких становится отчетливо выраженным диэлектриком. Отмеченный факт играет важную роль в распространении радиоволн над земной поверхностью.

Примеры и упр жнения ! . В некоторый момент тело, характеризуемое диэлектрической, проницаемостыо е =- 2,5е„и удельной проводимостью о = 10 "симсм, несет электрический заряд. Определить пролтежуток времени, в течение которого заряд любой внутренней области уменьшится вдвое. Куда «исчезнеть заряд? 27 /0 и и !О чаи вг Ь'=х[Е, Н=[ г/гчвг Ь„= — оЕ„+ иН Е„ Ь„= — иН =Е, + оЕ„ Ь.=- оЕ во в о иН 0 < а= — кН= о 0 0 0 о Ряс. !а (1.42) с, е=о„а °, (1.39) Заменяя в уравнении непрерывности (!.16) плотность тока Ь через оЕ, согласно (!.23), и затем исключая вектор Е с помощью уравнений (1.22) и (1.!3), имеем: (1.38) Найденное уравнение описывает изменение плотности заряда в любой внутренней точке тела. Его решение есть где о,— плотность заряда в начале отсчета времени (1=0).

Как показывает (1.39), заряд во внутренних точках убывает экспоненциально с коэффициентом затухания и= —. ,Пальнейшее выполнить самостоятельно. 2. Перечислите известные вам причины возникновения тока проводимости — как электрического, так и неэлектрического пронсхождени я. 3. При какой частоте отношение амплитуд токов смещения и проводимости в меди будет таким же, как в сухой почве при частоте ! =-1000 гцр 4. Ток в среде распределен с плотностью Ь,. Опыт показывает, что с приложением постоянного магнитного поля Н= возникает дополнительная составляющая плотности тока, определяемая равенством (1.4!) где и — постоянная (обычно Ь' весьма мало в сравнении с Ь,). Описанное явление носит название згрдвеквла Холла.

Описать электропроводность среды, полагая, что магнитное цоле Н прилол<ено по оси г. Плотность тока в произвольной точке среды равна Ь = Ь„+ Ь'. Заменяя первый член правой части в соответствии с (1.23), а второй на основании (1.41) и положив Н =х,П=, имеем: Ь=оЕ+кН [Е, хо[. Это эквивалентно трем скалярным равенствам: Иными словами (сравнить 1.26а, 26 и 266), удельная прова димость среды при эффекте Холла выражается тензором и дифференциальная формулировка закона Ома принимает вид: Ь=оЕ.

(1.43) 29 3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Основной задачей теории электромагнитного поля является нахождение его векторов в определенной области пространства при заданных условиях, которые отражают предварительные сведения об электромагнитном процессе. Задача имеет реальное физическое содержание, если эти сведения правильны и если.

они дастагпочиы. При неправильных условиях, налагаемых на уравнения поля, можно получить решение, не соответствующее исследуемому процессу, или просто войти в противоречие с этими уравнениями. Решение, получаемое при недостаточных условиях, оказывается неопределенным. Вопрос о том, какими сведениями надо располагать, чтобы найти поле в задаче того или иного типа, будет решаться по мере необходимости в последующих главах. Пока же отметим, что для определения поля внутри области надо иметь некоторые данные о его характере на границе. Особый интерес представляют границы разнородных сред, присутствующие в подавляющем большинстве практически интересных задач. Последующие параграфы посвящены изучению электромагнитного поля на таких границах с помощью уравнений Максвелла.

Результаты формулируются в виде так называемых граничных условий, которые затем будут использоваться в задачах разного типа. ф 8. Граничные условия для векторов электрического поля Нормальные составляющие. Начнем с граничных условий для векторов Е и О. На поверхности раздела двух сред 5 (рис. 16) выберем достаточно l малый элемент Л5 и пост! в роим на нем цилиндр высоты ЛЙ, находящийся в обеих 5 средах.

Говоря «достаточно М Ау! малый» элемент, мы имеем в виду, что его можно считать плоским, а прилежащее .«ь поле — однородным. В общем случае поверх- ность раздела может нести Рис. РВ заряд. Фактически речь идет о заряде, который располагается вблизи нее очень тонким слоем; этот случай, как будет видно в дальнейшем, представляет большой интерес.

Предположим, что заряд не занимает объема, а сосредоточен в геометриче- зи ской поверхности, тогда величина ач $ =1)гп —— ьз ьл8 (1.44) где Лд — заряд элемента Л5, имеет смысл поверхностной плот- ности заряда. К цилиндрическому объему применим теорему Гаусса (1,13а). Ввиду однородности поля поток вектора 0 через верхнее и ниж- нее основания цилиндра находится простым умножением скаляр- ного произведения этого вектора и внешней единичной нормали (и' или, соответственно, и ) на площадь поперечного сечения о « е цилиндра Л5, а заряд внутри цилиндра равен Л5.

Итак, сог- ласно (1.!За), 0,и,'Д5+ 0,и,"Л5+ ф'„ч = $Л5, где индексы 1 и 2 соответствуют обозначениям среды по обе стороны границы, а ф',„означает поток индукции 0 через боковую поверхность цилиндра. Будем неограниченно уменьшать высоту цилиндра Лй, так что его основания в пределе совпадут с элементом поверхности Л5, и боковой поток Ф' исчезнет, Учитывая это, сделаем замену во« и'=-и,, и,= — и„, о где и,— нормаль к поверхности раздела, направленная в первую среду. Разделив все члены уравнения на Л5, получаем: (О, — 0,) иь = 4, (1. 45) или (1.45а) Оо, — О«„= «.

з! Полученное граничное условие означает, что нормальная к границе составляющая вектора электрической индукции при переходе через нее изменяется на величину поверхностной плотности заряда. Если граничная поверхность не заряжена, то компонента 0„ непрерывна при переходе из среды 1 в среду 2. Как видно из сопоставления (1.45а) и (1.22), нормальная составляющая напряженности электрического поля Е изменяется при переходе через границу обратно пропорционально диэлектрической проницаемости, т.

е, (1.46) Та н ген пи альн ые составляющие. Рассечем поверхность раздела двух сред плоскостью Р (рис. 17), которую можно считать перпендикулярной некоторому малому элементу этой поверхности (на рисунке он не обозначен). В плоскости Р возьмем прямоугольный контур !. =(АВС0), пересекающий границу, не выходя за пределы указанного малого ее элемента. При этом АВ =- =Се)=Л! и ВС= Л/2= Л/!. боковая сторона контура параллельна нормали к границе п,. Единичный вектор, совпадающий с линией пересечения плоскости Р и границы (в пределах сделанного построения), обозначим т,.

Направление т, выбрано так, чтобы ныполнялось соотношение т, = [г!о, по), где !!/о — единичная нормаль к Р, составляющая правовинтовую систему с обходом контура Е. !с, контуру применим уравне. ние (1.8а). ЕотоЛ! — ЕотоЛ/+ Соое = — — д ХОД!Лй Слева от знака равенства за- писана циркуляция вектора по Ряе. 17 контуру Е, разбитая на три час- ти: первые два члена соответствуют сторонам контура ЛВ н С0, а третий выражает долю боковых сторон. При неограниченном уменьшении высоты Лй стороны ЛВ и С0 сливаются на границе, а правая часть записанного равенства и Со„„исчезают, в результате чего оно принимает вид следующего граничного условия: (Е, — Е,) т,=-О, (1.4?) нли Е« = Еае.