Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 10

Поле этой системы мы будем исследовать на расстояниях значительно превышающих ее размер г р 1. (3.25) При соблюдении условия (3.25) система называется диполем. Если неограниченно уменьшать 1, сохраняя момент р, то в пределе получится «дипольная точка», характеризуемая вектором р,— идеальный диполь; условие (3.25) выполнено при любых г. Согласно (3.22). потенциал диполя в произвольной точке М оавен Полагая в соответствии с рис. 34, '1'еперь по формчле (3.4) можно определить поле диполя Е. Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой координат (рис. 35).

Внося (3.26) в формулу' д(р 1 д~р 1 д(р Е= — афтаб!р= — ! г — -(-(г — — +а —. — ), о дг о г дд егвюдда,г" » Векторные опсрапнн в крнволннейных координатах напомннангтск в прнложенна. (3.31) Примеры и упраннения откуда Ип' д С=— г (3.32) 4 21. Поле заряженных нитей (3.28) (3.29) $ В с(6 = 2пг10 = — д, (3. ЗЗ) где (3.34) Как и следовало ожидать, поле днполя симметрично относительно его осн. Силовые линии поля в мериднональной плоскости изображены на рис. 36.

Р Понятие днполя играет важную роль в теории электромагнетнзма. Полученные выше результаты найдут применение в дальнейшем. Рис. Зб 1. Как указывалось в 2 16, потенциал бесконечно удаленных точек принимается в электростатике равным пулю. Допускает ли это условие существование бесконечно удаленных зарядове 2. Обьяснить причины, побуждающие писать Е = — вегас( ~ вместо Е=йгаб~р, хотя с точки зрения тождества го1йгаб«2=6 оба выражения равноценны. 3. Найти поле точечного заряда дифференцированием его потенциала, 4. Определить электростатическое поле на прямой, являющейся осью симметрии равномерно заряженного кольца пренебрежимо малой толщины, если его радиус есть г„ а полный заряд равен д. 6.

Система зарядов называется электрически нейтральной, если сумма всех зарядов равна нулю Пусть все заряды по абсолютной величине одинаковы. Сложиь дипольиые моменты парных разноименных зарядов, получим векторную сумму — электрический момент системы. Объяснить, почему поле системы на большом расстоянии таково же, что и поле диполя с моментом Р.

6. Найти уравнение силовых линий днполя. Вместо (3.11) будем исходить нз аналогичной пропорции в сферических координатах чг г чд г»1п д Па Е, Ев Е« где е(г, г«16 и г з!п д «(а — элементы длины по координатам г, д и а. Ввиду того, что силовые линии лежат в меридиональных плоскостях (азимутальная составляющая Е, отсутствует), надо оч найти решение одного лишь дифференциального уравнения Е» — =г — ", Ев которое на основании (3.27) имеет вид — = 2г с1д д. «д Разделяя переменные — =2с1дде(д г н интегрируя, получаем 1и Сг = 2!п гйп д, Полученное уравнение описывает силовые линии поля диполя.

За ан и е. Построить несколько силовых линий, давая равд личные значения постоянной С, Рассмотрим весьма тонкий цилиндр, несущий равномерно распределенный заряд в «заряженную нить». Ее поле легко найти путем непосредственного применения теоремы Гаусса (3.2а) подобно тому, как это делалось в случае точечного заряда.

Из соображений симметрии следует, что электрические силовые линии — это Р авномерно идущие радиальные прямые, Поместив нить симметрично внутри мысленного цилиндра радиуса г и длины 1, найдем поток индукции через его поверхность; где д — заряд участка нити длиной С Отсюда Е=г— »2пег ' — линейная плотность заряда нити. Представляет интерес случай двух параллельных нитей, заряженных с плотностью т и — т соответственно.

На основании прин- ш Таким образом, 2< + 1 с05 й <г, = — !п, 2ие 2г — ! сои а (3.39) (3.35) (3.36) <2 (3.4!) (й — некоторая постоянная). ~ 'г' <х Рис. 33 Рис. 39 Рис. 37 (3.4)а) (3.42) где (3А3) е" ципа суперпозиции поле нитей находится как сумма полей каждой из них в отдельности: Л~~< Потенциал в некоторой точке М представляет собой сумму потенциалов полей Е, и Г,: ф =- ф<+ фе, Пользуясь выражением (3.9), запишем и .< ф< = ~ Е, <!г<+ ф' = — !п — <+ф' 2пе г, и м т <2 фе = ~ Ее <(г + ф„' = — — ! п — ' ~- ф„'.

2пе 3< Здесь г< . .означает расстояние от вспомогательной точки М' до одной из нитей, создающей в этой точке потенциал <Р;л. Располагая точку М' на одинаковом расстоянии от нитей (рис. 37), так что г,' = г,', получаем (3.37) (легко сообразить, что в этом случае ф,' = — ф<), Поле в весьма удаленных точках ™ г )) 1 (3.38) можно выразить в цилиндрической системе координат, расположив ее ось симметрично (рис. 38).

При условии (3.38) очевидно 1 г, = г — — созе и г, г+ — соза. 2 и напряженность поля, определяемая по формуле (3.4) в цилиндрических координатах дф , ! дф дф '~ Š— втаб ф = — (г, д, + а, -„- д с учетом (3.38), примет вид: Š— —.,(гесоза+ аоз'п ) <1 При изучении поля заряженных нитей полезно учесть следующее обстоятельство. Как показывает выражение (3.37), эквипотеициальные поверхности определены требованием: Переписывая (3.4!) в декартовой системе координат, ориентация которой показана на рис.

39, получим 3то уравнение приводится к виду (х — а)'+ уе = 1<., к единице объема и обозначая )пп — = Р йр ат обУ (3.46) — Х' е,ЛУ (3.47) получаем соотношение (3.49) Ф=Фе+Фз (3.50) где У (3.51) (3.44) Рз — Рнс ХЕ 1 Рг Фа =- — ) —; — с(У. (3.

52) ЛР еи Х Рь = 2. Рог + А1ХЕ ЬУ ЬУ (3. 45) Отсюда видно, что эквипотенциальные поверхности образуют при пересечении с плоскостью хОу окружности радиуса )со (рис. 39), которые смещены относительно начала О по х на расстояние а. й 22. Электростатическая модель диэлектрической среды Отличительным свойством идеального диэлектрика является отсутствие свободно перемещающихся заряженных частиц (о=О). Диэлектрик может состоять как из электрически нейтральных молекул, так и из ионов, связываемых неэлектрическими силами, В обоих случаях элементы среды — молекулы или кристаллические ячейки, внутри которых оказываются связанными равные по абсолютной величине разноименные заряды — можно рассматривать как диполи.

Это представление приводит к электростатической модели среды в виде системы произвольно ориентированных диполей. Описание модели остается неполным, пока не указан характер сил связи, удерживающих заряды внутри элементарных диполей и при всяком смещении стремящихся возвратить их в положение равновесия. Опыт показывает, что они подобны силам упругости, т. е. в достаточно широкой области пропорциональны смеи(ению.

Положим, что в диэлектрической среде существует поле Е, обусловленное распределением заряда в области (г с плотностью о. Действие его проявляется в смещении всех положительных связанных зарядов в направлении вектора Е и всех отрицательных— в противоположном направлении. Это значит, что в поле Е моменты всех элементарных диполей получают парад.1ельныс ему приращения.

Эти приращения не только параллельны, но и пропорциональны вектору Е, так как они пропорциональны силе связи, уравновешенной в состоянии смещения силой поля о Е. Итак, где р,. — момент произвольного диполя 1 в поле Е, р„— его момент в отсутствие поля, а Х вЂ” коэффициент пропорциональности, определяемый силами связи. Суммируя элементарные дипольиые моменты в некоторой области Ь(г, получаем: где А( — число элементарных диполей внутри Ь(г. Сумма начальных моментов р„(первый член в правой части) равна нулю, потому что любые ориентации диполей равновероятны, пока нет внешнего поля Е.

Относя обе части равенства (3.45) Р = вьХ'Е. (3.48) Вектор Р, имеющий смысл удельного электрического момента единицы объема диэлектрика, называется поляризованностью среды. Ранее (2 5) понятие поляризованности было введено иным путем. Можно показать, что речь идет об одной и той же физической величине. Потенциал в произвольной точке диэлектрической среды поясно определить двумя путями. С одной стороны, это, согласно (3.23), С другой стороны, заменяя диэлектрик его моделью, системой диполей в пусглолзе, имеем: есть потенциал заданного распределения зарядов, а Фз — потенппал, создаваемый всеми днполями моделе.

Каждый элемент объема среды ведет себя как диполь с моментом Р оУ, поэтому в соотнетствнн с формулой (3.26) потенциал его поля в произвольной точке на расстоянии г есть ош, 1 Рг 4пвч гз Потенпиал системы диполей, эквивалентной всему диэлектрику, входи интегрированием этого выражения по полному объему з(ля дальнейпзего этот интеграл придется преобразовать, Вектор — г 1'г-', как нетрудно проверить по обычной формуле в сферических координатах, есть градиент функции 11'г. Но обычная формула (см., например, приложение) получена для случая фиксированного начала координат и переменной точки наблюдения (рис. 40).

А в формуле (3.52) фиксирован конец вектора г, связанный с точкой, в которой определяется потенциал. Начальная же точка Заказ % 11зз 65 (3.54) 1 Г 0-6ВР Ф = — Зт — -- — - — — г()г 4леа 3 м (3.55) Р - '-.—.— Р нгаг( — . — ~ --щ =- ---- ~ — г((г го 1 ге беар 4пе 3 г 1леа . г и привлекая (3 2), находам,что Р=() — еаЕ, (3.56) ггз 0 гэ Рнс.

40 ппа (ФА)=ф д!а А-!-А ягаг( Ф, (3.57) положим а нец 1 — и А=-Р, тогда Рта . Р "= г(!т — — — г)ШР. г Согласно уравнению (1.23 Ь-. пЕ "=,—.„, (Ф -'"'-~ -" — "'- н ) р (Злбз) — а(8 =1!ш 4пга — зах — - =0 $ — —, а 4 п г-ас г 4агеаг поверхность взята сферической). 66 этого вектора, лел ашая а элементе объема г()', является переааеннои э процессе интегриронания (рнс. 40, б). Это значит, чю напранление нозрастания величины г протиэоположно га, т. е. градиент г, а следовательно, и любой ф ц от г по сравнению со случаем фнксироааниого,начала коордпнат функции от дол кен переменить знак.

Из сказанного вытекает 1 га)га=нгай —, г ' и тогда подынтег!аа гьпое зыражение принимает зпд Вэян, далее, и местное векторное тождество Внося это а (3 52) и применяя формулу Остро|ргагк по-1 а!сев, получасги Распространим ннтегриронание на безграничную диэлектрическую среду, т. е. отнесем гранину у 5 на бесконечно большое расстояние от заданного з ряда. Легко доказать, что поверхностный интеграл а (3.53) .49, че еэ при этом исчезнет. 7(сйстантельно, замениа вектор Р, согласно (3.