Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 8

Лействительно, =-. — ~ р(Н, Нэ)'й(с =- — ~ иН; й + + —,' ~ рн,*й + ~ рн,н, л, Величина (Р"~е называется взаимной энергией полей Н, и Нм Разумеется, все сказанное можно было бы повторить и в отношении электрического поля. С чисто формальной точки зрения отмеченная закономерность есть простое следствие квадратичной зависимости энергии от векторов поля, подчиненных принципу с) перпозищии.

Нарушения закона сохранения энергии, конечно, не происходит: появление взаимной энергии требует дополнительной затраты энергии источников (сторонних сил), если )й1с ) О, и, наоборот, сопровождается отдачей энергии, если Ю'„ ( О. 1. Симметрично относительно оси прямолинейного тока 7 в воздухе расположен тор, магнитная проницаемость которого весьма велика (р» р,) в сравнении с магнитной постоянной (рис.

2.2). Вычислить магнитную 'энергию системы, полагая, что она сосредоточена внутри тора, ввиду его большой магнитной проницаемости. Магнитные силовые линии имеют вид концентрических окружностеи, причем согласно (1.20) (= ~ Нй) =Н,1, (2.18) где 1 — длина средней окружности, а Н, — напряженность магнитного поля иа этой окружности. Вычисляя энергию магнитного поля по формуле (2.16а), получаем: 2 э~ 2 (2. 19) Здесь, в соответствии с рис. 22. Я= )с — объем тора. Магнитный поток внутри тора Внося (2.18) и (2.20) в (2.19), находим: чъ1 где коэффициент пропорциональности Х=ФД называется индуктивиостью. 2, Электрическое поле плоского конденсатора (рис.

23) будем считать однородным. Его энергия 2 (2. 22) где Я = 'ьт — объем, занимаемый полем. Обозначив Е! =- (/ п С = е511, напишем: (2.23) Величина Ь есть разность потенциалов между пластинами конденсатора, а С называется его емкостью. В дальнейшем формулы (2.2!а н 2.23) получат более широкое значение. й 15. Локализация и движение энергии Величина Л11 сэ = 1)пь— , „„лк (2. 24) называется плопгностью энергии электромагнитного поля (сл)й' энергия, содержащаяся в элементарном объеме ЛУ).

Согласно (2.16), 1 сэ — (РП" + еЕи), 2 причем слагаемые Ол, ед'-' ш = — и ю— 2 (2,25) сВ ь. П вЂ”; — "- -5 р„= р"", ся показывающей, что изменение плотности энергии в каждой точке п)ьостраг ствэ определяе ся характером ее преобразования (Р„, )л'"') и движения (П). Вектор Пойнтпнга П, как уже говорилось, выракэет плотносьь потока энергии, т. с, указывает направление ес дви кения и по абсолютному значению равен количеству энергии, проходящему за секунду через единичную площадку, перпендикулярную к П.

Зная плотность энергии ю и плотность ее потока П, можно найти скорость движения энергии ои Выделим в потоке энергии цплиндрнчешчнй обьсм (рнс. 24) с поперечным ссчением 55. Количество энергии, проходящее за секунду через условную границу 1, (рис. 24,а), есть 1з называются соответственно плотностью магнитной энергии и плотностью электрической энергь и. формула (2.25) хэрэктеризует распределение, локализацию энергии поля в пространсгве. Вводя обознэчения 12.5, 2.!! и 2.25) в ь равнение (2.6), приходим к следующей днфференпнальной форму,тнроаке теоремы Умова — Пойнтиьшэ: Оно заполняет цилиндр до 1, (рис.

24,6), причем, как это понятно, расстояние между 1, и 1,, обозначенное И, численно равно скорости движения энергии сл1= и,. Чтобы найти этУ величинУ, наДо Ю'сы=~1 РазДелить на количество энергии, приходящееся на единицу длины цилиндра Ю'сл~ ьь=цчлЯ. Таким образом, втс„м ! и! и 271д!=!) ы ' нли, учитывая, что вектор скорости и вектор П направлены одинаково, (2.27) ьс = — „ э= м В заключение сделаем одно замечание, Толкование вектора Пойнтинга как плотности потока электромагнитной энергии в современной электродинамике общепризнано и оправдано опытом.

Однако его нельзя рассматривать как непосредственно вытекающее изтеоремы Умова — Пойнтинга.Дей- ~ ~~Ы~Ый~ы стви тель но, полн ый поток энергии чеУ рез замкнутую поверхность 5, фигурирующий в (2.12), не изменится, если его плотностью считать не П, а П+П, где 0 — произвольный вектор, обладающий свойством С 1 I ~о б5=6.

Рис. 24 л Дифференциальная формулировиа (2.26) тоже не определяет плотности потока энергии, тэк как там присутствует лишь ее расходимость. Итак, физическое содержание вектора Пойнтинга оказывается более глубоким, чем это можно установить нз анализа баланса энергии. Примеры и упражнения 1. Выделение теп ла током, Внутри уединенного проводящего цилиндра (рис. 25) течет постоянный ток 1. Как известно (1.23), напряженность электрического поля в каждой точке цилиндра 4 Заказ ЛЛ ~ Ыл 49 и ич м б = Нпг'„ где г, — РадиУс цилиндРа.

Магнитные силовые линии представляют собой концентрические окружности. Напряженность магнитного поля на поверхности цилиндра находится по формуле (1.20) Н = аиН2иг,. Здесь а„— единичный вектор, касательный к этим окружностям и согласованный с направлением тока правовинтовой системой. лярной к ним. В этой же плоскости лежат охватывающие провода замкнутые магнитные силовые линии. Нетрудно заметить, что от генератора к нагрузке направлен поток вектора Пойнтинга.

За дан не. ! ) Описать поток электромагнитной энергии в электрической цепи без пренебрежения потерями в проводах. 2) Участок линии передачи постоянного тока показан на рис. 27. Стрелками обозначены токи в проводах и напряжение между ними. Пользуясь понятием вектора Пойнтинга, указать с какой стороны находится генератор. >> а ~ й ====-' к о ~~~~рречиеаиДр-~е еб »ис. 26 Рис.

25 Легко заметить, что из окружающего цилиндр пространства внутрь него направлен поток вектора Пойнтинга. Этот вектор в каждой точке поверхности цилиндра (2. 28) П =[Е, Н)= — г 7и)2пиг',о, где — г — единичный вектор внутренней нормали. Согласно полученному результату, энергия внутреннего ноля втекает в цилиндр. Вычисляя поток вектора Пойнтинга на участке цилиндра длиной 1, находим энергию, отбираемую им из внешнего пространства за секунду: Р = 2пг 1[ П ~ =!и — = (~Н, 1 че)а (2.29> где Я вЂ” сопротивление участка 1.

Ввиду того, что (2.29) совпадает с выражением закона Джоуля — Ленца, становится очевидным, что выделение тепла током есть результат проникновения в проводник энергии внешнего электромагнитного поля. 2. Передача энергии в электрической цепи. На рис. 28 схематически изображена цепь, представляющая в области (е отрезок двухпроводной линии.

Пренебрегая потерями в проводах, не будем учитывать вызываемого ими падения напряжения электрические силовые линии, начинающиеся на одном из прово. дов и кончающиеся на другом, лежат в плоскости', перпендику 50 Рис, 27 Рис. 25 3) Вектор Пойнтинта и гранич ные условия. Пусть на границе двух сред 5 не происходит каких-либо превращений энергии. Расположив в произвольной ее точке М начало декартовой системы координат с осью г вдоль нормали, запишем условие непрерывности нормальной компоненты вектора Пойнтинга при переходе из среды 7 в среду 2 (рис. 28): [Ем Н>), = [Е„НД,. (2.30) Почятно, что нарушение этого условия могло бы означать лишь то нли иное превращение энергии на границе., что противоречит исходной предпосылке.

В компонентах декартовой системы условие (2.30) имеет вид: Е,„Н,„— Е,„Н,„= Е,„Н вЂ” Е„Н,„. (2.30а)> Оно будет выполнено, если т. е., если и Н„=Н„, (2.31) Мы пришли к известному из 9 8, 9 требованию непрерывно. сти тангенциальных компонент напряженностей поля на границе раздела. — Глава 3 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Некоторые простейшие понятия электростатики, известные из обгцего курса физики, уже привлекались выше для иллюстрации общих вопросов теории электромагнитного поля, Данная глава посвящается систематическому изложению электростатики па основе общих уравнений поля. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ В 9 11 было показано, что не изменяющееся во времени электрическое поле в пространстве без токов (6 = О) — электростатическое поле — не зависит от магнитного н определяется следуюц!ей системой уравнений: Дифференциальная форма $ 0 а3 = а.

(3.2а) 8 Анализ этих уравнений приведет нас к основным понятиям электростатики. й 16. Электростатический потенциал Начнем с первого из записанных уравнений, утверждающего, что электростатическое поле является безвихревым (вихрь его напряженности равен нулю), или, как чаще говорят, потенциаль- 52 го(Е=О; (3.1) 61к Р =- й; (3.2) 0 =аЕ (3.3) Интегральная форма $ Ее(1= О; (3.!а) ь ным. Происхождение второго термина связано со следующим свойством электростатического поля. В силу известного тождества векторного анализа го1дгаб <р = =О напряженность этого поля Е есть градиент некоторого скаляра ~р, который называется электростатическим потенциалом.