Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961), страница 9

Принято писать м Е -.= — Втаб ф, (3.4) или, в декартовых координатах, д~р йр д~р Е= — ! х — +у — +х„— ~, ь дх ь ду де.1' (3.4а) (3. 5) А-= ') ЕЛ. (3.6) и, Переписав г помощью 13.4а) стоящее под знаком интеграла скалярное произведение в декартовых координатах Е 11 = - ( д'- (х+ — '„а !у+ т' )е), м видим, что оно представляет собой взятый с обратным знаком полный дифференциал функции ~р: Ес(1== -.

Йр, (3.7) 55 где х, у, и хь — единичные векторы (орты) соответствующих осей. Потенциал — неоднозначная Рас. 29 функция поля, если положить Е = — яга0 (~р + р„), где ~рь — некоторый скаляр, то будет удовлетворено уравнение (3.1) Легко видеть, однако, что записанное выражение будет описывать поле, тождественное полю (3.4), лишь в том случае, если варе†величина постоянная (не зависящая от координат). Итак, для данного поля Е потенциал определен с точностью до постоянной. Выясним физическое содержание введенного понятия. Напряженность Е определяется как сила (9 1), действующая на помещенный в поле единичный точечный заряд. При перемещении этого заряда вдоль элементарного отрезка А! = хьйк+ уосъу+ хьйе (рис.

29) сила поля совершает работу ЛА ==. ЕЛ1, а работа по переносу заряда нз точки М, а точку М, есть м2 параллелен вектору и компоненты обоих (3.8) Пропорция (3 11) пениям: Е'с!1 = О. (3.12) Ч: — - ~ Е с(1 = — ~ Е ь(1, (3.10) (3.13) поэтому из (3.6) следует, что и, А = — ~ тйр=~р, — ора. и, Итак, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного точечного заряда в электростатическом поле, равна разности потенциалов начальной и конечной точек пути. Она не зависит от абсолютного значения потенциалов, а также от вида пути, соединяющего точки (рис.

30). В частности, работа при об- ходе замкнутого контура равна нулю. Этот Рта факт выражается формулой (3.1а) Объединяя (3,6) и (3.8), получаем связь разности потенциалов с напряженностью поля: ио р,— ~ра= ~ ЕсП. (3.9) и, аг Значение же потенциала в любой из точек, как указывалось, известно лишь с точностью до постоянной величины. Эту постоРпс. ЗО яииуЮ Прн НЕОбХОдИМОСтИ ВЫбИраЮт УСЛОВНО. Так, иногда удобно считать, что потенциал земли или корпуса какого-либо прибора равен нулю. Посате этого потенциал любой точки определяется на основании (3.9), где М, (или М,) лежит в области известного потенциала (на земле и т.

п.). В электростатике обычно принимают, что потенциал в бесконечно удаленньях точках равен нулю. Тогда потенциал в произвольной точке М численно равен работе, совершаемой при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность, т. е. в соответствии с (3.9): Понятие потенциала значительно упрощает задачу нахождения электростатического поля: вместо трех проекций вектора Е достаточно сначала найти одну лишь функцию ор, после чего поле вычисляется путем простого дифференцирования согласно (3.4). й !7. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Силовые линии электростатического поля в каждой его точке указывают направление вектора Е своей касательной.

Таким образом, векторный дифференциал длины силовой линии б! = хо с(х+ у, с(у + го с(г Е = хоЕх+ уоЕ„+ гоЕ„ векторов пропорциональны: равнссильна двум дифференциальным урав- вх Ех Ва Ех (3,! !а) ду Е дх Ех описывающим силовые линии. Выясним, каким свойством обладают поверхности, к которым силовые линии перпендикулярны (рис. 31).

Если векторный элемент длины Н1 лежит на одной из таких | поверхностей 5„, то он перпендикулярен .вектору Е: Но уже известно (3.7), что скалярное произведение — Ес(1 представляет собой полный дифференциал функции ор, поэтому вместо (3.12) следует писать! бор = О. (3.12а) Это означает, что на поверхности 5„ потенциал не изменяется, Я„ есть поверхность постоянного потенциала, или вкви- Рпс. 3! потенциальнан поверхность. Итак, найдена, что силовые линии электростатического поля везде пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом. й 18.

Уравнения Пуассона и Лапласа ь Уравнение (3.2) с ) четам (3.3) принимает вид: б!ч Ехх — . е е Заменяя вектор Е градиентом потенциала (3.3) получаем: б!удгат!~р = — Чар= — ~ . (3.14) е ' Это уравнгние !7 уасгона, устанавливакщее связь между потенциалом ор и плотностью распределения заряда 0; в декартовых т Мм рассматриваем однородную среду, диэлектрическая проницаемость которой не аавнсит от координат.

зз координатах оно записывается так: д»ф д«ф д«ф о 1 дх» ду» ' дг» е ' В точках незаряженной области (9=0) потенциал ф подчиняется уравнению Лапласса (3. 14а) 7'р= О. (3.15) Аналогичные уравнения второго порядка можно получить и относительно вектора Е. Запишем известное тождество векторного анализа: го! го1 Е = угад д! ч Š— 7' Е. Внося сюда (3.1) и (3.2), получаем уравнение 7'Е = ягад — . (ЗЛО) В точках, где 9 = О, (3. 17) 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ й 19. Поле точечного заряда.

Закон Кулона Поле точечного заряда, как это было показано в 9 3 (пример 2), легко находится путем непосредственного применения теоремы Гаусса (3.2а). Поток электри.д ческой индукции, выходящий через сферическую поверхность, в центре которой О находится заряд д, (рис. 32), должен во всех точках этой поверхности иметь одинаковую плотность в силу центральной симметрии системы. Отсюв да вытекает (см. также 9 3), что вектор О к сферической поверхности нормален (т. е.

направлен радиально) и во всех точках ее постоянен по величине. Из (3.2а) непосредственно следует, что Рис. 32 4лг»О = в„ где г — радиус сферы. С учетом (1.22) находим напряженность электрического поля заряда дл в произвольной точке М на расстоянии ОМ = г: Е=г, (3.18) где г, — единичный радиальный вектор, Напомним (9 1), что точечный заряд в действительности представляет собой заряженное тело, размеры которого значительно меньше расстояния наблюдения (ОМ).

На малых расстояниях о« заряженного тела полученная формула (как и принцип ее вывода) теряет смысл. Понятием идеального точечного заряда — сосредоточенного в геометрической точке — мы будем пользоваться сравнительно редко, так как физическое содержание этой абстракции ограниченно: как видно из (3.18), поле в «заряженной точке» (г — » 0) обращается в бесконечность. Поместим теперь в точку наблюдения М другой точечный заряд д«(рис. ЗЗ).

На него действует сила Г=-с),Е согласно'(1,1), т. е. на основании (3.18) (3. 19) Г гО д ( дг д 4пе З ~'-' 4ле с (3.20) Итак, потенциал произвольной точки М, находящейся на рас- стоянии г от точечного заряда, обратно пропорционален этому й Идентичная сила приложена к заряду ум в чем нетрудно убедиться, обратив рассуждение (считая точкой наблюдения О и направляя единичный Ркс, ЗЗ вектор г от М к О).

Равенство (3.19) показывает, что à — сила взаииодейсшвия двух зарядов — направлена по соединяющей их прямой, пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, а также диэлектрической проницаемости среды. Сила эта положительна, т. е.

стремится увеличить расстояние между зарядами, когда их знаки одинаковы, и отрицательна при разных знаках: одноименные заряды отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Подтверждающие это эксперименты хорошо известны из элементарного курса физики. Равенство (3.! 9) выражает закон Кулона, который часто используется в качестве исходного принципа при изложении электростатики. Как и все другие законы макроскопических электромагнитных явлений, он может рассматриваться как следствие уравнений электромагнитного поля — системы уравнений Максвелла. Множитель 174п в правой части (3.19) свойсгвенен употребляемой в этой книге рационализированной системе единиц МКЗ, избавляющей от него уравнения Максвелла. Вычислим потенциал поля точечного заряда.

Внося выражение напряженности (3.18) под знак интеграла (3.10) и интегрируя по радиусу от г до со, находим: Ч /1 1~ !р=!пп — ! — — — ). 4ле(,г, г,)' г» г» в=совы г 㻠— г» и г! — 㻠— » (соз б, находим: д! сок д рго 1Р = »' ° 4лег«4лег» (3.26) Рнс. 34 Ркс, 33 получаем Š— —, (г,2 соз б + Фе ып 6) . (3.

27) 88 расстоянию. Разумеется формула (3.2()) сохраняет смысл, если г значительно превышает размеры тела, принимаемого за точечный заряд. Во всех рассуждениях подразумевалась безграничная диэлектрическая среда, свободная от каких бы то ни было тел, кроме рассматриваемых. Эта идеализация будет сохранена и в дальнейшем. Она допустима, если посторонние тела (а также границы диэлектрика) достаточно далеки. й 20. Система точечных зарядов. Диполь Принцип суперпозиции позволяет применить полученные результаты в случае системы точечных зарядов. Поле системы в произвольной точке М находится геометрическим сложением полей отдельных зарядов: Š— Х Е! — — Хге! —,, где Е, напряженность поля заряда д! (3.18), г, — расстояние от этого заряда до точки М и гм — соответствующий единичный вектор.

Потенциал в точке М равен сумме потенциалов всех зарядов; 1 'Е ч! 4ле г1 ! В случае непрерывного распределения заряда в области с плотностью о потенциал произвольной точки создается совокупностью заряженных элементов 0Л!г при Ь(г — +О, т. е. 1 Кт Е!Л!г! 1 Г Еа»' !р= 1пп — »,— о 4ле .'-1 г! 4ле,) < « »г Этот вывод нельзя считать строгим: в его основе лежит выра- кение поля на большом расстоянии от заряда, в то время как под знаком интеграла (3.23) учитываются как далекие, . так и сколь угодно близкие элементы о «((/.

Но можно показать и совершенно безупречным путем, что формула (3.23) верна. Она является решением уравнения !7уассона (3.14), Рассмотрим систему двух разноименных, но равных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на расстоянии С Ее электрическим моментом называется вектор р=д1, (3. 24) где д — абсолютная величина каждого заряда, а 1 — вектор с абсолютным значением ! и направленный к положительному заряду со стороны отрицательного.