Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Для любого элемента а б Е отобраяеекне х — ь ах — ха является дифференцированием в алгебре Е, так как а (ху) — (ху) а = (ах — ха) у -]- +а(ау — уа). Такое дифференцирование нааывается внутренним Зифференцированием алгебры К, задаваемым элементом а, Оно равно нулю только в том случае, когда элемент а принадлежит центру алгебры Е. Замечания. 1) Вместо В(х) значение диффереяцироваяня В на элементе х бЕ часто обозначается символом Вх. 2) Множество К может быть наделено несколькими структурами алгебры, которые все имеют одну и ту же'структуру кольца. Если речь идет о диффереацнровакик нояьца Е, то необходимо уточнить, какая структура алгебры на Е (имеющая в качестве структуры коаьца структуру заданного кольца) рассматривается в атом случае.

В частности, любое кольцо Е можно рассматривать как алгебру над колыгом Я. Если говорят о дифференцировании кольца К, не уточняя его структуру как алгебры, то подразумевается, что речь идет о структуре алгебры над кольцом 2. Если К наделено структурой алгебры, структура кольца которол такова же, как и структура задан- 1~й: р+1.

Допустим, что й<р+1. Так как ив )г$=0 следует, что р! $ = О, то в силу предположения $ = О. Таким обрааом, а будет корнем порядка й — 1 мкогочлена Р), что противоречит предположению. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 53 ного кольца, то любое дифференцирование этой алгебры является также и дифференцированием Е, рассматриваемой как алгебра над кольцом и.

Если Š— алгебра с единицей е, то для любого дифференцирования Р алгебры Е имеем Р (е) = В (е') = Р (е) е+ вР (е) = 2Р (е). Отсюда следует, что Р(е)=0. Иэ этого вытекает, что В(пе)= = пР (е) = 0 для любого целого числа и и Р (ав) = аР (в) = 0 для любого элемента а б А. В частности, в кольце Е и в факторксльцах Х)(п) всякое дифференцирование нулевое. Если г — элемент нэ центра С алгебры Ь', то Вг принадлезесине С для любого дифференцирования Р алгебры Е. Действительно, для любого х~Е выполнено равенство гх=хг.

Отсюда Р(гх)=Р(хг), т. е. Рг х+г Рх=:Рх.г+х.Вг. Ввиду того, что г.Вх=Вх.г, получаем Рг х=х Рг, что доказывает требуемое. Пусть В, и Рг — дифференцирования алгебры Ь'. Немедленно проверяется, что операторы В,— Вг и аР, (где а — произвольный элемент иэ А) также являются дифференцированиями алгебры Е Другими словами, множество дифференцирований алгебры Е, которое мы будем обозначать символом л (Е), является подмодулем А-модуля Х (Ь) всех эндоморфиэмов А-модуля Е. Напротив, произведение Р,Р, ( = Р, о Вг) дифференцирований Р, и Р, в кольце л, (Е), вообще говоря, не является дифференцированием. Например, в алгебре Е=А(Х) выполнено равенство Вх(Хх)=2.

Но Ра(Х).—.-0 и, следовательно, )ла(Х) Х+Хеее(Х)=0. Это докааывает, что ела уже не является дифференцированием алгебры Е, если характеристика алгебры Е отличяа ст двух. Пгедлоиекние 5. Пусть Р, и Рг — произвольные два дифференцирования алгебры Ь"; тогда вндоморфизм В = ВхР, — Р,Рг А-модуля Е являетсл дифференцироеанпеле алгебры Ь'.

Действительно, для любой пары элементов х, у иэ Е имеет место тождество Р(ху)=Рт(Ре(х)У+хРе(У)) — Ре(Вг(х)уц хРг(у))= =- Рт (Ве (х)) у+ Ре (х) Вг (у)+ Рг (х) Ре (у)+ + хР, (Р, (у)) — Р, (Р, (х)) у — Рг (х) Р, (у)— — В, (х) Рг (у) — хР, (Вг (у)) = В (х) у+ хР (у). 54 МНОГОЧЛКНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫК ДРОБИ ГЛ. 1У, $4 Дифференцирование РгР, — 010г обозначается обычно символом [Р„Рг[. Пгкдложкник 6. Для любого дифференцирования Р алгебры Е и любого клемента а из центра алгебры Е вндоморфизм х — ьаР (х) (обозначаемый аР) А-модуля Е являетея дифференцированием алеебры Е.

Действительно, пусть х и у — произвольные злел1енты алгебры Е; тогда аР (ху) = аР (х) у+ ахР (у) = аР (х) у + х (аР (у)) (в силу перестановочности элемента а со всеми элементами алгебры Е). Заметим, что, напротив, отображение х -+.)7(ах) уже не является дифференцированием. Слкдствик. Мнояееетво Я (Е) дифференцирований алгебры Е, наделенное сложением и внпиним законом композиции (а, Р) — ь аР, где а принадлеяеит центру С алгебры Е, превраи[аетея в С-модуль.

Из определения 3 тотчас вытекает, что для произвольного дифференцирования Р алгебры Е множество элементов х~Е, для которых Р (х) = О, является подалгеброй алгебры Е (которую называют иногда подалгеброй констант относительно Р). Из этого замечания вытекает следующее предложение: Пвкдложкнив 7. Пусть  — система образукнцих алгебры Е. Если значения двух дифференцирований Р, и Рг алгебры Е одинаковы на всех злементах системы Я, то зти дифференцирования совпадают. Действительно, оператор .0 = Р,— Рз является дифференцированием. Подалгебра алгебры Е, образованная элементами х, для которых Р(х) =О, содержит Я и, следовательно, совпадает с Е.

Пгвдложкник 8. Пусть Š— алгебра А [Хн Хю ..., Хн) много- членов от и переменных над кольцом А. Частные дифференцирования Р; (1 <1<п) образуют базис Е-модуля Ю(Е) дифференцирований алгебры Е, причем 0101 = 010; для любых индексов 1и7.

Пусть Р— произвольное дифференцирование алгебры Е. Положим Р(Х;)=и; для 1 <1<и (и1 — элементы алгебры Е=А Х н х [Х„Хю..., Х„[). Ввиду предложения 6 оператор Р'= ~ и;Р, 1 1 являетсядифференцировапиеы алгебры Е, для которого Р'(Х,)= =и1(1 < 1 <и). Дифференцирования Р и Р' принимают одни и те же ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 55 значения на единичном элементе алгебры Е и на каждом из Хо Эти элементы порождают алгебру Е. Таким образом (предложение 7), Л=Л'. С другой стороны, предположим, что и~ (1<1<и) — п элементов алгебры Ь', для которых ~ и;Л;=0 в л (Ь).

Тогда, $= в частности, для любого индекса )' справедливо равенство ~ и;Л; (Хг) = О, то есть иг = О. Таким образом, днфференцирова- $-1 ния Р, образуют базис модуля хр (Е) относительно Е. Наконец, отображения Лм= [Л;,Лт[ являются дифференцированиями алгебры Е (предложение 5), причем Лп(ХА)=0 для 1 <й <и.

Следовательно, (предложение 7) Лм = О, чем заканчивается доказательство. Отметим, что даа проивоольных дифференцирования алгебры А [Х„ХФ, Хп), вообще говоря, яе перестаяовочяы друг с другом. Нгедложение 9. Пусть Š— коммутативная алгебра с единицей над кольцом А, Л вЂ” дифференцирование алгебры Е.

Для любого семейства (х;)~но<„иг п елементов алгебры Е и любого много- члена (ЕА[Х„Хт,..., Х„[ имеем Л ([ (хы хз,..., х„)) = ~ Л;~ (хы ха,..., х„) Лхь (12) Еан Действительно, для любого многочлена у ~ А [Х„..., Х„) положим Ф(1) =Л([(х„..., хп)) — ~~ Л;) (хс, ..., х ) Лхь с=1 Немедленно проверяется, что ~р — линейное отображение А-модуля А [Х„ Хт,..., Х„[ в А-модуль Ь' и что 'р ((у) = р (Д з (хы ха~... 1 хп) + ) (хы хт..., т хп) ч' (у) Множество элементов г~А[Х„Ха,..., Х„[, для которых <р(~)=0, образует подалгебру алгебры А [Хм ..., Х„). Она содержит, очевидно, единицу и элементы Х; (1 <с <и).

Таким образом, эта подалгебра совпадает с алгеброй А [Х,, Ха,..., Х„[, что доказывает предложение. (Можно было также установить этот факт непосредственно для любого одночлена, проведя индукцию по его степени.) Отметим, что следствие предложения 2 является частяым случаем предложения 9. 56 многочлены и РАционАльные дРОВН гл, )м, 1 4 я. л1 родо.)жение дифференцирования; ыромаводные рациональных дробей Пгедложенке 10.

Пусть Š— мопоид, А — коммутативное коль- цо с единицей, Š— алгебра моноида Ю относительно кольца А. Для всякого дифференцирования П кольца А су(цествует диффе- ренцирование П, притом единственное, кольца (без операторов) Е, для которого П(ав) =П(и)в при любом арА и любом всЮ. Действительно, из сформулированного условия ясно, что если дифференцирование л) существует, то ь) (г) = л, П (а,) Ю для езв любого элемента г= )~ а„Ю кольца Е. Обратно, легко проверить, ьЕЯ что отобра)кение Б, определенное этой формулой, является диф- ференцированием алгебры Е, В частности, если Š— алгебра многочленов А [ХО..., Х„) над кольцом А, то для любого мкогочлена / = ~ а„,„, „»Х,"'Х,"... Х,";» (и.) обозначим символом )о многочлен ~", Р(а„1иь, и»)Х,"'Х„" .., Х,','".

(и() Из предложення 10 видно, что отображение ) — +)о является диф- ференцированием кольца Е, которое продолжает заданное диф- ференцирование П колы(а А. Говорят, что миогочяен 1о получен применением дифференцирования Х) к коэффициентам много- члено 1. Пгедложение 11. Пусть А — кольцо целостности, К вЂ” его поле дробей. Любое дифференцирование П кольца А можно одним и только одним способом продолжить до дифференцирования П поля К.

Если и, с — два произвольных элемента кольца А, причем и - О, то справедливо формула —,) ' и ) ))(и)» — и))(») (13) » ~ »2 Если существует дифференпирование .0 поля К, продолжающее дифференцирование 1), то его единственность и формула (13) и следуют немедленно. Действительно, пусть ю = — (ирА, сЕА, счь0); тогда и = сю. Следовательно, 0 (и) = П (с) ю+ сс) (и), откуда вытекает выраженпе (13) для Ъ(ю). Остается доказать существо- диюфкгкпциллы и дич вкгкнциговлния 57 ванне Р.

Для этого докажем, что из тождества — = — '(и, п, и„ и а~ У1 п, из А, пи~ чь О) следует, что "1 Действительно, это соотношение записывается в виде п(иьпР х Х (п~)+п,'Р(и)) =и, (ии,Р(о)+паР(и,))!Пользуясь тем, что ип, = = и1п, получим пп, (иР (и,)+ п,Р (и)) а пи, (и,Р (п)+ пР (и,)).

Это эквивалентно соотношению иР (п,) + п1Р (и) = и, Р (п) -(. пР (и,), которое получается дифференцированием равенства ип, = и,п. Таким образом, для любого элемента и= — поля К можно определить элемент Р (и) формулой (13) независимо от представления и в виде дроби. Немедленно проверяется, что Р является дифференцированием, чем заканчивается доказательство. Пусть К вЂ” произвольное поле. Каждое нз дифференцирований Р~(1~<1(и) алгебры К(Х„Хю ..., Х„) многочленов от п переменных над К можно в силу предложения 11 продолжить единственным способом до дифференцирования алгебры Е = К (Х„ Ха, ..., Х„) рациональных дробей от и переменных над К.

Это дифференцирование называют также частным да(дференцироеанием но Х; и обозначают символом Рь Для произольной рациональной дроби 1 элемент Р;~ обозначается также символом — или )'г и называется частной производной многочлена 1 дг' дХ~ Ю относительно Хь Если два дифференцирования алгебры Есовпадают на каждом многочлене, то онн равны в силу формулы (13). Рассуждая, как в предложении 8, мы моакем заключить из этого, что п частных дифференцирований Р, образуют базис векторного пространства Я (Е) (кад полем Е) дифференцирований алгебры Е; при этом Р; перестанозочпы друг с другом.