Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Существование изоморфизма з]з вытокает из теоремы 1. Кто единственность следует немедленно из вида элементов в А']х']. Замечания. 1) Известно, что любое кольцо Е можно рассматривать как алгебру над кольцом Е целых рациональных чисел (с заковом композиции (и, з) - их; см. гл. Н, 1 7, и' 1). Теорема 1 описывает, следовательно, структуру подколец кольца Е (без операторов, или, что то же самое, рассматриваемых как алгебра над Е), порожденных единичным влемевтом в Е и каким- нибудь семейством попарно перестановочных элементов кольца Е.

2) Отметим, что длв применения теоремы 1 не обязательно, чтобы отображение а ае кольца А в алгебру Е было изоморфизмом. Например, пусть Š†алгеб над 2; может оказаться, что их=о для всех э б Е и некоторого ненулевого целого числа в (в случае, если характеристика алгебры Е отлична от нуля и дели~ в). 3) Отображение (г', з) г'(в) из А]Х) кЕ в Е является аиешиил законом колвозииии на алгебре Е с кольцом А(Х] в качестве кольца операторов. Предложеппе 1 доказывает, что этот заков дистрпбутквен, с одной стороны, по отношению к двум аддятивным законам на А]Х) и Е и, с другой стороны, по отноагепию к двум мультипликативным законам на этих же кольцах (см.

гл. 1, зз 5, и' 1). Миогочлев Х нвлвется нейтральным оператором при этом внешнем законе. Накояец„если ограничиться множеством операторов нз подкольца А кольца А(Х], мы опять получим внешний закон композиции в алгебре Е. 4) Если в алгебре и отсутствует единичный элемент, то можно определить 1(х) для любого семейства х=(х„)„Е г попарно переста- многочлвны н РАцнонлльныв дрони гл. гч, т 2 нозочнмх элементов из Е и любого многочяенз г' С А [Х„]„гт лев свободного члена.

Пусть  — подаягебра алгебры А [Х,[, Е, образованная танями многочленами; тогда отображение у -+ т' (Х) алгебры В в алгебру Е ияляется представлением и образ алгебры В при этом представлении является подалгеброй е алгебре Е, порожденной множеством элемеятов ег М. Подсгггановгга многочленов в многом.ген Если алгебра Е коммугпативна, то можно, очевидно, подставлять в многочлен [сА [Х„],ег вместо всякого Х, произвольный элемент х„из Е. Рассмотрим, в частности, случай, когда.Е является алгеброй згногочленов А [У»]»сь.

Для любого семейства (д,),гг многочленов этой алгебры можно тогда определить многочлен /г=)'((дс)) (принадлежащий к А[У»]»зь), полученный подстановкой д, вместо Х,. Пусть Š— алгебра с единичным элементом над А, д=(у»)ге» вЂ” семейство попарно перестановочных элементов из Е. Легко видеть, что имеет место тождество Ь (у)= = [((д,(д))) в случае, когда [ — одночлен (предложение 1). Более частный случай: можно взять в качестве Е ту ггге алгебру А [Х,]сап Это позволяет, в частности, пользоваться записью )=[((Х,)) (или [=-)(Х„Хз, ..., Хо) для многочленон от и переменных), подставляя Х„вместо самих себя для всох г. Пгкдложкнив 3. Длл всякого многочлена ] с А [Х,],сг и любого семейппва (а,)сег элементов кольца А свободный член многочлена Ь = ] ((Х, + а„)) равен ) ((а,)).

Действительно, подставив О вместо каждого из Х, в много- члене гг, в силу предыдущих замечаний мы получим требуемое утверждение, Слкдствик. Каждый много член )' Е А [Х, У], для котророго г (Х, Х)=О, делится на Х вЂ” У. Действительно, в многочлене от Я вида д(Х, Я)=)'(Х, Х+Е) с коэффициентами в кольце А [Х] свободный член равен ) (Х, Х) = = О. Поэтому существует многочлен Ь (Х, Я) г А [Х, о] такой, что у(Х, Я)=лЬ(Х, Е), откуда, подставляя У вЂ” Х вместо Я, получим )(Х, У)=(У вЂ” Х)Ь(Х, У вЂ” Х). Пгвдложкнив йг.

Для всякого многочлена ) р А [Х,], е г его однороднал часть [» степени Ь равна ксэугугициенту при члене полиномилльнык этнкцин Еь в многочлене [((Х,Я)) (рассматриваемом как многочлен от Х с коэффициентами в кольце А [Х,[„г>). Достаточно доказать это для одночлена.

В этом случае предло>г«ение следует немедленно. Слкдствяк.,цля того чтобы некоторый много член ! ~ А [Х,[, е > был однородным много«ленам степени )с, необходимо и достагпочно, чтобы имело место равенство ! ((Х,Е)) = ! ((Х,)) Яь. 3.

Полег»гам««альт«ые ф«Хннцтгм на алгебт>е Пусть А — коммутатнвное кольцо с единицей, Š— алгебра над А с единичным элементом е (не предполагаем, что представление а-+аг пз А в Е является нзоморфнзмом). Для каждого. многочлена ! цА [Х[ и для любого элемента хЕЕ определено выражение !'(х). Отображение х-»!'(х) является отображением из Е в Е. Мы назовем его полиномиальной функцией, ассоциированной с ыногочленом !. Предположим теперь, что алгебра Е, кроме того, иоммутативна. Пусть Х вЂ” произвольное множество индексов, ! — некоторый многочлен из алгебры А [Х„[, г >', значение [(х) определено тогда для кап«доге семейства х=(х„),е> элементов из Е, имеющего Х в качестве множества индексов.

Отображение х — »!'(х) является, следовательно, отображением из Е> в Е, которое мы также называем полиномиальной функцией, ассоциированной с многочленом !. Полинам!«альная функция, определенная на Е>„ является, следовательно, отображением вида (х,) — » ~ аеч>Цх," !» > где (и,) пробегает .Ж!», а 'аоц> равны нулю всюду, за исключением конечного числа элементов из .Ж (» Например, любая .«внейнал форма на А-модуле А" (гл.

!1, $ 4, п' !) записывается в вида (хо ..., х„) — »а>х«+азхз+ ° +авив где а; прияадлежвт кольцу А. Она являетсн, следовательно, полиномнальной функцией, ассоциированной с однородным многочленом первой степени а,Х> + ... +а„Х„ (откуда название «нкяейивя форме», которое для краткости применяется к однородным одночленам первой степени; см. $1, п'3). Таким же образом, если иаждой «двойной последовательности» (хы) (! ( >~~ и; (с. > л', и) элементов произвольного коммутативиого многочлены и РАциОИАльные дРОБи Гл, гч, 1 2 кольца Е (без операторов) поставить в соответствие определитель без(лы) квадратной матрицы (ли), то мы определим полиномизлькую функцию, ассоциированную с многочленом ~ е Х, Х а Е ал Х Хг а(г)... Х„а(в), то есть с многочленом бег (ХН) в кольце Я [Хц, ..., Х„л) многочленов кад кольцом 7.

относительно аз переменных ХН. Для любого многочлена 1 из алгебры А [Х,[, ь т обозначим символом 1 полиномиалькую функцию х — +1(х), которая ему соответствует (отображение нз Е в Е). По предложению 1 отог бражение 1 — ь1 является представлением алгебры А [Х,)г е г в алгебру отображений из Е в Е. Мы вскоре увидим в и' 4 и 5, что это представление не всегда является изоморфизмом (иначе говоря, одна и та же полнномиальная функция монгет быть ассо° (» цнирована с несколькими различными многочленами, то есть может существовать такой ненулевой многочлен 1, что 1(х)=0 для каждого х~Е ). Попутно мы получим достаточные условия Т для того, чтобы отображение )' — +) явлнлось изоморфизмом.

Даясе когда представление 1-+-У не является изоморфизмом, отображение х -+-((х) часто обозначают символом 1, допуская вольность речи. Никакой путаницы не произойдет в том случае, если при введении злемектз ( уточнять, идет ли речь а мнагачленс Г или а аалинамиальнай (авиации (. гб. Картечь многомлена отп одной переменной Пусть даны многочлен ~ЕА [Х„)г е г и коммутативная алгебра Е (с единицей) над А. Говорят, что элемент х=(х„) множества Е У является нулем многочлсна )' в Е, если 1(х)=0. Если 1 — мног гочлен относительно одной переменной Х, то нуль х многочлена 1 в Е называют также корнем многочлена 1 в Е.

Мы сначала рассмотрим корни многочлена ) ~А [Х), которые принадлежат кольцу А (рассматриваемому как алгебра над самим собой). Пгедложение 5. Для того чтобы злсмснт а~А бы корнем многочлена )'~ А [Х), необходимо и достаточно, чтобы Х вЂ” а бы делителем многочлсна ) в кольце А [Х). ПОЛИПОЫИАЛЬНЫЕ ФУ1!КЦИИ Действительно, свободный член многочлена 1(а+ У) равен ) (а) (предложение 3). Для справедливости равенства ) (а) = О необходимо и достаточно, очевидно, чтобы многочлен )(а+У) делился на У. Отсюда следует предложение, так как достаточно подставить Х вЂ” а вместо У. Если элемент а~А является корнем ненулевого многочлена (~ А[Х), то 1 может делиться на степень (Х вЂ” а)" многочлена (Х вЂ” а) с показателем степени Ь) 1.

Так как (Х вЂ” а)" — унитарный многочлен, то он не является делителем нуля в кольце А [Х). Поэтому соотношение ) = — (Х вЂ” а)" д однозначно определяет многочлен д и с[ей~=й+1[еду. Тем самым можно ввести следующее определение: Определение 1. Назовем порядком кратности корня а ~ А ненулевого многочлена (б А [Х) наибольшее из чисел Ь таких, что (Х вЂ” а)ь делит 1.

Лорень, порядок кратности которого равен й, называется кратным корнем порядка й. Кратный корень порядка 1 называется првегпым корнем. Кратный корень порядка 2 (соответственно 3, 4, ...) называется девиным (соотзстстгснно треанвлн, четыреккрапаным...,). Для того чтобы элемент а Е А являлся корнем порядка й многочлена 1, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство [=-(Х вЂ” а)" д, где у не делится на Х вЂ” а.

Действительно, это условие, очевидно, необходимо. Оно и достаточно, так как, если бы элемент а был корнем порядка Ь ) й, то многочлен у делился бы на (Х вЂ” а)к ", ибо многочлен (Х вЂ” а)» не является делителем нуля в кольце А[Х). По предложению 5, это условие равносильно неравенству у(а) ~ О. Так как е)ед(=й+аедд, имеет место соотношение Ьг ([ед1. Замечания.

1) Дан всякого ненулевого мпогсчаена1РА[Х[ распространим определение 1 на зсе элементы а Р А, условясь считать нулем порядок кратности алемента а отнееительпо многвчлена 1, если а не нвляется корнем этого многочлена. 2) Утверждение, что порядок кратности элемента а б А относительно ненулевого ллногочлена 1 неменьше И, означает, что много- член (Х вЂ” а)" делит Ь Для нулевого многочпгна О порядок кратности какого бы то нн было элемента кольца А нг определен. Но, допуская вольность речи, условимся говорить, сверх того, что порядок кратности знемента а Р А относительно првиевгльнегв много- члена 1 не меньше й з том случае, когда многочлея (Х вЂ” а)" делит й 3 н. Бурггкле 34 многочлвны и рлционлльнып дрови гл.

зч, 1 и 3) Пусть  — некоторое подкольцо кольца А, ) — многочлен кольца В [Х[С А[Х[, а — элемент из В, который является корнем многочлена ). Тогда порядок кратности элемента а относительно многочлепа ) не зависит от того, рассматривать много- член ) как элемент кольца В [Х) или как элемент кольца А [Х[. Действительно, соотношения (Х вЂ” а)ь у (Х) =(Х вЂ” а)" д1(Х), где у~А[Х[, у,~ В [Х) и у(а) Ф О, д,(а) Ф О, возможны лишь в случае й =й, так как многочлен Х вЂ” а не является делителем нуля в кольце А[Х[. Првдложвнив 6. Пусть ) и у — дви ненулевых многочлени из кольца А [Х[, а — произвольный злемент кольца А, р и ив порядки кратности а относительно )' и д соответственно. Порядок крвтности а относительно многочлени )+у не меньиле Мш(р, д).

Если р чь д, то он равен М[п(р, д), 2' Порядок кратности а относительно многочлени )у не меньиле р+ д. Если А — кольцо целостности, то этот порядок равен р+д Действительно, имеем ) (Х) =(Х вЂ” а)Р ~, (Х), у(Х) =(Х вЂ” а)ч у, (Х) с [,(а)ФО и у,(а) ФО. Пусть, скажем, р(д. Тогда )(Х)чи +у(Х)=(Х вЂ” а)Р([,(Х)+(Х вЂ” а)' Ру,(Х)), и если р~д, то а не является корнем лшогочлепа ),(Х)+(Х вЂ” а)ч "у,(Х), что доказывает первую часть предложения. Вторая вытекает таким же образом из формулы ) (Х) у(Х) =(Х вЂ” а)"+з [,(Х) у,(Х) и из того, что ~,(а) уз(а) Ф О, если А — кольцо целостности.