Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 4

1ч, 1 так как степень многочлена 1 равна п, то предположение у чь 0 и-1 приводит нас к противоречию. Следовательно, Д )»»Х» = О. Таким »=о образом, )»=0 для О<)с<п — 1. Чтобы доказать, что элементы Б» пороясдают кольцо А [Х)1'(1), достаточно показать для любого р> 0 сравнимость по модулю 1 многочлена Х" с нулевым многочленом или с многочленом степени < и — 1. Проведем индукцию по р. Предложение очевидно для р~п — 1. Если и-1 и — 2 Х" = ~~ р Х" ( О1), Х "= — ~ р Х»+'+р„,Х" ( »=о »=о Все сводится, таким обрааом, к доказательству предложения для и и р=п.

Пусть (=Хи+ ~~~ ~а»Х™; тогда Х" ьа — ч~~~а»Х" "(п»од)), и=1 й-1 чем и заканчивается доказательство. Предложение 4 можно сформулировать и следующим обравом: Пгкдложкник 5. Пусть 1' — унитарный многочлен степени и в кольце А(Х). Д'ля любого многочлена убА (Х) существуют два многочлена и и о иг А(Х) такие, что деяоч и и (7) Кроме того, гтими условиями многочлены и и о определяются однозначно. Действительно, существование и и о и единственность о вытекают из предложения 4. С другой стороны, так как многочлен 1 не является делителем О, то и одноаначно определяется равенством (7). Образование многочленов и и о, исходя из многочленов 1 н у, называется евклидовым делением многочлена у на 1 (по аналогии с евклидовым делением целых чисел (см.

Теор. мйож., гл. П1 и Алг., гл. 1, 4 4, в'3). Многочлен и называется евклидовым частным от деления у ка 1, а многочлен о — остатком при евклидовом делении у на 1. Слкдствик. Д'ля того чтобы многочлен уЕА(Х) делился на унитарный многочлен 1 Е А (Х), необходимо и достаточно, чтобы остаток при евклидовом делении у на 1 был нулевым много- членом. 21 многочлжны Если А — поле, то предложение 5 справедливо и для произвольного ненулевого многочлена 7. Действительно, пусть ао — старший коэффициент миогочлена 7; тогда идеалы (7) и (а,7) совпадают, причем а,'7 — унитарный многочлен.

Следовательно, имеем ПРедлОжение 6. Пустпь К вЂ” поле, 7 и у — два многочлена из кольца К [Х], причем т' ~ О. В этпом случае существуют два многочлена и и и из К[Х) такие, что йейи(с[ей~ и имеет место соотношение (7). Кроме того, этими условиями многочлены и и о определяются единственным образом. Многочлены и и о называются также частным и остпатком евклидового деления многочлена д на многочлен 7. Слждствиж. Пусть А — кольцо целостности, К вЂ” его поле отпношений, т' и д — два многочлена из А[Х] степеней и и т соответстпвенно. Пусть и и о — два многочлена из К[Х], удовлетворяющие равенству (7), причем дея о (и. Положим [о=Мах(т — и+1, 0). Пусть ао — старший коэффициент мноеочлена 1; тогда многочлены а[и и аэо принадлежат кольцу А [Х].

Предложение очевидно для т <и — 1, так как в этом случае и=О и о=у. Для т>п доказательство проведем индукцией по т. Достаточно рассмотреть случай д = рХ . Пусть ь ~>~ аьХ" ь; имеем рХ = — Х "1+ — уо где многочлен оо ао ь=о у, = — Я ро Х " принадлежит кольцу А [Х], причем дей у, < ь-1 < т — 1. По индуктивному предположению, у1 = и,7'+ о„где дело,(п, а многочлены р'," "и, и й-"о, принадлежат кольцу А [Х]. Итак, имеем []Х-=--(и,+[)Х ")(+ —.„ откуда тотчас вытекает следствие (ср. упражнение 12).

Пгждложжниж 7. Пусть К вЂ” произвольное поле. Каждый идеал кольца многочленов одной переменной К [Х] над полем К является главным идеалом. Действительно, пусть а — некоторый идеал в кольце К[Х]. Если а Ф (0), то пусть ] — ненулевой элемент из а наименьшей степени. 22 многочлены н Рлцнонлльные дРОВЕ Гл. 1ч, э 1 Пусть д — любой другой элемент нз а. Можно написать: а.=. и) + Р, где и н и — многочлены нэ К [Х), причем О=О илн е]ейп(с]ед) (предложение 6). Так как э=К вЂ” и), то э~а. Итак, в случае РчьО мы получим е]еда> е]ед), что невозможно. Следовательно, э=О.

Это доказывает, что а=(7). Пусть ] н )1 — два ненулевых многочлена кольца К [Х), причем (])=(11). Тогда существуют два многочлена и н п такие, что [=и]1 н )1=Р7. Из этих соотношений получается равенство )'= по), откуда следует, что ил=1, Таким образом (формула (5)), и и Р являются константами. Для любого ненулевого идеала а в кольце К[Х] многочлены ), такие, что а=(7), определяются с точностью до постоянного множителя. В частности, существует единственный УнитаРный многочлен ]е такой, что а=()е). Пусть 1 и б — два многочлена из К [Х]. Сумма ())+(б) главных идеалов, порожденных 7" и г, является главным идеалом (л) в силу предложеннн 7, Для того чтобы многочлен и делил н 7, и б, необходимо и достаточно, чтобы имели место включения (и) 1(/) и (и) — >(б), то есть (и) ~())+(б)=(Л).

Ото означает, что и делит Л. В случае Л ~ О многочлеы Л, определяемый с точностью до постоянного множителя, является общим делителем многочленов 7 н б наибольшей степени. Мы назовем его также наибольшим общим делителем (сокращенно н. о, д.) многочленов г и б, существуют два многсчлена и и и иэ К[Х] такие, что выполыяетсн равенство Л=и].+еб, Говорят, что многочлены 1 и б ееоимио прости, если (Л)=(1), т. е. если единственными общими делителями многочленов у и б нвляютсн коыстанты, ыли, иначе, если существуют два многочлена и и и нз К(Х), длн которых и1+ об=1.

Пусть 7 н б— два произвольных многочлеыа из кольца К[а], Л вЂ” их н. о. д. Если Л ~ О, то многочлеыы )/Л и б]Л взаимно просты. Обратно, зто свойство характеризует н. о. д. многочленов 7 и б среди общих делителей этих многочленов. Эти замечания показываззт, в частности, что, если Л вЂ” н. о.

д. многочленов 7' и б в кольце К(Х), то Л является теиже ы. о. д. мвогочлеыов Г' и б в кольце К'(Х), где К' — любое иоле, содержащее К в качестве подполы. Пересечение (7)Ц(б) есть также главный идеал (г), где гбК [Х]. Аналогичные рассуждения показывают, что любое общее кратное мяогочлеыов 7' и б является кратным мяогочлена г. Если г+ О, то г является общим кратным нанменылей степени среди неыулевых общих кратыых мвогочленов у и б. Мы назовем его наименьшим общим кратным (илн кратко — н.

о. к.) многочленов ] и б. Легко обобщить зти рассуждении на случай нескольких мыогочленов из кольца К[Х] (см. гл. Ч], з 1, и' 8 н гл. ЧП, 1 1, и'2). многочлкны 23. Опгкдклкник 4. Пусть К вЂ” поле. Назовем многочлгн ненулевой степени из кольца К [Х) неприводимым в К [Х) (или нгприводимым кад полем К), если оп не делится ни на какой многочлен й ~ К [Х[, у которого 0 ( йед д (йей 1. Равносильное условие (формула (5)) состоит в том, что единственными делителями многочлена 1 в кольце К[Х) являются константы и произведения 1 на константы.

Так как соотношение (() С (д) оаначает, что д делит (, мы видим„что неприводимый многочлен можно определить как такой многочлен для которого идеал ()) максимален. Известно (гл. 1, 1 8, теорема 2), что каждый идеал кольца К[К[, отличный от (1); содержится в некотором максимальном идга.гг. Исходя из предложения 7, можно сформулировать то же самое следующим образом. Пркдложкник 8. Каждый многочлен, отличный от константы, в кольце К [Х[ делится на некоторый нгприводимый многочлгн.

Доказательство. этого предложения можно провести, впрочем, и так: пусть ) — произвольный ненулевой многочлен, отличный от константы, пусть у — делитель ), отличный от константы, причем наименьшей возможной степени. Немедленно получается, что у — нвприводимый многочлен. Слкдствик. Каждый мяогочлгн 1 положительной степени из кольца К [Х[ развя произведению пгприводимых миогочленов (нв обязательно различных). Достаточно провести индукцию по степени ыногочлена Утверждение следствия очевидно, если многочлен ) неприводим.

В противном случае существует непрнводпмый делитель й многочлеиа 1, у которого 0(йейй(йвй~. Илгеем тогда )=-й)г, где 0(йейй(йей). Поэтому многочлен Ь является проивввденивм .неприводимых многочленов. То же самое имеет место для много- члена ) (мы уточним этот результат в гл. У[, $ 1, и' 13 и в гл. 'Я1, ~ 1, и'3). Уира ж а ения.

1) Пусть А — коииутатнаное кольцо с единицей, Š— -некоторый А-модуль. Пусть Е (Е) (нлн, кроше, Еа) — подмодуль а-й тенаорной степени ® Е, поролгденный тензораии види е — ое, где е пробегает ЗЕ, а а — симметрическую группу в„(си. гл. 111, 1 5). назовеи л-а симметрической степенью модучя е многочлкны н рлцнональнык двоим гл. гч, $ 4 и обозяачнм символом р/Е фактормодуль ЩЕ)/Юи(Е). Для того чтобы полялияейное отображение модуля Е" в А-модуль Р было симметрическим, необходимо и достаточяо, чтобы оно имело вид: (*1 ° ° ° зи) ь! (Ф(згЗ ° .. Зли)), гДе ~Р— каЯоническое отобРажение модули ®Е на ~/Е,/ — некоторое линейноеотображеяие модуля ~/Е в Р. Пусть Е обладает бааисом (в,)„. Доиазать, что различима элементы ~р(е, Яв„(5)... ®в„) обраауют бааис модуля ~/Е и что линейяое отображение модуля ~/Е в А-модуль А[Х,), г, которое каждому элементу ~р(в, Яе, ф)...®в, ) ставит в соответствие одночлен Х„Х„, ...

Х,„, является изоморфизмом модуля ~/ Е на подмодуль Йи вдиврвднмл мновочввнев вжвлвни п относительно Х,. и Доказатти что в атом случае модуль ~/ Е также изоморфен модулю симметрических контравариантных тензоров порядка л на Ь' (установить взаимно однозначное соответствне между базисами этих двух модулей). 2) Доказать, что отображение (в, в') — ь вв' модуля (ЯЕ) х (®Е) во+и в модуль Я Е согласуется с соотношеяиями зквнвалентяости по 1» и модулю Яии по модулю Еи и по модулю Юм,.и в модулях ®Е, ®Е т-Ьи и (5) Е соответственно.