Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 10

1) Позднее мы увидим, что для любой ненулевой рациональной дроби г существуют два таких многочлена ке и ге, что )= — и множество элементов Яя допускающих подстановку зс ес в 1, совпадает с множеством элементов х, для которых зо(х) т'*О. 2) Принцип продолжения алгебраических тождеств (1 2, теорема 3) можно распространить на рациональные дроби. Пусть 1 и у~ (1с" 1 < т) — рациональные дроби из К(Х,)„, причем я;~0. Предположим, что для любого семейства х ЕКз, допускающего одновременно подстановку в у и во все г; и такого, что я;(х) чьО для 1<1~ т, имеет место равенство 1(х)=0.

В этом случае 1=0 (поле Ко всегда предполагается бесконечным). Это предложение немедленно вытекает из теоремы 3 1 2. Упражнения. 1) Пусть А — коммутативная алгебра с единицей над полем К, х=(х,)„— элемент множества А, Пусть П вЂ” поду а мг кольцо в к(х„), г, состоящее из тех элементов 16к(х,)мн для которых х допускает подстановку в 1. Доказать, что если в алгебре А необратимые элементы образуют идеал, то этот факт имеет место и в кольце о'. Доказать, что в случае, когда А — поле, являющееся расширением поля К, необратимые элементы в кольце П образуют максимальный идеал. 2) а) Пусть и=а„,Х"'+еегь1Хгзы+...

+а„Х" — многочлея из К[Х) у которого а„„ФО и аз~О (0<т«;я). Доказать, что для вовкой рациональной дроби у неяулевой степени Ы поля К(Х) дробь к (у) отлична от нули и имеет степеяь лЫ, если И) О, и степеныЫ, если Н(0. б) Вывести, что рациональная дробь х из К (Х), отличная от коястанты, допускает подстановку в любую рациональную дробь из 48 многочлкны и Рлционкзгьнык дРОБи Гл 1у, 1 4 Х(Х). (Заметить, что если степепь дроби е равна нулю, то существует такой элеыевт абК, что е — а уже имеет степевь строго мевьшузо пуля.) 3) Радвовальпав дробь г'бХ(Х,, Хг, ..., Х ) ваэывоетсв однородной, если ова равна частному двух однородных мвогочлевов (с вевулевым звамевателем).

Доказать, что рацковальвав дробь Г' однородна в том в только в том случае, когда ) (оХн ьХг ЗХо) =и ) (Х~ ° Хо) где а' — степень (. й 4. Дифференциалы и дифференцирования х. Дифореренцмалье тс проивводные мтеогочленов Мы ограничимся в этом параграфе рассмотрением многочленов и рациональных дробей от конечного числа переменных над произвольным коммутатнвным кольцом А (с единицей).

Пусть у — некоторый многочлен из кольца А (Х„Х„..., Х„) =В. Рассмотрим многочлен )(Х,+У„Хе+У„..., Х„+У„) в кольце многочленов А(Х„..., Хр, У„..., У„) от 2р переменных Хн У~ (1 <(~р). Этот многочлен можно рассматривать как много- член относительно У; с коэффициентами в кольце В. Как таковой, он имеет свободный член, равный )(Хн Хз, ..., Х„) (б 2, предложение 3). Положим ,11=)(Х,+У„..., Х„+У,) — ((Хн ..., Х„). Таким образом, многочлен Л)'(который иногда обозначают символом Ь) (Х„..., Хр, У„..., У„)) является многочленом без свободного члена нз кольца В(У„Уз, ..., Ур).

Опекдклкник 1. Назовем дифференциалом многочлена у и обозначим символом с()' или д)(ХН ..., Хр, Ун ..., Ур) однородную часть первой степени мпогочлена Л), рассматриваемого как многочлен относительно переменных У1 с козффициентами в кольце В=А(Х,, Хэ, ..., Хр). Согласно этому определению можно написать а(=Д у;Уь где дн ез, ..., у — элементы кольца В, то есть многочлены из кольца А(Х„Хю ..., ХР), ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 49 лг ( !)) ! лл дх! (2) В частном случае, когда ) = Х! имеем г)) = Уь Это позволяет, допуская некоторую вольность, пользоваться записью переменных У; в виде ггХ1 (1 ~г (р) и приводит к формуле р р й) = У (Р,[) йх,=,", —,-'-~--йХН 1=-! 1=! Если ( — мпогочлен относительно одной переменной, то гг[= =Р) ггХ.

Миогочлен Р[ (который обозначают также символом д1 — — или[ ) в этом случае называют просто производнои от 1. Если ~ — константа, то, очевидно, Д[ = О. Следовательно, г[! = О. Обращение атого предложении неверно: если А — кольцо харак. теристпии в)0, то провзводнаи иногочлена Х! равна дХч-1=0 (следстзие 3 предло!кении 1). Иредложенив 1. Пусть [ и г — два многочлена из ио.гьца В=А[Х„Х„..., Хр).

Тогда й ((+ й) = аг)+ йб, (4) "(гв) =сЧ Х+).г[й. (5) Формула (4) немедленно следует из определения 1. Для доказательства соотношения (5) заметим, что ДЦа)=Д[ Х+) Дй+Д[ ДХ. Но однородная часть первой степени многочлена Д) г равна аг[ и, для многочлепа 1 Дд она равна ) г(д, а дл» ыногочлена Д) Дав нулю. Отсюда следует формула (5). 4 н, втрбаии Определение 2. Назовем частной производной многочлена 1 относительно переменной Х, (1% !' =-. р) и обозначил символолс Р!1' ( . А,,( или Рх [, или —, или 1х, ) многочлен из кольца В=А [Х„ д) Хг, ..., Хр[, лвллгогцийсл коэффициентом при Уг в дифференциале аг) многочлена ).

Таким образом, формула (1) запишется в виде многочлкнн и РАпионзльные дгови гл. тт. 1 4 50 Слкдствнк 1. Отображение ( — ьс(( является лииейпым отображением А-модуля А [Х„Хг, ..., Хр) в А-модуль однородных многочлепов первой степени в кольце В[Уп Уг, ..., УР], Слкдствик 2. каждое из отображений [' — ь РД является эндоморфизмом А-модуля А[Хи Хг, ..., Хр], для которого выполнено тохсдество (6) Р;(Ю=М у+( Р,у. Слкдствик 3. Для любого целого положительного п имеют место соотношения Р;(Хь)=пХ1"-0 (1 «р), (7) Рз(Х!)=0 () ч=[).

(8) Действительно, (7) вытекает из формулы (6) индукпией по п, С другой стороны, многочлен Л(Хь") не содержит Уп откуда следует (8). Пгкдложкник 2. Пусть ] — многочлен из кольца А [Х„Х„..., Х„], и~ (1 ~ 1 < р) — р многочлепов из кольца А [Яп Яп..., Я ].

Поло- жим Ь =](ип иг,..., иэ), тогда И(2п ..., Яз, 'оп ..., АХ )=<Ц(ии..., ир, аи„..., диэ). (9) Действительно, в силу определения ЛЬ = ] (и, + Лип ..., ар+ Лир) — ) (и„..., ир). Так как Ьи; — многочлены беа свободного члена (по отношению к й2з), то однородная часть первой степени многочлена Ла такова же, как и у многочлена р й](ип ..., ир', Лии ..., Лир)= ~ Р1](ии ..., иэ) Ьии а=1 откуда следует формула (9). Слкдствив. В тех же обозначениях имеет место формула р Рзй= 2~ Рп'(ии иг, °, иэ) Рзи; (1 <у'<д). (10) г ДИФФЕРЕНПИЛЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 2.

Прнлогкеннеь характеризат4ня простъгх корней многочлена Пгедложеник 3. Для того чтобы корень а Е А многочлена [~А [Х[ был простым, необходимо и достаточно, чтобы а не являлся корнем многочлена Р). Действительно, в силу предположения ( =(Х вЂ” а) д, где в — многочлен. При этом а является простым корнем в том и только в том случае, когда д (а) Ф О.

По формуле (6) Р(=д+(Х вЂ” а) Рд. Из этого вытекает, что а(а) =Р)(а), откуда следует предложение. Более общо: Пгедложение 4. Если глемент аСА является корнем порядка й ) 1 многочлена у ~ А [Х[, то он является корнем порядка > к — 1 многочлена Р(. Если в кольце А иг соотноигения Ц=О следует., что $=0, то а является корнем порядка )г — 1 много- члена Ру. Действительно, по предположению, ~=(Х вЂ” а)ьд, где д уже не делится на Х вЂ” а. Из этого следует, что Р[='к(Х вЂ” а)" 'д+ +(Х вЂ” а)ьРд.

Это доказывает первую часть предложения. С другой стороны, из предыдущего соотношения вытекает, что если (Х вЂ” а)ь делит Р), то (Х вЂ” а) делит многочлен Йд (поскольку Х вЂ” а ие является делителем нуля в кольце А[Х[), т. е. (у 2, предложение 5), что йд(а)=0. Если в кольце А иэ соотношения й5 = 0 следует, что з = О, мы получим, таким образом, что в(а) =О, а зто противоречит предположению. Коля, яавротяа, г кольце А существует таков ненулевой алемепт 4, что Ь$=0, то а может быть корнем проягвольяого порядка Л.к — 1 мкогочлееа РР Например„пусть Л$=0 для всех $СА; половим г=-(Х вЂ” а)" +Р е Р та о; тогда а является коркам порядка Ь мыогочлена Р яо корнем порядка '> Л+Ь вЂ” 4 мяогочлева РР Следствие.

Если влемент ас А является корнем многочлена у и корнем порядка р многочлена Р~, и если иг соотноигения р! з = 0 в кольце А следует, что 5=0, то порядок корня а многочлена ( равен р+1. В самом деле, по предложению 4 а является корнем много- члена у, порядок кратности которого удовлетворяет неравенству 4* 52 многочлкны н влцнонлльнык двоим гл. 1ь, 1 4 3.

Дзсфферетстбтсрооггнмя елмгейры Следствие 2 предложения 1 приводит к обобщению понятия производной на случай произвольной алгебры: Опгвдклкнии 3. Пусть К вЂ” алгебра над коммутатионым кольцом (с единицей) А. Назовем дифференцированием алгебры Н любой зндоморфизм Р А-модуля Е, длл которозо Р(ху) = Р(х) р+ хР(р). Из этого определения индукцией по целым положительным р немедленно получается формула Лейбница р Р" (ху) = ~~ ( ь ) .Р" (х) Р™ (у) ь=с (11) используется соотношение между бпномиальнымн коэффициен( (й)=(' ')+(й ~)) Примеры. 1) В алгебре многочленов А[Хо Хх,..., Х„] я ото бражений Ве (в' 1) являются дифференцированиями, которые называют н чаееаними дифференцированиями этой алгебры. 2.