Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 7

Првдложвник 7. Пусть А — кольцо целостности (с единицей), [ — ненулевой многочлен из А[Х). Пусть а~ (1()(р) — р риз-, личных корней многочлени )' в А, порядки кратное пей которых суть )с; (1 ~ [< р). В зтолз случае многочлен )' делится ни (Х вЂ” а,)ь~(Х вЂ” аз)ьг... (Х вЂ” ар) р.

Вудем вести индукцию по р. В силу определения 1 предложение очевидно для случая, когда р = 1, Пусть имеет место соотношение ) (Х) =(Х вЂ” а,)"1(Х вЂ” аз)ьг... (Х вЂ” ар,) р-'у(Х), (2) где уЕА[Х[. Элемент ар является корнем порядка йр многор-1 члена ) и пе является корнем многочлена Ц (Х вЂ” а~) ~(гаккаи, з=з по предположению, а; — ар Ф О для 1<1 < р — 1 и А есть кольцо полиномиглънык Функции 35 целостности). Из предложения о вытекает, что ар является кор- нем порядка йр многочлена у. Следовательно, многочлен у делится на (Х вЂ” а„) л. Отсюда следует предложение. ь Твогкма 2. Пусть А — кольцо целостности (с единицей), [ — многочлен из А [Х[ степени «',ес. Если 1 чь О, то сумма порядков кратностей всех корней многочлена 1 в А не превос- ходит п.

В частности, если полиномиальная функция ~, опре- деленная в А, аннулируется и+1 различными значениями пере- менной, то 1=0. Это непосредственное следствие предложения 7. Слвдствик. Пусть А — кольцо целостности, 1 и у — два мно- гочлена из А[Х), степень которых «<п. Если значения полино- миальных функций 1 и у, определенных на А, совпадают при и+1 различных значениях переменной, то [=у. Достаточно применить теорему 2 к многочлену 1 — у.

Замечания. 1) Теорема 2 неверна в случае, когда кольцо А обладает делителями нуля. Например, в кольце Я/(16) многочлен ХЭ имеет четыре раэлнчаых корня, а имеано смежные классы (по модулю 16), порожденные элементами О, Ь, 8, 12. 2) Пусть А — поле с бесконечным числом элементов, Х вЂ” алгебра над А с единицой, которую можно отождествить с единичным элементом поля А (так что поле А отождествляется с подполем центра алгебры Е). В этом случае ненулевой многочлен иэ А[Х[ может иметь только конечное числе корней е А (по теореме 1).

Но он может иметь бесконечное число их е алгебре Л. Например, если о и Ь вЂ” два элемента алгебры Е, линейно независимые относительно А и такие, что еэ=аЬ=Ьс=Ьэ=О, то асе элементы вида с+ЛЬ где Л пробегает А, являютсн пулями в Х многочлева' Хг (упражнение 7 и гл. У111, 1 Н, упражнение 7). Пгиложкнив. Интерпдляционная формула Лагранжа. Иусть К вЂ” некоторое поле, ае (1 «<1 < п) — и различных элементов из поля К, р; (1 «< 1 < и) — п каких-либо (различных или нет) элементов поля К. Зададимся целью определить многочлены ) ~ К [Х[ такие, что 1(ае)=ре для 1 <1 <и.

Речь идет о системе линейных ска- лярных уравнений в векторном пространстве К [Х[ (гл. 11, у 4, и'7). Соответствующая линейная однородная система ([);=О для 1<1<и) имеет в качестве решения, в силу предложения 7, многочлен ) (Х) = (Х вЂ” а,) (Х вЂ” аг)... (Х вЂ” а„) у (Х), 3» 36 мнОРОчлвны и РАциОИАльныи дРОБи гл. 1у, 1 к где у — произвольный многочлен из К(Х]. Нам достаточно, следовательно, иметь одно решение системы, чтобы получить все решения (гл. П, $ 4, предложение 11).

Предположим сначала, что рд=1 и р1=0 для 1Ф й. Любой искомый многочлен делится тогда, согласно предложению 7, на произведение (Х вЂ” а,)... (Х вЂ” ад-!) (Х вЂ” адн), ° (Х вЂ” а„). Докажем, что можно найти такой скаляр Л Е К, что многочлен ид(Х) = Л(Х вЂ” а,)... ° (Х вЂ” ад-!) (Х вЂ” адг!)... (Х вЂ” а„) является решением нашей задачи.

Действительно, условие ид(ад)=1 дает Л(ад — а,)... (ад — ад !) (ад — ад+,)... (ад — а„) = 1, откуда мол!но определить Л потому, что разность ад — аг, по предположению, отлична от нуля для 1 ф й. Определив таким образом многочлены ид для 1 й <и, вернемся к общему случаю, где р! произвольные. Непосредственно видно, что много- член ~= ~ '()ги! отвечает нашей задаче, причем либо ~=0, либо г=! степень ) пе превосходит и — 1. Очевидно, что это единственное решение, обладающее этим свойством (следствие теоремы 2).

Найденное выражение 1(Х) = (Х вЂ” а!)... (Х вЂ” а! 1) (Х вЂ” а; г!)... (Х вЂ” аи) '(а; — а!) .Аа,— а!,)(а,— а!+!)...(а! — а„) =Х ° ', 1-! называется интерполлционной формулой Лаграггогса. б. Полнноммальные куницын на кольце целостпгеоспьн с бесконечньсм маслом элементное Пгвдложвнив 8. Пусть А — кольцо целостности (с единицей) с бесконечным множеством элементов. Пусть Н! (1<1<и)— и бесконечных частей кольца А. Длл любого ненулевого многочлено ! Е А ]Х1, Хы ..., Х„] сучцествует бесконечно много элементов п Х=(хг, хг, ..., х„) множества Ц Ни олл которых ~(Х) -„ь О. г=! Ввиду теоремы 2 предложение справедливо при п=1.

Будем вести доказательство индукцией по и. Многочлен ( можно рассматривать как многочлен относительно Х„с коэффициентами полиномихльнык Функции в кольце А [Х,, Х„..., Х„«]. ПУсть 1 = ~ УеХи. Так как ~ чь О, ь=о то по крайней мере один нз коэффициентов у<б А[Х„ ..., Х„,] отличен от нуля. В силу предположения индукции существует система (х„, хг,..., х„,) б П Нн для которой д; (хн..., х„,) ~ О. <=1 Из этого следует, что многочлен й(Х„)= ~ дь(хн ..., х -1) Хи А о=о кольца А [Х„] отличен от нуля.

По теореме 2 существует бесконечно много элементов х„ ~Н„ таких, что 6(х„) Ф О. Так как Ь(х„)=1(х„..., х„н х„), то предложение доказано. Пгкдложкник 9. Пусть А — кольцо целостиности с бесхонечным мнолсгством элементов; тогда отображение 1' — ь~ алгебры многочленов А[Х„],г1 в алгебру отображенийизА в А является изоморфизмом.

Действительно, пусть ) — ненулевой многочлен из А [Х«]„гг. Существует конечная часть 1 множества Х такая, что 1 пРинадлежит кольцу А [Х„]„гэ. По предложени<о 8 существует такой элемент у=(у„),гэ множества А~, что для любого элемента х=(х„)<г1 из А, проекция которого на А есть у, имеет место 1 неравенство ) (х) чь О. Отсюда следует предложение. Другими словами, сслн для любого элемента х=(к„) ВА имеет 1 место тождество ~~~~ ~а<„)Пи„'=О, то а<„) — — О длн каждого (и ) б кт (1).

(и«) « Когда А — кольцо целостности с бесконечным множеством элементов (случай, наиболее часто встречающийся в приложениях), изоморфизм )' — > ) позволяет отоэндгствит ь кольцо А [Х,], г 1 с кольцом соответстзуюп<мх полииомиальных функций. Допуская обычную вольность речи, которая ггвлючаетса в смешеннв функции н ее кначеник на общем элементе области определенвя (Теор. О 2, и 2), мы будем говорить в таких случаях о «миогочлене 1(х)э влн о «многочлеве ао-[-а(з+... +а„х"«. Пока и поскольку сформулированные ранее условии выполнены, этот язык не представляет внвавнх неудобств.

3 а м е ч а н и я. Ф) Пусть Š— такая коммутативная алгебра с единицей над А, что А можно отождествить с подалгеброй Ае мнОГОчпены и РАционАльные дРОБи гл. 1ч, 1 2 алгебры Я. Если А — бесконечное кольцо целостности, то отобраг жение ) — ь) из Л]Х,],вг в алгебру отображений множества К в Е по-прежнему является пвоморфизмом, так как для любого ненулевого многочлена у ~ Л (Х], вг существует элемент а~Аз( .Ег, для которого 1(х) Ф О. Когда речь идет о многочленах от одной переменной, можно ие предполагать коммутативноств алгебры Е (см. упражнение 13).

2) В формулировке прелложевкя 8 пз кольцо А были наложены дэа условия: (' целостность, 2' бесконечность. Результат перестает быть веркым, если предположить, что А удовлетворяет лишь одному из этих условий (упрзжкеввя 8 и 9). Одвако этк двз условия не являются ыевбхвдизвзмп для того, чтобы отображевке (-+.

Г' вэ А ]Х,], В г в алгебру отображений множества Аг в А было пзоморфкзмом (уира жаеквв 6). ТеОРемА 3 (принцип продолжения алгебраических тождеств). Пусть А — бесконечное кольцо целостности с единицей, (д~) (1((~~ т) — конечная последовательность ненулевых многочлсно в ив А ]Хь Хь ..., Хз]. Пусть 1 — такой мпогочлсн ив А ]Хь Хь ° ° ° Хз] что ~ (хв, хз, ..., х„) = 0 для любого элемента (х))йА", для которово у;(хь хь ..., х„)чьО при всех. 1<(~т тогда ~=0. Действительно, если ~ чьО, то многочлен й= (в,аз ... д„отличен от нуля (2 1, теорема 1), следовательно (предложение 8). существует элемент (хв) ~Л", для которого л(хь хз, ..., х„) Рз О, что противоречит предположению.

Схолия. Теорема 3 дает очень удобное средство для доказательства того, что некоторый многочлен ) относительно и переменных над кольцом целостности А (с единицей) равен нулю. Достаточно рассмотреть бесконечное кольцо целостности Е,.содержащее подкольцо, изоморфное кольцу А и имеющее тот же самый единичный элемент, что и Е. Если мы докажем, что 1'(х~ хг ° ° хз)=0 для всех элементов (х;) ~Е" (или только для тех элементов из Е", которые не аннулируют некоторое конечное число фиксироваппых ненулевых полиномиальных функций), то отсюда будет следовать, что ) = О. Если кольцо Л само бесконечно, то можно взять в качестве Е само кольцо А или поле частных кольца А.

В противном случае можно, например, ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ЮУНКЦИИ ваять в качестве Е кольцо А[Х) многочленов от одной переьеенной над А (или его поле частных). Доказав соотношение 1=0, очевидно, из него можно вывести равенства 1(уп уз, ..., у„)=0 для любого элемента (у1)ЕР", где Р— произвольнал комьгутативная алгебра над А (с единицей е).

Алгебра Р может иметь, в частности, лишь конечное число элементов или иметь делители О. Прн этом отображение а — ьав из А в Р может не быть взаимно однозначным. Другими словами, доказательство тождеств 1 (х„х„..., х„) = О, когда хе пробегают бесконечное кольцо целостности, содержагцее А, и с той же самой единицей, что у А (возможно, с ограничением типа де(х„..., х„)чаО для 1(1<т, где у~ — некоторые ненулевые многочлены), влечет те жв тождества, когда хе пробегают произвольную колелеутативную алгебру (с единицей) иад А.