Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики)

лстожпйв всыятпщ~жв нт пинвтюиьыв ЙТ ЙМЕЯТЯ 0Е МАТНЙМАТНКК РАН Х. ВОБКВАК1 иши~йав ранты ЙЕБ БТКОСТОКЕБ ГОВАМЕНТАЕЕБ 0Е ИЯАИБЕ ьгли и АТ.СЕВЕ РАК1в нккмляя а с; йшткекз б, кое 4е 1а вогьопае, 6 517 В 91 УДК 512.8/519.4 АННОТАЦИЯ Группа французских математиков, объединенных под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат по современной математике. Многие выпуски етого трактата уже вышли во Франции, выавав большой интерес математиков всего мира. В русском переводе вышли «Топологические векторные пространства» (ИЛ, 1959), «Очерки по истории математики» (ИЛ, 1963), два выпуска «Общей топологии» (Фиематгие, 1958, 1959), один выпуск «Алгебры» (Фивматгив, 1962).

Настоящая книга является вторым выпуском «Алгебры», содержащим перевод 1Ч вЂ” У) глав, Кянга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших куроов университетов и пединститутов. Н. Нррб и Алгебра (Многочлены и поля. Упарндоченные группы) М., 1985 г., 800 стр.

Редактор А. Н.Налило«а Техн. редактор л. ю. па«етое КорректоР О, А. Скеае Сдано в набор 157111 1905 г. Подписано к печати 1/У!1 Шее г. Вунага бех9ОЛ«. Фие. печ.л. 18,75)-8 вкл.уеловн.печ, л. 18,75. Уч;иед.л. 1б,05.'тираж 19 бсо зкз. Пена книги ! р. 4! к. Заказ »а 888, Издательстве еНаукае главная Редакция бнекко-иве«катит«ской латературы Москва.

В-71. Ленинский проспект, 15. Московская типограбин ГЕ 18 Рлавполиграбпроиа Государственного квинтета Совета Министров СССР по печати. Москва, Трехпрудный пер., д. 9. ОГЛАВЛЕНИЕ Р л а в а 1У. Многочлены и рациональные дроби $1. Миогочлвны 1. Определение многочленов 2.

Свойства алгебр многочленов . 3. Понитие степени 4. Миогочлены над кольцом целостности 5. Евклидово деление многочленон одной переменной $2. Полиномнальиые функции 43 4 4 1 5 1. Полииомиальные операторы 2. Подстановка многочленов в многочлеи 3. Полиноииальиые функции на алгебре . 4. Корни многочлеиа от одной переменной 5.

Полиномиальпые функции на кольце целостности с бесконечным числом алвментов Рациональные дроби и рациональные функции 1. Рациональные дроби над полем . 2. Рациональные дроби, рассматриваемые как операторы 3. Подстановка рациональной дроби в рациональную дробь 4. Рациональные функции Дифференциалы и дифференцирования 1, Дифференциалы и производные мяогочленов 2. Приложение: характериаация простых корней многочлена 3. Дифференцирования алгебры 4.

Продолжение дифференцирования; проиаводные рациональных дробей 5, Дифференциальные формы 6. Приложение к многочлепам и рациональным дробям Формальные ряды 1. Определение формальных рядов 2. Порядок формального ряда 3. Формальные ряды над областью целостности 4. Бесконечные суммм'формальных ридов . 5. Подстановка формальных рядов в формальный ряд . 6.

Обратимые формальные ряды 9 9 9 11 14 18 19 26 26 30 31 32 36 42 42 44 45 46 48 48 51 52 56 58 60 64 64 66 68 68 70 71 ОГЛАВЛЕНИЕ 7. Поле дробей кольца формальных рядов от одной переменной над полем 8. Дифференцирования в алгебре формальных рядов 9, Раэреп|нмость уравнений в кольце формальных рядов 10. Топологнческие интерпретации Г л а в а Ч. Поля 6 1. Простые поля. Характеристика 1. Простые поля 2. Характеристическая эвспоневта 3.

Характеризация многочленов с нулевой проиаводной $2. Расжирения 1. Струнтура расширения 2. Присоединение 3. Линейно разделенные расширения Алгебраические расширения 1. Алгебраические элементы 2. Алгебраические расширения 3. Трапзитивность алгебраических расширений. Поля, алгебраически замкнутые внутри своего расширения Алгебраически замкнутые расширения 1. Алгебранческн замннутое поле 2. Алгебранчески замкнутые расширения Трансцендентные расширения 46 67 4 8 1. Алгебранчески свободньге семейства. Чистые расширения 2. Базисы трансцендентности 3. Степень трансцендентности расшнревня 4.

Алгебраически разделенные расширения Продолжения изоморфиэмов. Сопряженные элементы. Нормальные расширения 1. Продолжения изоморфизмов 2. Сопряженные поля. Сопряженные элементы 3. Нормальные расширения Сепарабельные расширения 1. Теорема Артина 2. Сепарабельнме расширения 3. Примеры сепарабельвых расшнрепвй. Соверпзенные поля 4. Свойства сепарабельных расширений 5. Теорема Дедекинда 6. Сепарабельвые алгебраические элементы 7. Примвтивнме элементы Радикальпыс элементы.

Критерий сепарабельностн 1. Радикальные элементы 2. Критерий Маклейна 3. Прнлокзеиие к сепарабельным алгебраическим расширениям 4. Радикальные расширения 72 73 76 77 82 82 82 83 85 86 87 89 90 94 94 97 99 101 101 102 107 107 109 ИЗ 115 123 123 125 127 132 132 135 137 138 139 141 143 145 145 146 147 149 ОГЛАВЛИНИЕ 204 204 206 208 213 213 214 219 236 238 238 240 241 242 243 246 247 248 250 252 4 9, Дифференцирования в полях 1. Продолжение дифференцирования 2. Дифференцирования сенарабельных расширений 3.

Сепарабельные базисы трансцендентности 4 10. Расширения Галуа . 1. Определение расширений Галуа 2. Подрасширения расширения Галуа 3. Семейства расширений Галуа 4. Композит расширения Галуа н произвольного расширения 5. Теория Галуа 6. Норма и след в алгебраических сепарабельных расширениях 7.

Алгебраическая независимость автоморфнзмов 8. Нормальный базис расширения Галуа . 9. Нормальные несспарабельные расширения 4 11. Корни из единицы. Коне.шые поля. Циклические расширения 1. Корни из единицы 2. Поле корней и-й степени из единицы 3. Конечные поля 4. Алгебраические расширения конечной степени конечного поля 5. Циклические расширения 6. Циклические расширения и двучленные уравнения Приложение 1 к главе У. Симметрические рациональные дроби 1. Симметрические функции 2. Симметрические многочлены .

3. Формула Ньютона Приложение П к главе Ч. Расширения Галуа бесконечной степени 1. Топологическая группа Галуа 2. Свойства топологическнх групп Галуа, Исторический очерк к главам ГЧ и У Виблиографвя Г л а в а У!. Упорядоченные группы и поля 1 1. Упорядоченные группы. Делимость 1. Определение упорядоченных мснондов и групп 2. Предупорядочеиные и монондьт группм 3.

Положительные элементы 4. Фильтрующиеся группы 5. Отношение делимости в поле . 6. Элементарные операции над упорядоченными группами 7. Возрастающие представления упорядоченных групп 8. Верхняя и ивя<нял грани в упорядоченной группе 9. Решеточно-упорядоченные группы 10. Теорема о разложении 155 156 160 161 165 165 166 168 170 172 174 178 179 181 185 185 188 191 092 193 196 ОГЛАВЛЕНИЕ 11. Положительная и отрицательная части 12. Независимые злемевты 13.

Экстремальные злементы 1 2. Упорядоченные поля 1. Упорядоченные кольца 2. Упорядоченные поля 3. Расширение упорядоченных полей . 4. Алгебраические расширения упорядоченных полей 5. Максимальные упорядоченные поля . 6. Характеризация максимальных упорядоченных полей рема Эйлера — Лагранжа Укааатель обозначений Указатель терминов Определения главы 1Ч .

Определения глазы Ч . Определения и аксиомы глезы Ч1 253 255 258 271 271 273 274 276 278 тео- 280 291 293 Вклейка 1 Вклейка 2 Вклейка 3 ГЛАВА>у МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Там, где не оговорено противное, все кольца операторов, рассматриваемые в этой главе, предполага>отея коммутативнымн и имеющими единицу. з 1. Многочлекы 1, Определетгме многочленов Пусть 1 — произвольное кепустое множество индексов, Х— г произведение (гл. 1, $ 4, и' 5) семейства моноидов, имеющее 1 в качестве множества индексов, причем все моноиды тождественны аддитивному моноиду Ж целых положительных чисел.

Пусть 1ч~~~ — устойчивое подмножество в Ж~, состоящее из последовательностей (и„), у которых пг=О для всех индексов ~, кроме конечного числа. Если 1 конечно, то Ж и Ж совпадают. Пусть А †некотор коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим алгебру моноида Ж~~> относительно кольца А (гл. П, $ 7, и' 9). Эта алгебра обла>гает каноническим базисом (еоч>)<„>зл~г> со следующей таблицей умножения; е<,> е<„„> =е< „+„,>. Она воммутативна. Роль единицы играет элемент е„канонического базиса, где э> есть элемент из 1УМ>, все координаты которого равны нулю. Поскольку элемент е„является свободным, можно отождествить кольцо А с подалгеброй Ае„, установив соответствие Х вЂ” +Хе, которое отождествляет е„с единицей кольца А (мы будем обозначать ее через 1, осли это пе приведет к путанице).

Для каждого индекса к ~ 1 рассмотрим элемент (и,) ~ 1Ц~ -(>> такой, что и„ = 1 и и, = О при г Ф к. Элемент ерч> канонического 1О многочлвны и глционяльнык дгови гл. (т, $ Е базиса, соответствующий элементу (п,)~1»<(), обозначим символом Х„. Из приведенной выше таблицы умножения (с помощью индукции по и„) легко усмотреть, что каждый элемент е<„,) канонического базиса можно ааписать единственным образом в виде е<„) = Ц Х"' (выражение имеет смысл, поскольку все п„за псклю- »Е) чением конечного числа из них, равны нулю).

Таким образом, алгебра моноида Ж< ) пора»)сдастся элсмен(() тами 1 и Х„(где «пробегает 1). Опгкдклвннв 1. Алгебра моноида 1ч< ) относительно кольца А (1) (коммутативного и обладающего единицей) называется алгеброй мноеочленов относительно переменных Х» («~1) с коэффициентами иэ кольца А и обоэначаетсл символом А[Х«[»е(, Элементы этой алгебры наэываютсл мноеочленами относительно переменных Х«(«с1) с коэффициентами иэ кольца А. Пусть 1 — конечное подмножество в Ж.

Вместо А[Х»[„е( мы пишем А [Х«„Х<„..., Х( [, где («ь)>идя„— последовательность элементов из 1, расположенная в порядке возрастания. Каждый многочлен и С А [Х«[,ег записывается единственным образом в виде и = ~ <»<тч) П Х",', где индекс (и,) пробегает (я«)»Е( множество Л<)). Элементы а<„,>, из которых только конечное число отлично от нуля, называются коэффициентами многочлена и, а элементы а<„„) Д Х„' называются его членами (элемент »Е( а<„,)Д Х„"' будет часто называться «членом при 1[Х,"'»; когда »Е) «ег все и, равны нулю, его называют также «свободным членом» многочлена (ср. $ 2)). Элементы ЦХ„" канонического базиса алгебры »Е< А [Х,[,ег называютсн одночленами: каждый многочлен, таким образом, является линейной комбинацией одночленов с коэффициентами из А, причем одночлены линейно независимы.

Коли коэффициент а „) мяогочлеяа и равен нулю, то говорят "« (дая краткости), что ц не содержит «вена»рн 11 Х"». В частаости, » если «сеободяый член» мяогочаеяа к равен яу»ио, то говорят, что и — многочлен «без свободного члена». многочлвны о. Свойстпва алгебр многочленов Пусть 1 и 1' — два множества одинаковой мощности, и пусть ~р — взаимно однозначное отображение 1 па 1'. Линейное отображение алгебры А [Х„]„ег на алгебру А [Х„]„ег, которое каждому элементу Ц Х„"" канонического базиса алгебры А [Х,]„ег ставит зЕГ в соответствие элемент Ц Х""и) канонического базиса алгебры зЕГ А [Х„]„егч есть изоморфпг.н первой из этих алгебр многочлепов на вторую.