Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Формы относительно и переменных называются и-арными формами (бинарными, тернарныл<и, кватернарными — дпв п=2, 3, 4 соответственно). 3) Однородные мвогочлепы нулевой степени являются не чем иным, как элементамн кольца Л. Говорят еще, что они являются конетантиии в кольце А [Х,[„(см. $2). Пргдложкнкк 3. Пусть и и о — два многочлена, нв равные нулю одновременно. 1' Если йедичь деди, то и+очьО н йед(ил'-и)=Мах(йеди, йедо).
Если йед и= дед о и, кроме того, и+о Ф О, то (3) йед (и+ о) ~ Мах (йед и, йед о). 2' Если ио Ф О, то йед (ио) < йед и+ йед о. мпогочлкны и глциопальиык дгови гл. >ч, $1 Доказательства очевидны. Из формул (3) и (4) (вторая применима в случае, когда >[еии=-О) вытекает, что мкогочлекы полной степени <р образуют подмодуль в А [Х„],а>, база которого состоит из одкочлеков Ц Х, ", у которых ~~~ и, ~( р. г $ Пусть теперь У вЂ” некоторое непустое подмножество мкожества 1.
Мы видели, что каждый мпогочлеп и из кольца А [Х,]ы> можно рассматривать как многочлек относительно перемеппых Х„ь ~ У, с коэффициентами из кольца многочлеков В = А [Х,]ысе. Определения 2 и 3 применимы, естественно, к кольцу В[Х,],е,т. Им соответствуют ковыеопределекия для мпогочлеков и ~ А [ХД,аг. мы будем говорить, что член иоч>ЦХ„' имеет степень р относительно переменных Х„, ьб,), если ~ п,=р. Многочлеп и назыма вается однородным, причем степени р, относительно переменпых Х„, >~У, если все ненулевые члены мкогочлепа имеют относительно зтих неизвестных степень р.
Множество таких много- членов образует подмодуль в кольце А [Х,]„еп а А [Х,]вы является прямой суммой подмодулей такого типа (р~Ж), Степенью ненулевого многочлени и относительно переменных Х„, >АУ, зазовем наибольшее из целых чисел р, для которого существует иену- левой член а~о,> Ц Х„~ с ~ и,= р. В частности, когда 1 состоит 1 Ь из одного злемекта х, степень мкогочлека и относительно Х„ мы будем обозначать символом деян и. Мы оставляем читателю возможиость сформулировать с зтими определениями предложения 2 и 3 для кольца В [Х„],ьг.
В кольце мпогочленов А [Х] от одной перемеиной имеется, естествепно, только одно понятие степени. Однородные мкогочлекы имеют вид >.Ха (>.б А). Ненулевой миогочлея стеиени и записывается, как и=- ~ авХ". Козффкциент а, который, по предо-о положекию, отличен от нуля, называется старикм ковффициентом мпогочлека и.
Ненулевой миогочлен, старший козффициент окторого равен 1, казывается унитарным многочленом. Градуированные алгебры и надуло. Повлтво стовеви в алгебре ывогочлевов есть частный случай более общего появтая, мвогочвслеввыо првыоры которого ыы встретим позже. многочлины П сть А — коммУтативное кольцо с единиЦей, Š— алгебРа ыад г. аддытивно записанный комм утативнь>й моноид. Градуиусть давкой алве р й олееБРм Е ео виачеииами в моиоиде Ь (или по моноыДУ Ь) называется семейство (Нь)ьб> А-кодмодулей алгеБры Е, удовлетворяющее следующим условиям: (АСг) Е есть прямая сумма Н>„; (АСН) НьНр б:. Нь»и. Множество Е, наделенное структурой ал бры и гр д (Нь), назовем градуированной алгеброй (по ц ()б г воРить, что элементы из Нь являются од р дыы „ степени й (нли веса Ц. Каждый элемент х бЕ, в силу свойства (Асг), одноаначно эаписываетсн в виде х= х~~ ~х>л где ха бна.
элеьбъ мент хь называется однородной составляющей степени )> элемента х. Ненулевой однородный элемент х может принадлежать лишь к одному из модулей Ню Элемеыт Е б Ь, для которого х бНь, называетсн отеаенью (или весом) элемента х. Степень ыулевого элемента не определяется. В большинстве случаев алгебра Е будет обладать единицей, так что А можно отождествить с подалгеброй Ае алгебры Е, моноыд Ь будет обладать нейтральным элементом (мы обозначим его О), и модуль Но отождествляется с А. Градуировкой левого Е-модуля М со значениями в Ь (или по Ь) называется семейство (Нь)ь ь А-подмодулей модулы М, удовлетворяющее условиям: (МСг) М есть прямая сумма подмодулей л» ь, (МСН) Н>Ни с Ха»и. Говорят, что М, ыаделенный своей структурой Г>-модуля и градуировкой (Нь), язлкетсн градуированным И-модулем (по Ь).
Понятия воднородный элемент модуля М» ы »однородная составляющая элемеыта из М» определяются, как выше. П р и м е р ы. 1) В алгебре многочленов А [Х„[„бг подмодули однородных многочленов (соответственно однородных многочлеыов относительно переменных Х„, » р 1) определяют градуировку этой алгебры по адднтивному моноиду Н. Степень в этой градуировке совпадает с полной степенью многочлена (соответствеыно степеыью относительно пеРеменных Хо » б У), опРеделенной выше. 2) Пусть теперь г и у' — два непересекающихсн подмножества множества Е Для каждой пары натуральных чисел (р, у) определим Нр,ч как множество многочлеыов, однородных степени р относительно пеРеменных Хи > б У, и в то же вРемЯ одыоРоДных степени д относительно переменыых Х, ьб/'. Немедленно проверяется, что »' модули Нр, ч определяют градуировку алгебры А [Х„[, г по моноиду Л хЛ.
Таким >ке образом определим градуировку А [Х„[, по проиаведению произвольного числа (не превосходящего мощности множества 1) моноидов, изомор>[>ныл Н. Н. Бурбаки многочлкны и рлциоилльиын прови гл. тт, $1 3) Пусть М вЂ” произвольный коммутатизяый мояоид, запясаяаый адлитизао, с нейтральным элементом (обозначаемым символом 0). Пусть (а„), 1 — произвольное семейство элементов из М. Назовем членами еээв а(а бМ) в мпогочлеие иб А [Х,[„члеиы а<„)ПХ"~, ! у которых ~Ч~ ~я„а„— а.
Пусть Н вЂ” множество мзогочлеиоэ, у которых все ненулевые члены имеют вес а. Немедленно проверяется, что Ни определяют градуирозку алгебры А [Х„[,сг по моиоиду М. Гралуирозиу з примере 1 можае получить как частный случай этой общей гралуировки. 4) В теизориой алгебре Т (Е) (соотзетствеяяо внешней алгебре )<,Е) произвольного А-модуля Е обозиачим для каждого р > 0 через Н полмодуль, обрэзовэаиый коятразариаятяыми теязорами порядка р (соответствеяяо р-зекторами).
Подмолули Нр определяют градупрозку по мояоиду М. 5) Пусть Š— коммутативвый мовоид (записанный алдитизяо), Š— алгебра мэяоигв Е относительно А (гл. !1, з 7, п' 9) (еь)х < — маг ° ионический базис Е. В этом случае подмолули Ась алгебры Е (где Х пробегает Ь) образуют градуироаяу Е по моиоилу Х. 4..иногочленьс над нольцогг тгелосньносньгг Творима $. Кольцо многочленов А [Хг[„ег над кольцом целостности А (с единицей) является кольцом целостности.
Пусть и, о — два многочлена нз Л [Х„[мп Тря многочлена и, и и ио принадлгя<ат одному и тому же кольцу А [Х,[„сю где У— некоторое конечное подмножество множества г. Надо доказать, что если и ~ О и о~ О, то иоФ О. Таким образом, можно ограничиться рассмотрением случая, когда множество 1 конечно. С другой стороны, кольцо А[Х<, Хю ..., Хр] изоморфно кольцу многочленов от Хр с коэффициентами в кольце А [Х„..., Хр,), Следовательно, применением индукции по р задача сводится к доказательству теоремы для случая р=1, т. е. для кольца многочленов Л [Х[ от одной переменной над А. Пусть и = ас+ а,Х+... + а Х вЂ” многочлен степени т, о = =- [)э+ [)<Х+... -',- ~„Хи — многочлен степени и кад А; тогда коэффициент при Х~ в произведении ио равен а [)„.
Так как аа Ф О и р Ф О, по предположению, то ввиду того, что А— кольцо целостности, очевидно, имеем а [)„Ф О. Следовательно, ивФ О. 19 многочлены В общем случае, когда А содержит делители О, предыдущее рассуждение показывает, что если старший коэффициент аж многочлена и не является делителем О э А, то сам многочаен и не является делителем О я А [Х]. В частности, это всегда имеет место э тех случаях, когда и †унитарн иногочлея. Следствии 1. Пусть А — кольцо целостности, и и и — деа ненулевых миогочлена из кольца А [Х„],ог.
В этом случае Йей (ио) = деди ' Йея о. (5) Действительно, если Йели=т, Йеяо=п, то можно написать и = иО+ и1+... -]. иа1, О =- ОО+ О1 +... + О„, где иа (соответственно од) являются одяородными составляющими степени Ь (соответственно 11) многочлена и (соответственно о) для О<й<т (соответственно 0<й<п).
Так как и Ф 0 и оачь 0 по предположению, то и,„с„~ 0 по теореме 1. Следствие доказано ввиду того, что и оэ является однородной составляющей степени т+п многочлена ио. Следствие 2. Пусть А — кольцо целостности, и и о — дза ненулегых многочлена из кольца А [Х„],о1. Длл каждого к~У имеет место Йей„(ио) = Йей„и+ Йед„о. о. Хвгслидово деление многочленов одной переменной Пгедложение 4. Пусть ] — унитарный многочлен степени и йа 1 е кольце А [Х].
В факторалгебре А [Х]!([) обозначим симголом $ класс, содержащий Х. Тогда элементы 1, $, $э, ..., $ образуют базис алгебры А [Х]/Ц). Докажем сначала, что элементы с" (О < к < и — 1) линейно а-1 независимы. Действительно, соотношение ~', Хай" = 0 оаначает, а=о а — 1 что ~ )1аХа = 0 (той у) или, иначе, что существует многочлен а-о э-1 ь. 6 А [Х], для которого ~ ХаХа = (у. В силу унитарности мноа=о гочлеяа ] имеем Йей(]у) =Йея1+Йейу, если д ~ 0; го многочлкны и РАционАльнык дРОБи гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
