Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В частности, алгебры мпогочленов с коэффициентами из кольца А, соответствующие всевозможным конечным множествам индексов с одним и тем же числом элементов и, изоморфпы между собой. Их отождествляют обычно с алгеброй многочленов, соответствующей множеству индексов 1 = [1, и] и называют алгебралш многочленое от и иереженныт с коэффициентами из кольца А. Естественно, длн обозначении переменных можно пользоваться любыми другими буквами вместо букв Х; (Е .' Е < л). Например, в многочленах от трех переменных переменные можно обозначать символами У„уз, Уз или Х, У, Х. Каковы бы ни были приннтые обозначении, будем иметь в виду, что речь идет всегда об одной и той же алгебре, структура А-модулн которой совпадает со структурой модуля А ~, и что три переменные — это три элемента емс, ежз, еом кано(нз1 ннческого бааиса этого модуля. В частности, когда мы будем говорить о многочленах от одной переменной, зта переменная будет чаще всего обозначаться через Х, а алгебра многочленов от одной пзременвой — символом А [Х].
Таким образом, каждый многочлен и Е А [Х] записывается единственным образом в виде ~Ч~ азХо. Сумма н произведение двух многочле- нЕМ нов от Х, и= ~Ч~ ~азХ", о= ~Ч~ ~рзХ", задаютсн формулами п п + =~( з+рз) Х., ии.— ~~~~ гХ", где з=- ~ ар[)з (2) в=з Пусть 1 — произвольное непустое подмножество множества 1. Мопоид Ж~ можно отождествить с устойчивым подмножеством в Ж~~~, состоящим из элементов (и„), у которых и, = О многочлвны и глционлльнын дрони гл.
1в, $1 при всех ь ~ С1. Следовательно (гл. П, $ 7, и' 9), алгебру А [Х„]„ез можно отождествить с подалгеброй А[Х,],ег, иМЕЮЩЕй в качестве базиса одночлены П Х,"', где п,=О для всех ь~С1. заг Эта подалгебра порождена элементами 1 и Х„ ь ЕХ. Иногда говорят, что она состоит из мпогочленов, пе содерзгсаи[их Х„где ь Е С1. При 1=.е' подалгебра алгебры А[Х,],, порожденная влементами 1 и Х„з Е 1, сводится к А. Мы условимся применять обоаначение А[Х,], в в этом случае. Осуп[ествленное отождествление позволяет говорить о том, что алгебра А[Х„],ег является объедипениезз подалгебр А [ХЬею где 1 пробегает множество всех конечных подмнопсеств множества 1.
Действительно, каждый многочлен и является суммой конечного числа ненулевых членов вида а[„й Ц Х,"". В каждом з нз этих членов число индексов ь, для которых и, ФО, конечно. Обозначим буквой 1 конечную часть 1, состоящую из всех таких индексов (соответствующих всем ненулевым членам мпогочлена и), Тогда, очевидно, и принадлежит алгебре А [Х,],ею Для любых двух равпомощных подмвожеств 1 и /' множества 1 подалгебры А[Х„)„и А [Х,]„, алгебры А ]Х,[„ЕЕ изоморфны. Например, в алгебре А[Х, У, Я] многочлеяов от трех переменных над кольцом А алгебры А [Х], А [У], А [Я] ивоморфны, но, разумеется, не тождественны.
Заметим по етому поводу, что пока в некотором рассуждении участвуют только многочлены от одной переменной, нет смысла различать алгебры А[Х], А[У], А[Я[ и т. д., как мы об этом говорили выше. Напротив, во всех рассуждениях, где участвуют многочлены от нескольких переменных Х, У, Я и т. д„эти обоаначения применяютсн к различным алгебрам.
Пусть 1 — непустое подмнои<ество множества 1, отличное от 1, К=С1 — дополнение 1 в 1, Мопоид 1т изоморфеп проивведеппю ЕП моноидов 1чм~ Х Ю'~1 (гл. 1, ф 4, и' 5). Отсюда следует (гл. [П, 3, и' 2), что алгебра А [Х,],ет изоморфна тензорному произведению подалгебр А[Х,],ез н А [Х„)„ел. Этот результат можно получить другим способом, ааметив, что алгебра А [Х,]„изоморфна тензорному произведению алгебр А [Х„] мяогочленов от одной переменной, что тотчас следует ив вида канояического базиса алгебры А [Х„],ЕЕ (гл.
П!, Приложание 1). многочлены Пусть В = А [Хс),гэ. Кольцо А [Х,)„гг, рассматриваемое как алгебра относительно своего подкольца В, есть не что иное, как алгебра, полученная путем расширения кольца операторов А алгебры А[Х,)„ел до кольца В (гл. Ш, $ 3, и' 4). Другими словами, каждый многочлен относительно переменных Х„, с ~ э, с коэффициентами иэ кольца А можно однозначно подставить в виде многочлена относительно переменных Х„(~у, с коаффицнентами нэ крльца В многочленов относительно Х„, (~У(с коэффициентами из кольца А). Алгебра А[Х,),г(, как алгебра над кольцом В, отождествляется, таким образом, с алгеброй много- членов В[Х1!ьел" Пгедложкние 1. Пусть (р — представление кольца А в кольцо В, переводящее единичный элемент кольца А в единичный элемент кольца В.
При этих условиях сущесл(сует единственное представление (р кольца А [Хс)ыг в кольцо В[Х,)„гг, которое продолоюает (р и длл любого (Е1 отображает многочлен Х„лолы)а А[Хс)ггг в многочлен Х, кольца В[Х„)„гь При этом, если ф— ивоморфигм кольца А на кольцо В, то (р — иэоморфнзм А[Х,)ы( на В[Х~)ыь Это частный случай общего предложения о моноидных алгебрах (гл. 11, $ 7, и' 9). Точнее говоря, образом относительно отображения (р многочлена ~ а(„д 11 Х"," является многочлен (сд В ~ (р (а(„д) 11 Х„".
Говорят, что последний многочлен получен (яд применением (р л ловффиоиентам многочлена ~„а(„ОЦХ,'. (сд В формулировке предложения ( кам надо было подчеркнуть разницу между мпогочлвном Х, кольца А[Х„), и многочленом Х, кольца В)Х,), г (вти многочлвяы равлнчаются в силу их определения (п*()). Однако, допуская вольность речи, их обычно отел(двстнляют и говорят, что представление Е оставляет илвариснтяыл каждый многочлвн Х,. В частности, если А' есть подкольцо кольца А, имеющее тот же самый единичный элемент, то каноническое вложение А' в А продолжается до канонического вложения подкольца А' [Х,)ом в кольцо А[Х,)ы(. Сужая кольцо операторов алгебры А[Х,), многочлкны и глционлльнык дгови гл.
гч, $» до А', мы можем рассматривать алгебру А[Х,]цн как алгебру над А'. Алгебра А'[ХДу является в этом случае подалгеброй алгебры А [Х„],зт (см. гл. П, з 7, и'9). 3. Понятпие степени Опгкделеник 2. Членами полной степени р в мнозочлвне и~А [Х„]„ет называются члены а<„д ЦХ",', у котурых ~ п„=р. ~ет Сумма всех членов полной степени р многочлена и называетсл однородной составляющей (полной) апепени р много- члена и. Говорят, что и лвллетпся однородным многочлвном полной стпгпвни р, если он равен своей однородной составляющей полной ппвпени р.
Пгкдложкник 2. Ксли и и о — два однородных многочлена степеней р и о соответственно, то ио есть однородный мнозочлен степени р+д. Предложение вытекает, очевидно, из определения 2. Ясно, что множество однородных многочлепов полной степени р является подмодулзм Нр в кольце А [Х,]мт (рассматриваемом как А-модуль) с базой, состоящей из одночленов Ц Х",>, Ф у которых ~ п, = р (р — произвольное неотрицательное целое В число). Отсюда следует, что А-модуль А [Х1]мт есть прямая сумма подмодулей Нр(р~Л). Поэтому произвольный много- СО член и однозначно представляется в виде и= — ~ ир, ирЕНю где в=О ир — однородная составляющая степени р многочлена и (ир — — О для всех индексов р, за исключением конечного числа), Пусть 1 — конечное множество из д элементов, например 1= [1, д].
Число одночленов полной степени р равно числу я т'»+р — $ ~ алементов (пд)1 ак» из Ж, у которых хз пь=р, т. е. ( ь=$ (Теор. мн., гл. П1). Таким образом, подмодуль Нр допускает бааис из (» Р ) элементов (см. гл. П1, 1 5, следствие 2 к теореме 2). Р Пересечение двух различных модулей Нр равно нулю. Следовательно, каждый ненулевой однородный мкогочлен и может м~огочлнпы принадлежать только одному иэ Нр. Число р, для которого и ~ Нр, называется (полной) степенью многочлена и. Более общо введем следующее определение: Опркдклкник 3.
Назовем (полной) степенью ненулевого многочлсна и и обозначим символом йеди наибольшее из «[елых чисел р>О, для которых однородная состовляюы[оя степени р многочлвна и отлична от нуля. Замечании. 1) Стоит отме*ить, что, согласно определениям 2 и 3, степень нулеввео ннов«члена не определена, но что для венков« целого числа р > О мм тем не менее имеем право сказать, что «нуль является однородным многочленом степени р». В этом ааключается традиционная вольность речи, так как вторую фразу надо нанимать как синоним «О бНрэ.
Иначе говоря, в этой фразе слово «степень» ве следует отделить от выражения «однородныймногочленстепенирэ, которое должно рассматриваться как единый термин. Точно так же удобно говорить, что «/ есть многочлен степени < р (соответственно ч.р)э, если однородная часть степени и многочлеиа у равна нулю при всех и ) р (соответствевно и ~~ р). Это выражение означает, таким образом, что миогочлев У равен нулю или етеиень егв: р (соответственно ( р) н выражение «многочлен степени ( р» (соответственно <многочлен степени С рэ) должно также рассматриваться как единый термин. 2) Однородные мвогочлены степени р нааывают также (допуская зольность речи; см 4 2) формами степени р относительно переменвх Х„. В частности, каждая форма степени т (соответствевпо 2, 3, 4) нааываетсн линейной фермой (соответственно квадратичной, куси«ней, биквадрактчной].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
