Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Переходи к фантормодулнм, мы получим билинейное отображение, которое яазываетсн симметрическим про1и и го+и наведением модуля (~/Е) х(~/Е) в модуль ~/ Е. Предположим, что Е обладает базисом (в„), г и отождествим в этом случае модули и 1и ви-~-и )/Е, ~/Е и ~/ Е с подмодУЛЯми Н„„Н„, Нм+и кольЦа А[Х,)„бт (посредством изоморфизма, определенного в упражнении 1). Дока- вать, что симметричесное произведение отождествляется с произведением в кольце А [Х,), г 3) Пусть 8 — оператор симметрии ~к~ ~н втенаораойстеяениЯЕ ойо (гл. 111, 1 5, и'1; имеем, тем самым, Евии ~ нв). Для каждого ойа„ тензора вб(й)Е алемеат Юв симметричен и называется симлвтриааВивй тензора в.
Доказатги что если в модуле Е уравяенне и! а=а длн каждого а бЕ допускает решение, и притом единствеяяое, то каждый симметрический тензор и-го порядка яа Е является симметризацией некоторого тензора в-го порндка на Ь'. Кроме того, взаимно однозначное представление, ассоциированное с линейным МНОРОЧЛЕПЫ э отображением з — ь Хз модуля ®Е в себя, является изоморфиамом п модуля ~/ Е ва подмодуль симметрических тензоров.
Дать пример модуля Е, у которого подмодуль симметрических тенаоров и подмодуль симметриаацнй тензоров порядка в не совпадают (см. гл. 1П, 1 4, упражнение 5). 4) Доказать, что если модуль Е есть прямая сумма двух подмодулей Ез и Ез, то симметрическая степень ~/Е изоморфна прямой р п-р сумме С и+1 модулей ('„~Ез) $( ~/ Ез), где 0~(р <л (методом упражнения 7 гл.
П1, 1 5). Обобщить яа случай, когда Е явлнется прямой суммой некоторого конечного числа подмодулей. 5) Пусть и — линейное отображение модуля Е в модуль Р, и„— и-я тензорная степень отображения и. Имеет место включение и„(Юз (Е)) г Гв (Р). Переходя к фактормодулнм, получим из и„линейп з в нос отображение )уи модуля ~(Е в ~/Е, называемое и-й симметрической степенью отображения и.
Доказать, что если Е и Р— дзв векторных пространства вад полем К и если и †линейн отобрав жение конечного ранга г, то ' 'и является линейным отображением Г г+и — 1 ранга ( ) (используя упражнение 11, гл. П1, $ 5), 6) Пусть Š— алгебра вад кольцом А, (Нь)ась — некоторая градуировка Е по моноиду Ь.
Пусть ~у †некоторое представлениемонои Ь в моноид М. Для каждого )ь б М обозначим спмзолом Н„' (прямую) сумму модулей Ню для которых ф(Х)=)ь. Доназать, что подмодули' Н„'образуют некоторую градуировку алгебры Е по моноиду М. 7) Пусть Е, Р— две алгебры над кольцом А, (Нь)ьбь — некоторан градуировка алгебры Е по моноиду Л, (Н') — градуировка алгебры Р' по моноиду М. Доказать, что подмодули Нь Я Н' образуют градуировку тензорного произведения ЕЯР по мононду Ьх М. 8) Пусть Š— некоторая алгебра над кольцом А, (Нь)ьзь — градуировка алгебры Е по моноиду Ь. Пусть а — левый идеал (соответственно правый двусторонний) алгебры Е, порожденный семейством однорадных элементов (У„).
Пусть Сь — однородяан составляющая идеала а в Ню Доказать, что а являетсв прямой суммой подмоду. лей Сы Когда а — двусторонний идеал, вывести отсюда, что канонические образы модулей Нь в факторалгебреЕ/а образуют градунровку этой алгебры по Ь. з9) а) Пусть М вЂ” мовонд, наделеняый отношением порядка з (у, которое внолне упорвдочнвает М и длн которого соотношения з< у, з' < у' влекут зТз' <уТу' (где Т вЂ обознача закон композиции в М). Доказать, что если А кольцо целостности (с единицей), тсь алгебра моноида М относительно А является кольцом целостности. многочлины и рационлльпык дрони гл. гу, $2 'Ь) Обобщить евклидово деление многочленов одной переменной на случай алгебры группы М, где М является подгруппой адди- тивной группы Л действительных чисел., 10) Пусть А — кольцо целостности, / и  — два многочлена кольца А [Х,)мг танис, что )в — ненулевой однородный многочлен.
Доказать, что г и л †однородн многочлены. В частности, доказать, что обратимые элементы кольца А [Х,[, являются обратимыми эле- ментами кольца А. *11) Пусть А †произвольн коммутативное кольцо с единицей, чз и= «Х„ааХ" — делитель нуля в кольце А [Х). Доказать, что если а=о р= «~~ ~[)аХ" — ненулевой элемент кольца А [Х) степени Ь,.>0, причем ь=о но=О, то существует ненулевой многочлен в степени л — 1 такой, что изр=-0 (свести задачу к случаю, когда [)е чь 0; если аар=О длн О(я(ьз — 1, то доказать, что можно положить сз=рс; если же аьг=О „длн 0(й<р(зл — 1 и арэ ~ О, то доказать, что ар(в==0, э-1 и, следовательно, ыожно положить ю= — ~ ар~аыХь). Вынести отсюь —.-з да, что в кольце А сущестаует такой ненулевой элемент у, что ук=О, 12) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, ) — ненулевой мяогочзен из кольца А [Х) степени л со старя~им коэффициентом ао.
Пусть М вЂ” подмодуль в кольце А [Х) (рассматриваемом как А-модуль), образованный многочленами, у которых коэффициенты при члене степени ю (ьз — произвольное натуральное число) делятся на око, где )г=-Мах(ж — и+1, 0). Доказать, что для любого мкогочлена у б М найдутся два многочлена и и и из А [Х) такие, что В=и~-)-р, при- чем либо о=О, либо бед и< я. $3) 11усть А — коммутативное кольцо с единицей, я — такое поло- жительное целое число, что для всякого алемента а Р А в кольце А разрешимо уравнение ай=а. Пусть лэ — некоторое целое положитель- ное число и и — унитарный мвогочлен кольца А[Х) степени ти. Доказать, что в кольце А[Х) существует унитарный многочлен и степени ж такой, что и — ио нвляется либо нулевым мкогочленом, либо многочленом. степень которого < жл — гв (положнть р.=Хтэ+и).
й 2. Полиноминльные функции х. Попиномигглъньсе оперггторьг Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, Š— алгебра с единицей иад кольцом А, ие обязательно коммутативиая. Для каждого миогочлеиа у=ос+а,Х+... +а„Х" из кольца А [Х) пол)п!Омилльнык Функции миогочленов одной переменной над кольцом А и каждого элемента хКЕ положим ((х) =аэе+а)х+... +а х". Более общо.
Пусть х=(х„),г) — некоторое семейство попарно переппановочных элементов алгебры К. Для каждого многочлена ) =-,~~ а(„) [] Х"„' из кольца А [Х„]ге) положим ((ж) =(((х„))=- (гч) ~ Е) = ~э анн) И х,'. Будем говорить, что элемент )(х) получен (иг) гк) подстановкой длл каждого г кл элемента х, вместо переменной Х, в многочлен (. Пгкдложкник 1.
Длл всякого семейства эг =- (х,), е ) попарно перестановочных элементов алгебры Е отображение )' — э ((х) алгебры многочленов А)Х,],гг в алгебру К является представлением. Образом алгебры А [Х,]г е) при этом представлении лвляется (коммутативная) подалгебра алгебры Ь', порожденная мпожеспгвом, состоягйим из единичного элемента е и элел)ентов хг (гсл). Пусть ) и г — два элемента из А [Х,],гп а — элемент из А.
Положим и, =(-[ д, йг=а] и Ьэ — — (л. Надо доказать, что Ь,(х)=-~(х)+д(х), Ьг(зс)=а)(х) и йэ(ж)=((х)д(х). Первые два соотношения очевидны. В силу формулы дистрнбутизности в алгебре Е достаточно доказать третью формулу в случае, когда ( и л — одночлены. В этом случае формула следует из определения произведения двух одночленов и предположения о попарной переставовочности элементов х,.
Образ алгебры А [Х„]„е) при представлении у-+) (ж) является подалгеброй алгебры Ь', содержащей е и.х,. С другой стороны, любая подалгебра алгебры Е, содержащая эти элементы, содержит также и все элементы вида ((х). Следовательно, множество эле'ментов вида ((эс), когда ) пробегает А [Х,],гг, является, очевидно, подалгеброй алгебры Е, поро)кденной множеством, являющимся объединением (е] и множества М элементов х,. Будем обозначать эту подалгебру символом А [эс] или А [х,], г и или еще А [М]. Если э — конечное подмножество из Л (наиболеэ часто встречающийся случай) и (га)) ~ ь ~ э — элементы из ), рэсаоложениые н строго )п ал возрастающей носледовательности, то чаще всего вместо ) ((х,)) многочлвны и РАциОнАльные дРОБи гл.
1у, 1 л 28 в А [х„], г« пишут Из предлои«ения 1 вытекает следующая Твогвми 1. Пусть Š— алгебра с единицей г над А, и пусть Х=(Х,)ггг — НСКОтОРОЕ МНОжветза ПОПаРНО ПгРггтаНОВОЧНЫХ ЭЛгментов из Е. Подалгсбра А [х] алгебры Е, порожденная элементом е и х„изоморфна факторалггбре А [Х«]«сгlа, где а— идеал алгебры А [Х«]«11, образованный многочлснами 1, для которых 1(х)=0. Идеал а назовем (для краткости) идеалом алгебраических соотношений с коэффициентами из кольца А между элементами х, (или алгебраических соотношений, которым удовлетворяет элемент х, когда мнон«ество (х,) состоит из единственного элемента х). Он совпадает с модулем линейных соотношений с коэффициентами из кольца А между элементами И х„"' (где «г1 (и„) пробегает 1у«1>) (гл. И, $ 1, и' 8). Вообще говоря, этот идеал состоит не только из нуля.
Следовательно, представление 1 — и]'(х) не является изоморфизмом алгобры А [Х«]«11 на алгебру А [х]. ' Например, в кольце С[Х] мвогочлевов одной перемеивой иад полем С комплексных чисел миогочлев ~=Хе+ 1 отличен от нуля, во 1(«)=0.„ Пгвдложвнив 2. Пусть А, А' — изоморфные коммутативные кольца, обладающие единицей, «р — изоморфизм кольца А на кольцо А'.
Пусть Е (соответственно Е') — алгебра с единицей е (соответственно е') над кольцом А (соответственно А'), и пусть Х = (Х,), с« (СООтВЕтотВЕННО аэ' = (Х„')„г 1) — СЕМЕйетВО ПОПаРНО ПЕРЕ- становочных элементов алгебры Е (соответственно Е'), а (соответственно а') — идеал алгебраических соотношений между х, (соответственно т,'). Д'ля того чтобы существовал изоморфизм «]«алгебры А [х] на алгебру А' [ж'] такой, что «]э(х«)=х', для любого «АХ и ф(ае) = =«р(а) е' для всякого а из А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение «р(а) = а', где «р означает изоморфизм алгебры А [Х«]«зг на А' [Х«]«гг, который продолжает «р и оставляет инвариантными Х«($ 1, предложение 1). Изоморфизм «]«, удовлетворяющий предыду«цим условиям, при этом единственный.
полиномилльныв Функции Действительно, если существует такой изоморфизм з]з, то для каждого многочлена ~Ел, имеем у(х)=0, откуда, положив у= =~р(1), получим у(х')=О, то есть Ка'. Следовательно, должно выполняться включение ~р(а) ~ а', Применяя те же рассуждения — 1 к изоморфизму, обратному к ф, получим включение гр(а')С:а, откуда ~р(а) = а'. Обратно, если это условие выполнено, то существует иэоморфизм кольца А[Х,],ег(а на кольцо А']Х,],ег/л', который смежному классу По идеалу а, поровгдениому элементом и кольца А]Х,]„еп ставит в соответствие смежный класс по идеалу а', порожденный элементом ~р(п). В частности, классу (по идеалу а), поронсденпому элементом а ~ А, соответствует класс (по идеалу а'), порожденный элементом <р(а), а классу (по идеалу а), порожденному элементом Х„соответствует класс (по идеалу а'), порожденный элементом Х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
