Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (947359), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образоьц если Рз и ныл, то и и,Ф-О, В этом случае (2 1, формула (5))' йейи+ + йей из = дед и+ йед и, или еще йей и, — деди, = дей и — йен и. Целое число (положительное или отрицательное) йей и — йед и не зависит, тем самым, от представления ненулевой рациональа ной дроби в виде частного — двух многочленов. Это числоназыэ вается (полной) степенью этой дроби. Таким же образом определяют степень ненулевой рациональной дроби относительно переменной Х„.
Тотчас же проверяется, что для многочленов с коэффициентами из К эти понятия совпадают с одноименными понятиями, определенными в 2 1, и что формулы (3), (5) и (6) 2 1 остаются справедливыми для степеней рациональных дробей. 3 а м е ч а н н е. Если А — кольцо целостности с единицей, то, как известно (1 1, теорема 1), кольцо А[Х,), также нвляется кольцом целостности. Пусть К вЂ” лоле отношений кольца А, Можно отождествнть К с подполем отношений кольца А [Х,), н состоящим на дров бей —, где н н е — многочлеяы нулевой степени (э~о), отождеи ' ствленкые с элемеатамн кольца Л.
Прп атом соглашенвв поле отношений кольца А[Х,), г отождествлвегся с полем рациональных дробей к(х„), г. Действительно, каждый многочлен нз к[х„)„ы можно записать в впде —, где и — многочлея с коэффнцнентамн на А, а — элемент кольца А (достаточно привести к общему знаменателю все коэффициенты рассматриваемого мвогочлена). каждая рациональная дробь вз К (Х„), г записывается, следовательно, в виде (и(а)/(о/[))=фи)/(ао), где а н [) принадлежат А, я и в э — кольцу А [Х,)„Ы. Тем самым эта дробь является элементом поля отношений кольца А[Х ),ег.
Пусть теперь К вЂ” произвольное поле, з' — непустая часть множества индексов П Мы видели (1 1, и' 2), что кольцо многочленов К[Х,)„Ы можно отождествить с кольцом многочленов относительно переменных Х„(вндекс ь б С/) с коэффвцнентамн нз кольца целостносзк В=К[К,)ым Предыдущее замечание доказывает, что можно отождествить воле рациональных дробей К(Х,)иг с полем рациональяых дробей относительно Х„ь бСУ, с коэффициентами кз поля рациональных дробей К (Х,),ы. Предложение 1 из Э 1 вместе с предложением 4 из гл. 1, $9 показывает, что имеет место многочлены н РлционАльные дРОБи гл.
1т, 3 3 44 Пгвдложвнне 4. Лусть К, К' — два изоморфных поля, ~р — изоморфизм К на К', В этом случае существует изоморфизм <р, и притом единственный, поля К(Х,)кн на К'(Х,)ыг, который продолжает ц и оставляет инвариантним кансдую перемепнух Х,. 2. Рациональные дроби, рассматриваемые как операторы Пусть А — коммутативная алгебра с единицей над полем К, причем единица алгебры отождествлена с единицей поля К. И Пусть )=-- — элемент поля К(Х,),ег. Пусть х=(х,)„ег — элемент множества А, для которого значение о (х) обратимо в кольце А; г тогда элемент — определен в кольце А.
Кроме того, если и, а (х) э (х) и1 и о, — другие многочлены, для которых ) = — ', причем значение Уь о,(х) также обратимо, то — — = . Это следует из того, и (х) и1 (х) э(х) ээ(х) ' что ио, = и,о, н, значит, и (х) о, (х) = и, (х) о (х) ($ 2, предложение 1). Если существует по крайней мере одно представление дроби ~ в виде —, где о(х) — обратимый элемент, то мы будем говорить, что семейство х=(х„) допускает подстановку в рациональнуго дробь ).
Мы только что видели, что для всех представлений дроби ~ в виде частного — двух многочленов, для которых о(х) — обратимый элемент, элемент — кольца А окаи (х) э (х) аывается одним и тем же. Мы будем обозначать его символом )(х) или )((х„)). Пэкдложкния 2. Пусть х= (х„),вг — произвольное семейство элеменэпов коммутативной алгебры А над полем К. Множество рациональных дробей ~ЕК(Х,)мг, для которых х допускает подстановку, образует подалгебру У поля К (Х,)иь Отображение ~-+)(х) является представлением алгебры У в А. Образ подалгебры Г при этом отображении совпадает со множеством элементов вида уг г, где у пробегает кольцо К(х), а г — множество обратимых элементов этого кольца. 8 РАционАльныи дРОБи и РАциОКАльные Функции 45 В самом деле, пусть 11 = —, 12= — — две рациональные и1 иг иг дроби, для которых О1(ж) и иг(ж) являются обратимыми элемени1иг+ ит>1 тами.
В этом случае имеют место тождества 11+12= ' 2+ ~1 и1иг и Яг= и'иг-. Положим и=и>иг' тогда и(зе)=и1(м)иг(зе) — обраи11'2 тимый элемент. Таким образом, П является подалгеброй. Учитывая предложение 1 из ~ 2, мы немедленно убеждаемся, что отображение ( — и1(х) является представлением алгебры П в А.
Заключительное утверждение предложения очевидно. Следствие. Пусть Кз †по,являю>цееея расширением поля К, П вЂ” подкольцо кольца К(Х,),21, образованное рациональными дробями 1, для которых семейство ж=(х„)~К~ допускает подстановку в (; тогда образ кольца П при отобраяеении 1 — +1(ж) являетея подполем полл Кз, порожденным объединением К и множества М элементов х„(1~1). Действительно, из вышесказанного и предложения 6 гл. 1, ~ 9 следует, что этот образ изоморфен полю отношений кольца К [ж).
Мы будем обозначать это подполе символом К(зе) или К(х,),н (или еще К(х1, хг, ..., х„), когда 1=(1, Ь)), а иногда также символом К(М). 3. Подстановка рациона.гьной дроби в рацнона.гьнуго дробь Рассмотрим, в частности, следствие предло>кения 2 для случая, когда поле Кз есть пеле рациональных дробей К(У1)ггю Пусть (у,)и> — семейство элементов этого поля, допуска>ощих подстановку в рациональную дробь З гК (Х,)мз', тогда значение 1((д,)) = Ь является рациональной дробью относительно Уг. 1(роме того, справедливо Пгедложенне 3. Пусть( — рациональная дробь из поля К(Х,),,>, (д,)„е> — семейство элементов полл рациональных дробей К(У2)гвь, у = (уг)Ась — семейство влементов поля К. Предположим, что семейство у допускает подстановку в казкдую из дробей рн а семейство элементов (д1(у))М> — подтпанозку в дробь 1'.
В этом случае еемейс>пво элементов (уД допускает подстановку в 1. Если положить Ь=(((у,)), то семейство р=(уг) допускает подстановку в Ь, причем Ь(У) =1((У~(й))) 46 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. 1У, $3 Очевидно, можно предположить, что множества 1 и 1, ковелям. В силу предположений можно представить д, в виде — ', где Р, Ч,' н о„— многочлены из кольца К[Ух]ась, причем д,(у) ~ О для всех 1Е1. Таким же образом можно написать: ~= —, где и, в — такие многочлены на кольца К [Х,],ы, что о((де(й))) Ф О Пусть т — наивысшая из степеней многочленов и и Р относительно каждой переменной Х„. Пусть ю — многочлен из К [Ух]ьас., являющийся проиаведеннем многочленов д,(1Е1). В атом случае и1 = ю"и ((д,)) и о, = юмо ((б,)) являются многочленами из К [УА]кеь, причем ое(у) =(ю(у)) о((д,(У))) Ф О. Следовательно, о1 Ф О н о((де)) «ь О.
Таким образом, семейство (д,) допускает подстановку в 1 и имеет место равенство Ь=1((б,))= — '. Тем самым у Р1 допускает подстановку в Ь и й(у)=]((б,(у))). В частности, семейство (Х,)мг допускает подстановку в любую рациональную дробь ~К(Х,)мг. Позтому можно писать ~=(((Х,)) (нли — для рациональных дробей от л переменных — (=~(Х„ х,, ..., Х„)). еа.
Рационильные функции Пусть К вЂ” поле, Ко — расширение поля К, причем с бесконечным множеством элементов. Для любой рациональной дроби ] ~К(Х,)„ег обозначим символом Яг часть множества Кг„образованную семействами х=(х,)мг, допускающими подстановку в ~. В силу предложения 8 из а 2 множество 81 бесконечно. Рациональной функцией, ассоциированной с рациональной дробью (со значениями в расширении Ке поля К) назовем отображение х — «~(х) пз множества Яе в поле К,. Мы будем обозначать это отображение символом ] (нли просто ], если исключена возможность путаницы). Пусть ] и д — две рациональные дроби нз К(Х,)М1, тогда множество Яг] ]Ба непусто (З 2, теорема 3).
Если для любого злемента х этого множества имеет место равенство ](х) = =д(х), то 1=К Действительно, пусть 1= —, б= — '. В силу и' и1' принципа продолжения алгебраических тождеств Я 2, теорема 3) из равенства и(х)о1(х)=в1(х)о(х), справедливого для всех рхциональнык дгови и рациональныв ютнкции 47 х = (х,), для которых и (х) Ф О и и, (х) Ф О, следует, что ип, = и1п. Другими словами, отображение 1 — ь7 взаимно однозначно. Заметим теперь, что любой элемент множества 81 П Яз (7 и К вЂ” произвольные рациональные дроби из К(Х„)мг) допускает подстановку в дробь 7+ К (уй соответственно).
Таким образом, рациональная функция, ассоциированная с ) + д ()К соответственно), определена и принимает те же значения, что и функция )+К (соответственно 7 К) на множестве Я1ПЯз. Аналогично для ненулевой рациональной функции 7' образуем часть Я~ в К~ из элементов х, допускающих подстановку в 7, причем 7'(х) чь О. Множество Б) непусто ($ 2, теорема 3). Рациональная дробь з/~ определена и принимает те же значения, что и функция 1)7 на каждом элементе х множества Я). Замечании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
