Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 8

В частности, если мвогочлев 1 относительно л перемеяных с целыми рациональными коэффициентами таков, что /(хы хз... ° ..., х„)=0, когда х; пробегают иоле рациональных чисел О (возможно, с ограничением типа В~ (л„хз, ..., х„) гь О, где уе — ненулевые мвогочлеяы с целыми коэффициентами), то имеет место то же самое тождество, когда х; пробегают какое Вы те ни было коммутатиенее кельце с единицей (даже когда это кольцо имеет характеристику >0), так как привцкп продолжения алгебраических тождеств пока.

зывает, что 1=0 в кольце Я [Хы Хз, ..., Х ). е'вражке пи я.е1) а) В алгебре А[Х) многочлекоз от одвой переменкой аад кольцом А отображение (и, и) -ь и (е) является внутренним законом композиции. Доказать, что этот закон ассо. цкатвзеи и днстрибутввен слева относительно сложения и умяоже. яия з алгебре А [Х[. б) Доказать, что если А — кольцо целостаости, то из соотяоше ния и(о)=0 следует, что либо и=О, либо е является константой.

Кроме того, если и 0 и бел е>0, то степень мяогочлеаа и(е) равна прояззедеяию степеяей мвогочлеяоз и я е. в) Вудем вредполагать в дальаейшем, что А лоле. 11усть и и е — мяогочлекы из кольца А [Х[, степень которых О, 1 — миогочлен степени > О. Доказать, что если д в г †соответствен частное и остаток прн евклидовом делении многочлеяа и па е, то д(у) н г(1) являются частным и остатком при евклидовом делении мвогочлеаа и(~) яа е(гр г) Для любого мпогочлева 1 из кольца А [Х[ обозначим символом 10) млея<естес многочленоз вида и(/), где и пробегает А [Х). Это — подкольцо кольца А [Х[.

Для того чтобы кольца е 00 и 1(в) МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ, 1Ч, 3 2 совпадали, необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество вида б=)Х+)г, где Х ~ 0 н р — элементы кольца А. д) Пусть Х к б — два мыогочлена положительной степеыы в кольце А[Х[. Докавать, что пересечение 1(Х)[)1(б) либо совпадает с А, либо имеет вид Х (А), где А — некоторый многочлен положительной степени (исключая первую возможность, рассмотреть в кольце 1(Х)[)1(б) многочлен 5 наименьшей положительной степени; заметить затем, что любой многочлен ибА[Х) одноаыачыо записывается в виде ~ иайа, где из=О илн Йенса(бенд, и что А если и бХ(Х), то иа также принадлежат 1(Х); использовать в)).

*2) Пусть К вЂ” поле, К[Х[ — кольцо мыогочленов ыад К от одной переменной. Доказать, что любой автоморфизм г кольца (без операторов) К[Х) оставляет инвариантыым поле К (см. [ 1, упражнение 10) ы иыдуцнрует на К некоторый автоморфнзм о, этого поля. Кроме того, доказать, что з(Х)=ЛХ+р, где А чь 0 и р — элементы полн К (использовать упражнение 16)). Обратно, доказать, что задание произвольного автоморфиама и поля К я двух элементов й н р нз полн К (А ~ 0) однозначно определяет автоморфизм Я кольца К[Х), для которого о,=н и г(Х)=АХ+О. Пусть С вЂ груп всех автоморфнзмов кольца К[Х) без операторов, Н вЂ подгруп группы С, состоящая из автоморфизмов структуры алгебры К [Х[ ыад полем К; докааать, что подгруппа Н отлична от С к группа С1Н изоморфыа группе автоморфизмов поля К.

Группа Н ызоморфыа группе, определенной на множестве К» ХК законом композицнк (Х, [1) () ', Р')=() Х', А'Р+Р'). 3) Пусть А †коль целостности, Х вЂ” мяогочлен пз кольца А [Хг, Хз, ..., Хэ) стеяеви ~~~ 7с; относительно Х; (для 1ч,[ < и). Для любого аначения индекса 1(1<1(л) пусть Н; — множество из 41+1 элементов кольца А. Доказать, что если Х(хп хз,...,ав)=0 ы при всех (л,) б Ц 1ХЬ то Х=О. 1=1 4) Пусть А — кольцо целостности с бесконечным числом элементов, Ф вЂ” множество ненулевых мыогочлеыов из кольца А [Хг, Хз,... ..., Хв).

Докааать, что если мощность множества Ф сжроео меныие мощности кольца А, то существует часть Н в А", равномощыан с А и такая, что для любых Х=(лй бН ы Хб Ф имеет место неравенство Х (Х) ~ О. 5) Пусть А — бесконечное кольцо целостности,  — бесконечная часть кольца А. Доказать, что если многочлен Х б А [Х[ имеет положительную степеыь, то образ В относительно полиыомиальыого отображения з-+.Х(х) имеет одинаковую мощыость с В. 6) Пусть А — коммутативыое ыольцо с единкцек, у которого существует бесконечная подгруппа С аддитивной группы А, все 4а пплмнпмиальиыи Функции влементы которой не являютсл делителями нуля в А. Доказать, что отображение У-+-7' из А[Хм ...,Хр] в алгебру отображений множества Ав в А является изоморфнзмом.

(Заметить, что многочлен степени в относительно одной переменной не может иметь боаее чем и рааличных корней, принадлежащих С.) Так обстоит дело, в частности, когда в кольце А существует влсмент лс, ие являющийся делителем нуля, порядок которого в адднтивной группе Л бесконечен. 7) Пусть К вЂ бесконечноепо, характеристика которого отлична от двух. Пусть ч †алгеб кватернионов вад К, соответствующая паре ( — 1, — 1) (гл. П, $7, и' 8). Доказать, что многочлен Ха+1 имеет бесконечно много нулей в Д.

'8) Пусть К вЂ конечн поле из д элементов. а) Пусть а — идеал в кольце К[ХО Хз, ..., Х„], порожденный п многочленами Хч — Х; (1 ~гч, в). Доказать, что есаи ] Е а, то имеет место равенство ](ин хм..., л„)=0 для всех (з;] 8 Ко (заметить, что мультиплнкативная группа К" имеет порядок д — 1). б) Пусть У вЂ произвольн многочлсн нз кольца К [Хм Х, ..., Хс]. Доказать, что существует единственный многочлеп 7', либо разный нулю, либо такой, что бея; ] ( д — 1 для всех 1 ( 1 ~<; и, причем У щ 7'(шоб а). Имеет место неравенство бейг' <бейг'.

Пусть / — многочлен, длн которого У(зм лю,. „ва)=0 при всех (з~] Е К"; тогда ] принадлежит идеалу а, который является, таким образом, прообразом лула при представлении ]-~-у (нспольаовать упражнение 3). в) Пусть ум ]з, ..., ]ж — ненулевые многочлены нз кольца К[ХО Хз, ..., Х„], причем П(0, О, ..., 0)=0 (1 ~(~(вг) и сумма полных степеней многочленов ]; строго меньше и. Доказать, что существует такой элемент (нм зз, ..., х„) Е К", отличный от (О О, ...,0], что ]~ (аы яз, ..., аа)=0 для 1~(~т. (Заметить, что если бы зто было не так, то многочлен„Ц (1 — ]» 1) $1 яаходился бы в одном смежном классе по модулю а с многочленом ц (1 — Хд ~). Использовать 6).) 1=1 9) Пусть К вЂ” конечное поле, имеющее д злементов, А — кольцо Кг, являющееся произведением Х экземпляров поля К, где 1 — бесконечное множество.

Привести пример ненулевого многочлена У из А [Х] такого, что у (л)=0 для любого з б А. 10) Обобщить упражнения 10 — 14 гл. П1, 1 8 на случай, когда квадратные матрицы, рассматриваемые в стих упражнениях, не имеют обратных. многочлены и РАционАльные дРОви гл. 1ч, з 3 11) В кольце мвогочлевов от 3 переменных Хо У~ (1~(1~(4) над кольцом Я целых рациональных чисел. Установить соотвошеаве (Х'+ Х[+ Х'+ Х') (У" + У[+ У[+ У[) = = (Х1У1 — Хзуз — Хз1'з — ХьУь) з + (Х1 Уз+ Хг1 1+ ХзУь — ХьУз) з+ +(Х1Уз+ХзУ1+Хауз — ХзУь)з+(Х1Уз+ ХьУ1+ХгУз — ХзУз)з (использовать тот фант, что в алгебре кватернновов вад полем рациональных чисел, соответствующей паре ( — 1, — 1) (гл.

11, 3 7, п' 8), корма прокзведевяя равна произведению норм сомножителей). 12) Доказать, что в кольце мвогочлевов от 6 переменных Х;, Уз (1 ~(1~ 3) вад Я ве существуют соотношения вида (Хдз+ Х1+Х1) эс Х (У[+Узз-]-У[) =из+ аз+из, гДе и, Щ м — тРн мвогочлева относительно Х~ н У; с целыми коэффициентами. (Заметить, что число 15=3 5 нельзя представить в виде та+аз+рз, где т, в, р — целые.) 13) Пусть Я вЂ” кольцо целостности с бесконечным числом элементов, с единицей е, наделенное структурой алгебры отаосвтельно кольца целостности А (с еднвнцей).

Пусть а †иде кольца А, являющийся аваулятором е (для структуры Я как А-модуля). Доказать, что если А1=А/с, то образ кольца А [Хь Хю ..., Х„] ври отображеакн 1-+ 1 в кольцо отображений множества Ев в Ь" кзоморфея кольцу А1 [Хы Хз, ., Х„]. й 3. Рациональные дроби и рациональные функции 1.

Рациональные дроби над полем Опгкдклкник 1. Пусть К вЂ” поле. Ра1[иональными дробями с коэффициенталш иэ К относительно переменных Х„(1Е Х) называются элементы поля отношений (гл. ], 3 9, и' 4) кольца целостности К[К„]„61 многочленое с коэффициентами пэ К относительно переменных Кы Поле рациональных дробей с коэффициентами мз К относительно Х„обозначается символом К(Х„)„зг, когда 1 — интервал [1, и] из З, поле К(Х;)161 обозначают также символом К(КО Хз, ..., Хв) и называют полем рациональных дробей от и переменных с коэффициентами из К. По определению поля отношений кольца целостности, каждая рациональная дробь поля К(Х,)„61 может быть представлена и бесконечным множеством способов в виде —, где и и о — два многочлена нз кольца К [Х,], 61, причем о ~ О. Соотношение г глционлльныв дгови и глционлльныи эгнкции 43 и и~ — = — (и Ф О, п, чь О) означает, что ип,=пи,.