Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Пусть Р— коммутатпвкая алгебра над полем К, ) — рациональная дробь из поля К(Хо ..., Х„). Если семейство (х~)1аив<а элементов из Е допускает подстановку (1 3, и'2) в у, то в силу формулы (13) оно допускает подстановку н в калсдую из частных производных Р4. Немедленно проверяется, что для любого дифференцирования Р алгебры Е формула (12) все ен1е имеет место. д/ Если исключена возможность путаницы, то часто пишут дхс вместо Рй(хо ха, ..., х„). многочлены и РАционАльные дРОБи гл. 1у, 1 4 58 Замечание.

Попятив дифференцирования алгебры Е над коммутативным кольцом А можно обобщить следугощкм образом: пусть Š— подалзебра алгебры Р над А; назовем дифференцированием Е в Р любое линейное отображение Х) А-модуля Е в А-модуль Р, для которого Х) (ху) = Х) (х) у+ хХ) (у). Немедленно проверяется, что предложение 6 н его следствие, а также предложение 7 обобщаются на случай дифференцирований из Е в Р.

Если предположить, что алгебра г" коммутативна, то переносится и предложение 9. Предложение 11 остается справедливым, если предположить, что Р— поле, содерлсатцее кольцо целостности А. Наконец, предложение 10 распространяется также на случай, когда Х) †дифференцирован из А в некоторое коммутативное кольцо В, содержащее А и имеющее тот же единичный элемент. В этом случае Х) является дифференцированием алгебры Е в алгебру Р моноида 8 относительно кольца В.

Напротив, формула Лейбница (11) и предложеяпе 5, вообще говоря, яе имеют смысла для дифференцирования из алгебры Е в алгебру Е, ее содержащую. Кроме того, для диффереяцировавия В алгебры Е в алгебру Е образ Х1г элемента з из цеятра алгебры Е ве обязательно принадлежит центру алгебры Е. Отметим, что ограничение любого дифференцирования алгебры Р над кольцом А на подалгебру Е является дифференцированием алгебры Е в алгебру Г. Б.

Дифференциальные формы Пусть Š— поммутативная алгебра с единицей над кольцом А. Мы видели (предложение 6), что множество Я(Е) дифференцирований алгебры Ь' наделено структурой унитарнозо Е-модуля. Опгеделение 4. Назовем дифференциальной формой на алаебре Е любую линейную форму на Е-модула Ы (Е) дифференцирований алгебры Ь. Таким образом, дифференциальные формы на Ь' образуют Е-модуль Я(Е) двойственный или сопряпгенный с Я(Е) в соответствии с общими обозначениями (гл. 11, $ 4); для любой дифференциальной формы ю и любого дифференцирования Х) ДИФФКРКНЦИАЛЫ И ДИФФКРКНЦИРОВАНИЯ 59 алгебры 'Е будем применять символ (Х), ю) для значения ю на элементе Х! (основная билинейная форма). Если модуль Я(Е) имеет базис (Х),) из и элементов, то, как известно (1ос.

с!ь.), модуль Яв(Е) имеет базис (ю!) из и элементов, называемый действительным базисом к базису (Х)!), для которого (Хэь юэ)= =6!э (символ Кронекера). Любое дифференцирование представ- и ляется тогда в виде Х)= Х,' ЛэХ)„а любая дифференциальная в=1 форма — в виде со= ~ )ь!ссь причем (Х), !о)= ~~ )!чи!. ! в=! Пусть х †произвольн элемент алгебры Е. Очевидно, отображение Х) -ь Х)х модуля Я (Е) в А является линейной формой.

Эта дифференциальная форма называется полным ди!бференциалом элемента х н обозначается символом а!х. Другими словами, для любого элемента х~Е и любого дифференцирования Х! ~ Я (Е) имеет место равенство (Хэ, с)х) =Х)х. (14) Отметим, что, вообще говоря, существуют дифференциальные формы, которые ве ввлвютсв полными дифференциалами элементов пз а (см. упражнение 14). ПРкдложкннк 12. Длл любой нары элементов х, у алгебры Е а любого элемента а кольца А имеют место равенства !1 (х+ у) = с(х -~ - а!у, а! (ах) = а !(х, в) (ху) = х бу + у бх.

(15) Докажем, например, третье из этих соотношений. Длн любого дифференцирования Х), в силу (14) и определения 3, справедлива цепочка равенств ( Х), а (ху)) = Х) (ху) = Х)х у + х - Ру = =(Хэ, у бх)( (Х>, х-бу)=(Х), у.с~х+х !Ху). В силу определения дифференциальной форьгы это доказывает наше утверждение. Для единичного элемента е алгебры Е 'справедливо тождество (Х), ае)=.0е=О для любого дифференцирования ХЛ Таким образом, бе=О, следовательно, в((ае)=па!е=О для любого абА. Если модуль Я (Е) имеет базис (Х)!), а (Ф!) — соответствующий двойственный базис модуля Я" (Е) дифференциальных 60 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ гл.

1ч, 14 форм, то для любого элемента х~Е верно тождество г(х= ~ гг>хе>1. 1=1 (16) 6. 11 рылов>ганне м многочленам м рамиотальнъг.и дробям Рассмотрим, в частности, случай, когда Е является алгеброй многочленов А [Х1, Хм ..., Х„]. Формула (14) показывает при Х=Х> и Р=]г>, что (Е>1, >(Хг)=В>Х>=бгр Таким образом, полные дифференциалы НХ>(1 <1<и) образуют в модуле Я*(Е) двойственный базис к базису (Р1), состоящему из л частных дифференцирований. Для любого многочлена ~ ~ Е из формулы (16) вытекает следующее выражение для полного дифференциала: а[= ~ .О,[ ОХ>.

1=1 (17) г[у(хо х, х„)) = ~ 77,7'(х„..., х„)г[х>. (18) Это доказывает, что если отождествить Е-модуль однородных многочленов первой степени в кольце Е [У„ Уз, ..., У„] с Е-модулем л>*(Е), поставив в соответствие каждому элементу Уг дифференциал О>Х1, то полный дифференциал г[7 совпадет с дифференциалом, определенным в и' 1 (этим оправдается совпадение использованных обозначений). Пусть теперь Š— поле К(Л1, Хм ..., Х„) рациональных дробей от л переменных над полем К. Дифференциалы г[Х1 по-прежнему образуют базис модуля л>'(Е), двойственный к базису (г>1), а формула (17) применима к произвольной рациональной дроби ~.

Отметим, что если 7'=и/г>, где и и Р— два много- и йи — ийи члена (или рациональные дроби), то г([ = Заметим, наконец, что для произвольной коммутативной алгебры Е над кольцом А с единицей, для любого семейства (Х>)1К1«в ЭЛЕ>>сптОВ аЛГЕбрЫ Е И дЛя ВСЯКОГО МНОГОЧЛЕНа из кольца А [Х1, Хг, ..., Х„] формулы (12) и (14) доказывают тождество в ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 61 Эту формулу можно было бы такл<е без труда вывести из формул (15), Тождество (18) справедливо и в том случае, когда Е является алгеброй над полем К, 1 в рациональная дробь из поля К(Х„..., Х„), а (х;) — семейство элементов алгебры Е, допускающее подстановку в дробь 1.

У п р а ж н е н и я. 1) Довааать, что для л1обого однородного многочлена степени т в кольце А [Х1, ..., Х„[ справедливо етождество Эйлераю Х1 — =т[(Х1, Хз, ..., Х„). гья Обратно, доказать, что если в кольце А иа соотношения т[ ь=.0 следует, что с=0, то любой многочлен /, степень которого не превосходит т н который удовлетворяет предыдущему тон1деству, является однородным многочленом степени т.

2) Доказать, что интерполяцнонну1о формулу Лагранжа(1 2,п' 4) можно записать в виде Х ю' (а ) (Х вЂ” а.) [)1 1=-1 где ю(Х)=(Х вЂ” а1)(Х вЂ” аз) ... (Х вЂ” а„). Вывести отсюда для л1обого многочлена ббК [Х[, степень которого не превосходит и — 2, равенство =-о у (ай ю' (а1] 1=1 (рассмотреть многоч лен 1 (Х) = Хд (Х))„ 3) Пусть а; (1 <1":,п) — и различных элементов поля К, [)1 (1 ««', «1 «( и) и т1 (1 ««1 < п) — 2п произвольных элементов поля К. Докааать, что существует, н притом только один, ыногочлен /бК[Х[ степени <2п — 1, для которого /(а1)=р1 н 1'(а1)=у1 при 1 1< п (интерполяционная формула Эрмита). (Пачать с рассмотрения случая, когда 2п — 1 из 2п элементов [11, у1 равны нулю.) 4) Пусть К вЂ” поле характеристики нуль. Доказать, что вснкая рациональная дробь и б К(Х), для которой 11и=0, равна константе. 3) Обобщить результаты упражнения 1 на случай однородных рациональных дробей (1 3, упражнение 3) над полем характе- 1 ристикн нуль.

(Рассмотретьрацнональную дробь —,— 1'(ХХ1, ХХз, ... ..., ХХ„) относительно 2 и использовать результат упражнонин 4,) еб) а) Пусть А — коммутатнвное кольцо с единицей, в котором для любого ненулевого целого числа и 62 из соотношения п$=0 многочлкны и Рациондльнып дгопн гл. 1ч, 14 следует, что О=О. Доказать, что отображение 7-»7'(Я» ..., Я„) является кгоморфиэмом алгебры многочленов А [Х» ..., ХР! =Е в алгебру (над А) эндоморфигмов А-модулн Е (провести индук- цию по в). б) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей характеристики т)0.

Докааать, что Ягв — — 0 длн любого частного дифференциро- вания Я~ (1 < 1 < д) в кольце А [Х» ..., Х„]. 7) Пусть А — ноле нулевой характеристики. Докагать, что длн любого многочлена [ б К [Х» Хг, ..., Х„] справедливо равенотво 7(Хг+У» Хг+Уг ХР+УР)= ~ (У»Я г+ УгЯО+ + УеЯв)РР Р=О (дформула Тейлора для многочленовд). (Докаэать сначала формулу для в=1, гатем рассмотреть многочлен 7'(Хг+ЯУ» ..., ХР+ЕУв).) 8) Пусть Р» Рг, Рг — проигвольные дифференцирования алгеб- ры А.

Доказать, что имеют место тождества [Я» Яг]=0, [Яг, Яг]+ +[Я» Яг]=.0 [[й» Яг! Яг]+ИЯг Яг! Яг]+ПЯз Яг] Яг]=0 (гтождества Якобиг, см. гл. 1, г 5, упражнение 6). 9) Пусть А — алгебра над полем К нулевой характеристики, Р— дифференцирование алгебры А, для которого Р"=0 при неко- тором целом гюложнтельном и.

В алгебре Я (А) эндоморфиэмов п — 1 ч-1 гР векторного пространства А положим вг = р, — ЯР (при любом г б к). =2' Р! Р=О Докааать, что для любых двух элементов с и Н поля К спра- ведливо соотношение и+г,— игиг,. Вывести иг этого, что отобра- жеяия вг являются автоморфиамами алгебры А, причем обраауют абелеву группу, игоморфную факторгруппе аддитивяой группы коля К. Р10) Пусть А — коммутативное кольцо с едияицей, Е=Мв(А)— алгебра квадратных матриц порядка а над кольцом А, Я вЂ дифферен- цирование алгебры Е, (Еы) †каноническ баэис (гл.

П, г б,п' 2) алгебры Е над кольцом А. Докаэать, что Я(Егг)=([)1 — ]3~) ЕН+ ~ а)дЕгд — ~~~~ ад;Ед;, дчдг д~) где (бг)1 㠄— некоторое семейство элементов кольца А, (аы)— некоторое семейство элементов кольца А, определенное при 1 ~ У (продифференцировать таблицу умножения элементов Ег)). Вывестп отсюда, что любое дифференцирование Я алгебры Е является вву- треннмв дифференцированием (в' 3). 11) Пусть Š— алгебра, а — двусторонний идеал в алгебре Е, Я вЂ” дифференцирование алгебры Е, для которого Я(а)~а. Доке- диееиринциллы и диееиринцировлния 63 зать, что отображение Е)а в себя, полученное яз Я переходом к факторам, является дифференцированием алгебры К/а.