Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 14

Сумма чле- »Е« нов формального ряда и степени р относительно Хь 1Е У, является однородным многочленом степени р относительно этих переменных, наэываемым однородной частью степени р относительна Хь»~У, ряда и (или при р=О свободным членом относительно переменных Хь (~У). Порядок шг(и) формального ряда и относительно переменных Х», »~У, есть наименьшее иа чисел р>0, для которых однородная часть степени р ряда и относительно атих переменных не равна пулю.

Неравенства (1) и (2) сохраняются при аамене е» на вм б» 68 многочленн и Рациональные дРОБи гл, гч, 1 5 3. Формальные ряды над областпьто тгелостпностпн Уеогемь 1. Пусть А — область целостности (обладающая единицей). Тогда всякое кольцо формальных рядов А [[ХгЦнг над кольцом А является областью целостности. Действительно, пусть и и о — формальные ряды, отличные от нуля; тогда однородная часть 1 (соответственно д) ряда и (соответственно о) степени го(и) (соотзетственно го(о)) представляет собой ненулевой многочлен.

Однородной частью степени сэ(и)+ +ьэ(о) формального ряда ио будет многочлен [у, который не равен нулю ($1, теорема 1). Следовательно, ио ьь О. Слвдстзив. Пусть Л вЂ” область целостности, и и о — два ненулевых формальных ряда иэ кольца Л [[Хг)[;гг, 'тогда го(ио) =со(и)+со(о).

(8) Отсюда немедленно следует подобное же равенство для любой непустой части У множества Х: гог (ио) = сох (и) + сох (о). 4. Бесхонечные суммы формальныэс рядов Пусть А — коммутатнвное кольцо с единицей, Ь вЂ” некоторое множество индексов, (иь)ьгь — семейство формальных рядов кольца А [[Х;[[нь Предположим, что порядок со(и1) стремится к +со по фильтру доиолнений к конечным частям множества Г, то есть (Общ. топал. гл. 1Ъ', 1 4) для любого целого числа т существует такая конечная часть У мноя<ества Х„что при всех 1чйУ либо их=О, либо го(иь)>т.

В этих условиях для каждого (~~)~гт~ существует только конечное число индексов 1„для которых коэффициенты прн 1)Х,.' в иь не равны нулю, так как это возможно лишь в случае ю(иь) < ~ и;. Таким образом, молсно определить формальный ряд в, коэффициент при ЦХ,".' в котором для любого (и;) равен сумме коэффициентов при Ц Х,". в формальных рядах ик ч (это — сумма конечного числа ненулевых членов). Говорят, что семейство (иг) суммируемо и что формальный ряд г является суммой этого семейства, и пишут г= ~ ию В случае, когда ьгь Фогмлльные Ряды Х, — некоторая часть множества У, пишут также з=- иь,+ из,+...

° ° ° +из„+..., где (йв) — последовательность элементов множе- ства Х, расположенная в порядке возрастания. Из определения следует, что прн з чь 0 ю(~ иь) >М[п<о(иь). ьеь хеь (б) в ~ 8„, откуда и следует предложение. РЕз Пгкдложкник 2. Нусть (иь)ьеь и (ов)ием — два суммируемых семейства формальных рядов кольца А[[Х,[[<ег. Тозда семейство (иьои)<ь, „>еькм суммируемо и иьоо = (Х и,)( Х оо). Оь Р)Еьхм ьеь рем (6) Зто определение оправдывает запись формального ряда в виде ,~ Яа<ьо ЦХ,"<. Действительно, этот ряд, в силу сказанного, <Я<) является суммой счетного семейства многочленов а„. ЦХ,"< (здесь < < множество индексов Л совпадает с 1т~). Подобным же образом семейство и„(п~.Ж), где и„— однородная часть степени и формального ряда и, суммируемо и и=из+и,+...

+и +... Пгвдложкник 1. Пусть Т,— некоторое множество индексов„ (иь)ьеь — суммируел<ое семейство формальных рядов кольца А [[Х<Ц<Ег. Для любого разбиения (Ь„)„Ем множества Ь каждое из подсемейств (иь)ьеь суммируемо. Ьсли ބ— сумма этого семейства, то семейство формальных рядов (о„)оем суммируелсо и имеет ту же сумму, что и семейство (иь)ьеь. Первая часть предложения является непосредственным следствием определения суммируемого семейства. Далее, для каждого (п<) Е хч < пусть Н вЂ” конечная часть множества Ь, состоящая. из тех Х, для которых коэффициент при 1[Х, ' в иь ие равен нулю, и пусть У вЂ” конечная часть множества М, состоящая из таких индексов р, что Т„содержит по крайней мере один элемент из Н.

Очевидно, что коэффициеят при ЦХ,"' в Яи равен кулю для рЧУ, а коэффициент при ПХ,".' в ~~~~~ иь тот же, что хеь 70 многочлены и РАционАльные дРОБи гл, гч, 1 5 Действительно, для любого целого числа т существует конечная часть Н множества (, и конечная часть в множества М такие, что для любого )(([Н и любого [2([л справедливы неравенства ег(иь)) т и ег(о„)~т. Из неравенства (2) следует, что ег(иьор) > т для каждого ()„[2) ([ Н Х У. Применяя предложение 1, получим иьо„=~ ( ~ и,у„) = (Ь ЮЕЬКМ ЬЕЬ рЕМ = ~л~ ~из ( л.

ор) = ( л'. иь) ( лг ор). д. Подстановка форма.гьнысс рядов в Яормальнь(й ггмд Определения $ 2 и' 1, в частности, позволяют определить выражение 1 (иг, из, ..., ир), где [ — мноеочлен кольца А [Хг, ..., Хр[, а иг (1 < ( < р) — формальные ряды, принадлежащие кольцу А [[У„Ую ..., УЕЦ. 1 (и„ию ..., ир) — снова формальный ряд, принадлежащий тому же кольцу. Мы увидим, что это определение можно распространить на случай, когда [ — формальныб рлд, принадлежащий кольцу А[[Х„Хы ..., ХРЦ, наложив некоторые ограничения на формальные ряды иь Итак, пУсть [= ~ а(ьопХ г — фоРмальпый РЯд от Р пеРемен(~р ныл Хг (1<2<р).

Предположим, что р рядов иг(1<1<р) имеют строев положительный порядок (или, как еще говорят, не содержигп свободных членов). По формуле (2) порядок ряда пегги,"2 ... ирр не менее чем и, + пз + ... + пр. СлеДовательно, семейство (а„,„, „ри", ...и"„Р)(еделг сУммиРУемо. По опРеДелению его срмма обозначается символом [(ио из, ..., ир). Говорят, что этот формальный ряд получается подстановкой в ряд [ рядов иг от переменных Хг (1 <1<Р) Заметим, что зто определение позволяет, в частности, пользоваться записью 1 =1 (Х(ю Хз ° ° ° ю Хр) Предложвние 3 Пусть иг (1~1< р) — р Формальных Рядов бее свободных членов, принадлелсащих коль|у А [[Уг, Ум ° ° ° УЕЦ. Отобралсение [ — ь[(и„из, ..., ир) алгебры А ЦХ1, Хг, ..., ХрЦ в алеебру А [[Уг, У2...

УЕЦ является представлением. 71 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ Все сводится к доказательству того, что если [ и д — два формальных ряда от переменных Х; и Ь = [д, то Ь(и„из, ..., ир) = ~(ив ие, ..., ир) б(и„иг, ..., ир). 6. Обратимые формальиые рядьс Пгедложение 4. Для того чтобы формальный ряд и кольца А [[Хи Хз, ..., Хр]] был обратим в этом кольце, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член был обратим в кольце А. Условие необходимо, так как если о — формальный ряд кольца А [[Хы Хю ..., Х„П и ио=1, то для свободных членов ао и ро рядов и и о выполняется соотношение агро=1. Обратно, пусть и†формальный ряд с обратимым свободным членом, тогда и = аз в о = ае(1 — а;1о), где о †р без свободного члена.

Учитывая предложение 3, получаем предложение 4 как следствие следующего реаультата, проверка которого проводится непосредственно. Пгедлоясение 5. В кольце А [[т]] формальных рядов от одного переменного многочлен 1 — Т обратим и (1 — т)- = ч' „т". ч 0 (7) В обозначениях предложения 4 элемент, обратный к и, совпадает, тем самым, с формальным рядом Ха;~"+'>о". В частности, из предложения 4 вытекает, что многочлен и кольца А [Х„Хг, ..., Хр], имеющий обратимый в А свободный член, обратим в кольце степенных рядов АЦХ„Хз, ., Хр]). Пусть К вЂ” поле. В поле К(Х„Хю ..., Хр) рациональных дробей от р переменных над К рассмотрим множество рациональных дробей — ", у которых и — произвольный многочлен, а и — многочлен с ненулевым свободным членом. Ясно, что вто множество является подкольцом (но не подполем) поля а К(Х„Хг, ..., Х„) н что отображение — -ь ио ' определяет ' Это вытекает из предложений 1 и 2 н определения произведения двух формальных рядов.

многочлены и РАциОнАльные дРОБи гл. ?у, г о изоморфивм этого кольца в кольцо формальных рядов К ((Х„Хг, ..., ХРЦ. Формальный ряд ии г называют разлевгеениелг рациональной дроби — и чаще всего отождествляют с этой дробью. У. Поле дробей нольгга формальных радов опг одной переменной ггад полем Пусть К вЂ” поле; обозначим символом К((Х„Хз, ..., Хр)) по,ге дробей области целостности К((Х„Хг, ..., ХРЦ. Мы увидим, что элементы поля дробей К ((Х)) кольца формальных рядов от одной переменной над К могут быть представлены в особенно простой форме.

Всякий формальный ряд и Ф 0 порядка й в кольце К [[ХЦ однозначно записывается в виде и=-Хьщ где ив формальный ряд порядка О, и, следовательно (предложение 4), обратимый в кольце К[(ХЦ. Пусть Х ' — элемент поля К((Х)), обратный к элементу Х ~ О. Положим, как обычно, Х г' =- (Х г)" = =(Х ) " для всех натуральных и > О. Мы покажем, что всякий ненулевой элемент поля дробей К((Х)) может быть записан единственным образом в влде Хью, где ю — формальный ряд порядка О, а К вЂ” целое число (положительное или отрицательное). Действительно, частное (Х™и)!(Х"ь) двух формальных рядов кольца КЦХЦ (т>0, и> О, и, е — ряды порядка 0) записывается в виде Х"' 'иг '. С другой стороны, если Х"юг=Х"юг, где юг и юз имеют нулевой порядок, то г=в, так как, если, например, г)в, то Х" '=-юзю, и правая часть равенства имеет порядок О, что невозмо'кно.

Произвольный элемент и кольца К((Х)), представимый в виде и=-Х~ю=-Хь(ав-г+ а,Х+...), а, ~ О„записывают также в видо и = азХ" + + агХь+г+... + а„Х"+"+... Влементы кольца К ((Х)) называют обобщенными формальными рядами относительно Х или просто формальными рядами, если это не может привести к педоразуменщо (в этом случае элементы кольца К [[ХЦ называют формальными рядами с пололсительггыми стеггенями).