Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 13

12) Пусть алгебра Е является произведением конечного числа алгебр Е! лад кольцом А(1 ( ь Ч; н), для которых Е! Ее=Ее (в частности, вто всегда выполнено, если К обладает единичным элементом). Доказать, что для проиавольного дифферекцяроваяия Я алгебры Е его ограничение Я! на Е! является дифференцированием алгебры Еь Множество Я(Е) дифференцирований алгебры Е, рассматриваемое как А-модул!и является прямой суммой А-модулей Я(Е!).

Так же верно, если алгебра К коммутативяа, а Я (Е) рассматривается как Е-модуль. Кроме того, каждый ив модулей Я(Г!) аннулируется всеми К! с у + ь, 13) Пусть Г„Ез — две алгебры над А, Я,— дифференцирование алгебры Е„а Яз — дифференцирование алгебры Кз. Докавать, что существует дифференцирование В тензорного произведения К= =Еь(ьь)Кт, для которого Ю (л(5) у) — — (Юьи)(фр+л®(Юзр) при любых лбЕ, и р бЕт. о14) Пусть Š— коммутативная алгебра с единицек над кольцом А. Обовначим символом Яр(Е) р-ю внешнюю степень (гл.

П1, 1 5, и' 5) К-модуля Я(К) дифференцирований модуля Е. Каждая линейная форма й на Яр (Е), которую можно отождествить со знакопеременной ~олнлинейной формой на (Я(.Е))Р (1ос. с!Ф.), нааывается внеиьней диффереььциалъной формой оьненени р на алгебре р. Обозначим символом Яро(Е) модуль, образованный вгики формами, а) Доказать, что для любой внешней дифференциальной формы й б Яо (Е) отображение р+! Рь " Пр«) - ~ ( — 1)!«Пь(<й ПьЛ ° Лье!-ьЛП!+ь ° Л ! ! ЛП, »+Х ( — 1)'+"'<й, (Оь, ПЛЛП Л . Гь П- Гь ь(! Л Пыть Л ° ° Л В)-! Л 1)г+! Л ° . ьнь Пры) является знакопеременяой полилинейнов формой на (Я(Е))Р+ь, или, что то же, линейной формой на Яр+!(Е), которую обозначают символом дй (внешний дифференчион от й).

б) Докавать, что Ы(йй) =0 длв любой внешней дифференциальной формы й 6Яо (К) (испольаовать упражнение 8). в) Предположим, что Я (Е) имеет конечный бааис (Р!) ! ! .„., пусть (е!) ! „— двойствеяный базис модуля Я*(К). Для любой конечной части Н яз р элементов интервала (1, н) внешнио дифференциальные формы степени р вида ен=е! е"ье Л ... Дю (где (ьа) -ь - †стро возраставнцая последовательность злементов из Н) ! <Йцр образуют базис модуля Яр" (Е) (гл.

111, 1 8). Докавать. что длн двух 64 многочлкны и рлционлльнык дроки гл. 1ч, 1 б дифференциальных форм Я, 1г' степеней р н у соответственно выполнено равенство Н (1) Л Р ) = (й)) К об + ( — 1) Р а Р, (За'). г) Предположнм, что а — алгебра многочленов А[Х,, Х„[ причем в кольце А уравнение р) С=.=г) имеет некоторое решение 1 С А длн любого Ч б А. Доказать, что внешннн дифференциальг<ан форма ьг степени р имеет внд Аы в том случае, если А0= —.0 (провести индукцию по числу переменных).

$ 5. Формальные ряды .з. Определение формальнызг рядов Пусть 1 — конечное множество индексов. Аддитн нный моноид )т~ удовлетворяет условию (?)) главы П, 1 7, и' 10, т, е, для каждого элемента (и;) моноида ?т' существует только конечное число пар ((р;), (д1)) элементов пз 1т~ таких, что (р;)+(д,)=(п;).

Действительно, это равенство означает, что р;+д; = и; для любого 1~1, но для каждого г Е1 существует только п1+1 пара натуральных чисел (рь д,), удовлетворяющих этому условию. Отсюда следует утверждение, так как множество 1 конечно. Тем самым, мы можем рассматривать расширенную алгебру (гл. ?1, 4 7, и' 10) моноида )т~ относительно компутатпвного кольца А с единицей. Эта алгеора коммутатинна и содержит в качестве подалгебры (с той же единицей) алгебру многочлвнов (с коэффициентами из А) от переменных х; (г Е 1), которая является узкой алгеброй моноида )т' над кольцом А. г Опгкдкльник 1. лдля проиэволыгого конечного множества индексов 1 расширенная алгебра моноида ЛП над кольцом А (коммутативным и обладающим единицей) называется алгеброй формальных степенных рядов от первлсгнпых Х;(г к 1) с коэффициентами в А и обозначается АЦХгЦмг.

Всякий элемент этой алгебра называется формальньгм рядом от переменных Х~(1~1) с коэффициентами из А. Если 1 — конечная часть множества 1[г, пггшут А [[Хг„..., ХгрЦ вместо А[[Х;Цгег, где (га)гмамр — последовательность элементов из 1, расположенных в порядке возрастания.

ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ Как принято для расширенных алгебр моноидов (гл. П, Э 7, и' 10), формальный ряд (а<„.>)< >г,) обозначается символом (п<)гл ~ а<„>ЦХ,.< (подразумевается, что речь идет не о сумме много<е<) членов в смысле главы 1). Элементы а<п >ЦХ"; называются членамп формального ряда, а< > — их корффи<)иентами. Многочлен от Х< (( Е 1) отождествляется с формальным рядом, имеющим только конечное число отличных от нуля коэффициентов.

Если 1 и à — два конечных множества из р элементов, взаимно однозначное отображение 1 ла Х', то линейное отображение алгебры А Пх<Ц(ы в А [[х)Ц)зг, которое каждому элементу ~ а(,.) Ц Х"< первой из этих алгебр ставит в соответствие элемент ~~' а<„,>ЦХ"', второй алгебры, является изоморфизмом иеран вой алгебры на вторую. В частности, алгебры формальных рядов, соответствующие всевозможным множествам индексов из р элементов, изоморфны; их называют алгебрами формальных рядов от р переменных с коэффициентами из А.

Ио определению главы П, $7, и' 10 лроизведепие двух формальных рядов алгебры А[[Хе Хз, ..., ХрЦ есть формальный ряд где тптпю . и р ЛЛл ~Атее...ьрпьтвю ..Ар и суимироваяие производится по хакки уарам ((Ь<), (Й()), дяя кото- рых 4<+4<=--п; при 1 и 1-.. р. Пусть У вЂ” непустая часть множества Х. Алгебру А [[Х<Ц<гх можно отолсдествить с подалгеброй алгебры А [[Х<Ц(зп состоящей пз формальных рядов ~~ а<п >ЦХ,', где а<„,>=0 для каждого элемента (и;)сЖ~ такого, что н< чь 0 по крайней мере для одного индекса (с СУ.

Далее, пусть  — эта подалгебра, а К в (непустое) 5 н. втрезпв 66 многочлены и РАционАльные дРОБи гл, <у, Е о дополнение к г в 1. Определим изоморфизм кольца А [[Х>Ц<г>, рассматриваемого как алгебра над В с алгеброй ВЦХ;Ц<гк формальных рядов от переменных Х> с индексами >~К и коэффициентами из В следующим образом: формальному ряду ~Ч~ а<„> П Х,".> поставим в соответствие формальный ряд ~ [)О~ > >< ггл >< ПХ,», где »гл и у<р.>=а<„.>, причем последовательность (и>) определится услоРг <' виями и;=р» при ЕЕУ, п>=т< при <ЕК. Наконец, пусть ф— некоторое представление кольца А в кольце В.

Определим представление ф кольца АЦХ>Ц;гт в кольце В [[Х>Ц<г>, которое продолжает ф, ставя в соответствие каждому формальному ряду ~ а<,>ЦХ,.< формальный рнд ~ф(а<„,>) ПХ,.'. Говорят, что этот последний ряд получается применением ф к коэффициентам формального ряда ~г а<„,>ЦХ'>. В частности, пусть А' — подкольцо кольца А, обладающее той же единицей. Тогда тождественное отображение А' в А продолжается до тождественного отображения подкольца А' ЦХ>Ц>е< в кольцо А [[Х>Ц<еь Ограничивая кольцо операторов алгебры А [[Х>Ц<е< кольцом А', зту алгебру можно рассматривать как алгебру над А'.

Кольцо А'[[Х>Ц<гт тогда является подалгеброй алгебры А ЦХ>Ц<гн 3. Порядок формального ряда Пусть дан формальный ряд и= ~ а<„>ИХ,'. Назовем членами ! полной степени р ряда и те члены а<„>ИХ,.', для которых ч~' „п,= р. Сумма членов полной степени р ряда и является одно<<< родным многочленом ир степени р, который еще называют однородной частью степени р формального ряда и [иг называют также свободным членом формального ряда и). Пусть и и о — два ФОРМЬЛЬНЫВ РЯДЫ формальных ряда, ш=иа; тогда и шр — — ~ игпр „ «с для всех целых чисел р>0.

Полным порядкам (или просто порядкам) проиавольного формального ряда и чь 0 называется наименьшее иэ чисел р такое, что однородная часть степени р формального ряда и не равна нулю. Пусть ш(и) — этот порядок. Для любой пары ненулевых формальных рядов и и а имеем а»(и+а)>М»п(ш(и), ш(а)) при и+РФО, ($) ш(иа) > о»(и)+ш(а) прн пачь О. (2) Кроме того, если»э(и)уш(а), то и+а~О и в (1) имеет место равенство.

Понятие порядка, в частности, примеяимо к лнооочлонал от перемеввмх л»(»б1); его ве следует смешивать со отел«и»ю многочлеяа ($1, и' 3). Порядок нуля ае »ар«долов. Допуская вольвость речи, ияогда удобно говорить, что «формалъяый ряд 1 имеет порядок ) р (соответственно ) р)», если одяородвая часть степени а формального ряда » равна пулю для всех и ( р (соответствеияо а ( р).

Таким обрааом, О окааывается «формальяым рядом порядка > р» для любого р> О (см. $ 1, в' 2). Мы видели, что для непустой части л' множества л, отличной от Х, формальный ряд и нэ кольца А [[Х;Ц»бл можно рассматривать как формальный ряд от переменных ХО»~У, с коэффициентами в кольце В=А [[Х»Ц»ох (где К = СУ). Таким обраэом, введенным выше определениям соответствуют новые определения для формальных рядов и ЕА [[Х;Ц»вь Член а»ао~[Х,"' имеет степень р относительна переменных Х», »ЕУ, если ~ п»=р.