XIV Аттетков и др. Методы оптимизации (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Математика в техническом университете Выпуск Х1Ъ' Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакяией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко 1. Введение в анализ 11. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 1И. Аналитическая геометрия 1Ъ'. Линейная алгебра У. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного Ъ'11. Кратные и криволинейные интегралы.

Элементы теории поля Ъ'111. Дифференциальные уравнения 1Х. 1'яды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики Х111. 11риближенные методы математической физики Х1Ъ'. Методы оптимизации ХУ. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХЪ'1. Теория вероятностей ХЪ'11.

Математическая статистика. Х1~111. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций ХХ1. Математическое моделирование в технике УДК 517.5Ц075.8) ББК 22.161 А92 Рецензенты: проф. В.Т. Сергованцев, проф. А.В. Манжиров 18ВЫ 5-7038-1770-6 (Вын. Х1У) 18В1У 5-7038-1270-4 Книга цосвяшена одному из важнейших направлений подготовки выпускника технического университета — математической теории оптимизации.

Рассмотрены теоретические, вычислительные и прикладные аспекты методов конечномерной оптимизации. Много внимания уделено описанию алгоритмов численного решения задач безусловной минимизации функций одного и нескольких переменных, изложены методы условной оптимизации. Приведспы примеры рЕшепия конкретных задач, дана пагллдпая иптЕрпретапия полученных результатов, что будет способствовать выработке у студентов практических навыков применения методов оптимизации. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ нм. Н.Н.

Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам. Ил.100. '1'абл. 29. Библиогр. 91 назв. Выпуск книги финансировал Московский госудирстяенный технический универсптпст им. Б.Э. Баумана УДК 517.51(075.8) ББК 22.161 © Д.В. Дттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин, 2001 ® Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2001 1ЯВМ 5-7038-1770-6 (Вып. Х1У) 18В1У 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им.

Нюп Баумана, 2001 А92 А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — 2-е издо стереотип. — Мх Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. — 440 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. Х1У). пркдисловик Предлагаемая читателю книга является одним из учебников серии „Математика в техническом университете" и учитывает специфику математической подготовки студентов высших технических учебных заведений. В основу учебника положен курс лекций по методам оптимизации, который читается на протяжении ряда лет студентам различных специальностей МГТУ им.

Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских и лабораторных занятий по этому курсу. Этот выпуск серии целиком посвящен конечномерным задачам оптимизации. Основное внимание уделено прикладным и вычислительным аспектам оптимизации, связанным с разработкой численных методов решения задач оптимизации и построением алгоритмов их реализации. В книге отсутствуют доказательства сходимости методов (исключение сделано лишь для некоторых методов). Существует обширная литература по этим вопросам, и „математические тонкости' доказательств сходимости можно изучить самостоятельно с использованием рекомендуемой литературы. В инженерной практике важнее понимание сути методов и алгоритмов их реализации, знание условий их применения, примеры и иллюстрации решения типовых инженерных задач оптимизации. Наличие большого количества примеров и задач, поясняемых графическими иллюстрациями и интерпретацией полученных результатов, позволяет использовать данную книгу не только как учебник, но и как задачник при проведении семинарских и лабораторных занятий.

Содержание учебника относится к специальным разделам высшей математики и для работы с ним требуется хорошее знание базового курса. В частности, предполагается, что читатель ПРЕДИСЛОВИЕ умеет оперировать основными понятиями линейной алгебры, аналитической геометрии, теории матриц и математического анализа. В конце книги приведен список рекомендуемой литературы, в который включены все цитированные источники. Ссылки в тексте на литературу даны в виде подстрочных сносок, в которых указаны фамилии авторов соответствующего издания.

В предметный указатель входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полуэсирным курсивом термины с указанием страниц, на которых они строго определены или описаны. Выделение термина састльья курсивом означает, что в данном параграфе он является одним из ключевых слов и читателю должно быть известно зна ~ение этого термина (его можно уточнить, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу). Ссылки в тексте на номера формул, рисунков и таблиц набраны обычным шрифтом (например, (1.5) — пятая формула в главе 1, рис. 3.1 первый рисунок в главе 3, табл. 3.2 вторая таблица в главе 3), а на параграфы — — полужирным (например, 1.3 третий параграф в главе 1).

В квадратных скобках даны ссылки на другие выпуски данной серии (например, [ХЧ]— ссылка на пятнадцатый выпуск). Для самоконтроля прсдлагзем читателю ознакомиться с заданиями для самопроверки. В этих заданиях понятия и термины, которые нужно знать, выделены прямым полужирным шрифтом. После заданий для самопроверки помещен список основных обозначений, содержащий часто встречающиеся в тексте символы и их расшифровку. Задания для самопроверки 1. Какие множества называют: замкнутыми, открытыми, ограниченными, компактными? Что такое диаметр и внутренность множества? [Ц 2. Что такое центр и радиус окрестности точки? Что называют отрезком. вложенным в данный отрезок? [Ц 3. Из каких этапов состоят доказательства от противного и по методу математической индукции? [Ц 4.

Что называют монотонной, строго монотонной, возрастающей, убывающей, неубывающей и невозрастающей последовательностями? Что такое подпоследовательность и предельная точка последовательности? [Ц 5. Что называют функцией, убывающей, возрастающей, неубывающей и невозрастающей в промежутке числовой прямой'? Приведите примеры функций, непрерывных в интервале (а, Ь) или в полуинтервале [а, Ь), но не являктщихся непрерывными на отрезке [аа Ь]. Перечислите свойства функции, непрерывной на отрезке. В чем различие между точками разрыва первого и второго рода? [Ц 6. Дайте определение точной верхней [нижней) грани функции многих переменных [одного переменного) на открытом, замкнутом множестве. В чем различие между штв? (т) и тттЕ?(тв)? [Ц, [Ъ'] 7.

Каков смысл символов „а малое" и, О болыпое"? [Ц 8. Сформулируйте теоремы тРерма и Лагранжа, напишите формулу конечных приращений. Что называют точкой строгого локального экстремума функции одного переменного? Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума такой функции. В чем различие между локальным экстремумом и наибольшим (наименьшим) значением этой функции на отрезке? [1Ц 9. Как проверить, является ли функция одного действительного переменного выпуклой [строго выпуклой) вниз (вверх) функцией? Сколько экстремумов может иметь выпуклая [строго выпуклая) функция одного переменного на отршке? [П] 10. В каких точках отрезка линейная функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений? Как найти точку экстремума квадратного трехчлена в интервале? [П] пркдисдовик 11.

Что называют сходимостью метода вычислений и порядком его сходимости? Запишите условия, при выполнении которых скорость сходимости метода является линейной., сверхлинейной, .квадратичной., кубической. [П] 12. Какую матрицу называюг диагональной, единичной, симметрической., нулевой, блочной, транспонированной по отношению к данной? ь1то называют определителем квадратной матрицы, ее угловыми минорами, не- вырожденной (вырожденной) матрицей? Каковы правила разложения определителя по строке (по столбцу)'? Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования у квадратной матрицы обратной матрицы. Как связаны между собой определители этих матриц? Что называют рангом матрицы, базисным минором матрицы? ь1то такое нетривиальная линейная комбинация строк (столбцов) матрицы? [П1],[1Ъ'] 13.

В чем различие между координатной, векторной и матричной записью системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)? Какую СЛАУ называют совместной, неопределенной, квадратной? х1ем отличаются прямые методы решения СЛАУ от итерационных? [Ш] 14. Что такое линейное, линейное арифметическое, евклидово, метрическое и нормированное пространства? Перечислите аксиомы скалярного умножения. Как связаны между собой скалярное произведение, норма и метрика? Запишито неравенство Коши Буняковского. [1У] 15.

х1то такое линейный оператор, матрица линейного оператора? Как записать матрицу линейного оператора в различных базисах? '1то такое ортонормированный базис, ортогональный и самосопряженный операторы? Какие матрицы соответствуют этим операторам? Каковы свойства собственных векторов и собственных значений этих операторов в конечномерном линейном пространстве? '1то такое характеристическое уравнение матрицы и ее собственные значения? [1У] 16. Что такое линейная и квадратичная формы, матрица квадратичной формы'> Обоснуйте процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду ссылкой на соответствующие теоремы линейной алгебры. Какую квадратичную форму и какую матрицу называют положительно (отрицательно) определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра.

Какую квадратичную форму называют неположительно (неотрицательно) определенной, .знакопеременной'? [1Ч) 17. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано для функции одного действительного переменного и для функции многих переменных. [П), [Ъ ) 18. Какую функцию многих переменных называют непрерывной по совокупности переменных и непрерывной по части переменных? Что такое линия (или поверхность) уровня такой функции? Что называют координатными функциями векторной функции многих переменных и ее матрицей Якоби по всем или по части переменных? [1?) 19.