Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 9

1( 13) Пусть (Иг, 5) — система Кокстсра. Лля з, з'ш 5 определим последовательность и (з, з'), руководствуясь правиламн: (1) если зз' имеет бесконечиыя порядок, то и(з. ь ) — пустая последовательностей (В) если зз' имеет бесконечный порядок т, то последовательность и (з, з') имеет длину т и ее четные члены равны з', а нечетные з. УПРАЖНЕНИЯ Обозначим через а(з, з') произведение элементов последовательности а (з, з'). а) Показать, что множество образующих 5 и определяющие соотношения з'= 1 и а (з, з') = а (з', з) образуют задание группы йу. б) Пусть д — целое число ~ )1, Хч — множество посдедовательностей из 4 элементов в 5, и пУсть йч — наиболее тонкое отношение эквивалентности в Хч, при котором последовательности вида (А, а (з, с'), В) и (А, а(з', с), В) (где з, з' ен 5, а А и  — последовательности элементов из 5) эквивалентны.

Пусть Х' — множество ппследовательностей э = = (зо ..., зч), таких, что ш (и) = з, ... зч имеет длину д. Показать, что последовательности з, з ан Х' эквивалентны по модулю Гтр в том и только ч том случае, когда ш (з) = ш (и') (провести индукцию по д н применить предложение 3 пз и'3). в) Показать, что, для того чтобы последовательность з ш Х не принадлежала Х', необходимо и достаточно, чтобы э была эквивалентна по модулю кз последовательности с двумя разными рядом стоящими членами. (Рассуждая по индукции относительно д, сводим все к случаю последовательности (зс, ..., з ), не принадлежащей Х', ио такой, что (ьп ..., сч,) и (зз, ..., з ) пРинадлежат Х' и Воспользовавшись УпРа.

жнеиием 1, показываем, что зс, ..., зч, =за ... з, и применяем упраскссенссе б).) * И) Пусть (йг, 5) — система Кокстера, (Г, 1) — ее граф Кокстера, и пусть й — целое число ) 3, а а — ребро графа Г. Положим )А(а) = =-1(а), если ((а) чь со, и )з(а) =й, если 1(а) = со.

Пусть ((Рь, 5)— система Кокстера, определяемая графом Коистера (Г, 1 ) (гл. М, б 4, и'3, следствие предложения 4). Показать, что существует единстяенный гомоморфизлс чс группы йх на йтз, индуцируюший тождественное отображение на 5. Показать, что если й делит Ф', то существует едннственный гомоморфизм срз А, группы й ж на )рз, для иоторого йв = =- срз , ч срз,. Показать, что гомоморфизм (ср ) группы йг в проектпвный предел групп йгз является ннъективныч (использовать упражнение 13, в)), но, вообще говоря, не сюръектнвным (как, например, в случае бесконечной диэдральной группы)., 13) ') Пусть А — множество и й — подчножессво в х! (А).

Элеьсенты из 6 называются камерами множества А, а подмножество Р камеры С называется ячейкой. Коразмгриостс ячейки р в С есть мощность дополнения С вЂ” р. Ячейка р называется перегородлос! камеры С, если имеет в С коразмернасть 1. Две камеры С и С' называются сзсежными, если оия имеют общую перегородку Р. Галергеи длины и называется последовательность Г (Се, С,, ..., С„) из и+ 1 камер. такая, что Сг и Сс+, смежны для 0~(1К и — 1.

Камеры Сз и С„называсотся концами галереи Г. Галерея Г называется инвекгиаиой, если Сс ~ С;+, для 0~1(п — 1; она называется минимальной, есаи нет галереи меньшей ллины с теми же коицамн. ') Упражненсся с 13 по 34 в этом параграфе, а также с 3 по 17 в з 2, большей частью нигде не опубликованные, были сообспеиы нан Ж. Тсстсом.

48 ГЛ. ПД ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА $! Множество А (снабженное 6) называется ансамблем '), если каждый элемент из А принадлежит какой-нибудь камере и если любые две камеры нвляются концами некоторой галереи. Расстоянием между двумя камерами С и С' называется длина й(С, С') минимальной галереи с концами С и С'. Секцией ансамбли А называется подмножество 0 ~ А, такое, что если В снабдить системой 6()18 (Р), то получится ансамбль. а) Показать. что в ансамбле А любая ячейка имеет одну и ту же коразиерность во всех камерах, в которых она содержится.

Это дает возмо'кность говорить о коразмерности ячейки или перегородки в А без указания частной камеры. Морфизмом ансамбля В в А называется отображение В В-ь А, такое, что сужение 1 на любую камеру С ансамбля В есть биекция С на камеру 1'(С) ансамбля А. Показать, чуо образок ячейки ансамбля В при отображении ) является ячейка ансамбля А той же коразмерпостн. б) Ансамбль называется апартаментом (илн плоским ансамблем), если каждая его перегородка содержится точно в двух камерах. Показать, что любой автоморфизм апартамента А (т.

е. любая перестановка множества А, сохраняющая 6), оставляющий неподвижными все точки какой- нибудь камеры, тождествен. Более общо, пусть 1р — ЭидомоРфнзм множества А и С вЂ” камера в А, такам, что ~р[а)=а для всех а~С. Пусть (С, Сн ..., С„) — галерея в А. Похавать, что либо галерея (С, п(С,), ..., В(С„)) ие инъективна, либо п(а) =а для любой точки а из обьединения всех Св 1б) Пусть (В', 5) — система Кокстера.

Для любого элемента » щ 5 обозначим через В'1»1 подгруппу В'я 11 группы В', через А — множество подмножеств группы йг вида юйгы~, где ю щ йг и » зм 5, и через 6 — множество подмножеств в А аида см = (юйг(»1!» зм 4, ю зж йг, которые будут называться камерами в А (упражнение 15). а) Показать, что ю 1 — м См есть биекция множества В' на 6. б) Показать, что для того чтобы две различные камеры С и См. были смежными, необходимо и достаточно, чтобы существовал элемент » зм 5, для которого ю'= ю». Вывести отсюда, что А (со структурой 6) является анартанеитом (упражнение 15), называемым апартаментом системы (В', В).

Показать, что длина минимальной галереи с концами См н С„, равна 1»(ю-зю'). в) Пусть (à — множество ячеек ансамбля А н Рзм $. Показать, что существуют однозначно определенное множество Х в 3 и элемент ю щ В', такие, что юйг = 1 1 1. Говорят тогда, что Р— ячейка типа Х. Пока- Х гыР зать, что коразмериость ячейки Р равна мощности множества Х. Показать, что отображенае 1: Рз-о 1 1 есть строго убызаюизая (по включе. гюя нию) биекция 5 на множество подмножеств в йг вида маг для ю зн В' Х и Х щ 5. Показать, что для любого множества у, такого, что Х щ у с 3, кажлая ячейка типа Х содержит ячейку типа У, и притом только одну. ') Имеется в виду архитектурный ансамбль (система зданий или дом — )щпецп(е), что находится в соответствии с наглядно геометрической терминологией, принятой в упражнениях этой книги.

Иногда авсамбль, ассоциированный с парой (П, В), где  — подгруппа Титса в С (сзз. упражнения к й 2), называется также основой соответствующей системы Титса. — Прим. ред. УПРАЖНЕНИЯ » г] Группа ИГ действует на А посредствам левых переносов. Пусть С = См Показать, что ИГ действует на 6 просто транзитивно '). Пусть С„..., ф— камеры в А. Установить эквивалентность следующих условий: (1) последовательность Г = (Сэ = С, С,,..., С„) является инъективпой галереей; (П) существует последовательность з = (зо ..., з„) элементов из 3, такая, что С» = 1»(С»,) для ! < » ( п, где 11 — элементы последовательности Ф (з), определенные формулой (11) в и' 4. Показать, что если эти условия выполнены, то последовательность з единственна и С„ = з, ...

з„(С). Показать, что галерея Г минимальна в том н только том случае, когда последовательность з(Г) = з есть приведенное разложение элемента в = з, ... з„ д) Пусть Т вЂ” объединение множеств. сопряженных с 5. Для 1»а Т обозначим через С» н назовем степкой, определенной элементом 1, множество точек из А, инвариаитпых относительно 1. Показать, что !.» есть объединение перегородок и что необходимое и достаточное условие принадлежности перегородки г" стенке Е» заключаетси в том, что 1(Е) имеет внд вИГ,, где 1 = взв-'. Вывести отсюда, что для любой перегорр родки г существует, я притом елпиственный, элемент 1 1(Е)»а Т такой, что г" — Е».

При этом Е» называется носителем и» регородки Е. Показать. что если в(1.»)=С» (для в»а ИГ), то э=( илн в=!. г) Для в', в щ Иг положим С'= в'(С), С" = в" (С), Пусть Г= =(Сь С', С,, .... С„=С"] — инъективпая галерея с концами С' и С", Пусть 11 — элемент из Т, определнющий стенку, — носитель перегородки С1 П С1 „1 ~1 ( и. Показать. что последовательность Ч' (Г) = = (в' 1!в ), < ! ~ и совпадает с последовательностью Ф (з (в' (Г))). Для »щ Т обозначим символом и(Г, 1) число вхождений элемента »и' »»в' в Ч' (Г). Вывести из леммы 1, и'4, что число ( — !)" »Г' 1 зависит только от С' и С", а не от Г.

Обозначим его через т](С', С", 1). Показать, что соотношение т] (С', С",!) = ! определяет отношение эквивалентности между С и С" и что соответствующие классы эквивалентности переставляются элементом 1. Обозначим через 6 (1) тот иэ этих + двух классов, который содержит С, а через 6 (1] — другой. Показать, что для в щ Иу и з»а 5 камера в (С) принадлежит 6 (з) ь в том и только том случае, когда ! (зв) >!(в).

е) Пусть А~ (1) (соотв. А (1)) — объединение камер, принадлежащих 6+ (!] (соотв. 6 (1)) (для ! щ Т). Показать, что А+ (1)(] А (1)=С». (Для доказательства включения А+ (1]П А (!)»= Е» сведем все к случаю, когда 1»а 5. При а»а А (1)ПА (1) положим и = вйг!»! с з»а 3 и с (О, 5 — (х) )-приведенным элементом в (упражнение 3). Если в(С) щ »и 6 (1), то 1(»в) <1(в), и в »з ... з, где з»а ь', так что 1(в) .= а' 1 ч ч+ 1. поскольку п»а А (1), существует элемент х»а иг»з! такой, что вх (С)»а 6ь (1). Имеем тогда 1(!эх) = 1 +! (вх) = 1 + ! (в) + ! (х). ') Пусть Н вЂ” группа, действующая на непустом множестве Е.

Дей стене Н называется просто граизитивиым иа Е, если при любом х»а Е отображение й»-м Ь, х есть биекпия Н на Е Множество Е называется еще глпвиым однородным миожеггеом для 11. 50 ГЛ !З. ГРУППЫ КОКСТЕРА П СЗ!СТЕМЫ ТИТСА % ! По 1юх = з, ... зех, что приводит к противоречию. Таким абра.зам, ю (С) гп 6 (1) и 1(1ю) =1+1(ю).

Если х — элемент из %1~!, для которого 1(1юх) <1(юх), та при помощи упражнения 1 выводим, что 1юх=юх', ГДЕ Х~ Щ )Тг!Ю. ОтСЮла 1П = О И ПЩ Ьг.) Подмиожестиа А (1) и А (1) называются»алов»»оми множества А, определеннычи стенкой 01. Мы скажем, чта две точки множества А лежат по одну сторону (соотв. строго па разные стороны) от Сь если они обе принадлежат одной из этих половин (соотв. не принадлежат обе ап одной из них).