Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 4

Ввиду предложения 4 из п'б сяедует различать только два случая: а) !(зв) =1(и)+ 1. Тогда гв ен Р, б) ! (зю) = ! (ю) — 1. Положим ю' = зя илн, что то же самое, в =зи'. Имеем ! (ж') (1(зи'), поэтому ю' ен Р, и тем самым се я УР,. (В) Пусть з и з' — два элемента из 5 и Гв ен !!т. Если ю ~ Р, и юз'ФР,, то ею = Гсз'. Пусть д — длина ю. Так как в с:— .Р, то 1(зю) = у+ 1; так как вз'ФР„то !(зщз')=!(ыз') — 1~(д, а поскольку !(зиз) =!(зю)ь1, мы приходим к заключению, что 1(юэ')= =-у+ 1 и 1(зюз') = — д.

Пусть (зо..., з„) — приведенное разложение в и з~, = з'. Тогда (зо ..., з,, з,э,) — приведенное разложение элемента Гвз' длины д + 1. Согласно условию замены, сушествует индекс 1, 1(1(~у+ 1, для которого (22) Если бы 1(1(а, то равенство зГс=з, ... з!,зГ,ы з противоречило бы соотношению ! (пс) = д + 1. Значит, 1=у+ 1 и формула (22) принимает вид зГс= Гсз'. Обратно, имеет место следуюший результат: ПРндложннив 6. Пусть (Р,), з — семейство подмножеств группы !)т, удовлетворяющих (В) и двум следующим условиям: (А') 1 ен Р, для всякого з я 5. (Б') При всех з ~ 5 множества Р, и зР, не пересекаются.

Тогда ()!т, 5) является системой Кокстера и Р, состоит из элементов Гс ен ()т, для которых 1(зю) ) !(ю). Пусть вен 5 и ю ен )Р'. Возможны два случая: а) Гв Ф Р,. Пусть тогда (з„..., з ) — приведенное разложение ю и 22 ГЛ. !Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 8 для 1<1<у. Положим, кроме того, вь=!. Так как все= =Р, по условию (А') и в = вя не принадлежит Р„то существует индекс 1, 1-='1(~д, такой, что в>,е== Р„а и> — — ит >8> не принадлежит Р,. Из условия (В) получаем тогда зи>-> = В>->зи Таким образом, мы доказали формулу 88> ° ° . $>-> = 8> ...

8> >8>ь откуда следует, что зв = 8> ... 8> >8>+> ... 8 и 1(зи) (1(в). б) и ен Р,. Пусть в'=зв и тем самым ввиду условия (Б') Ге'ф Р,. Тогда, согласно (а), 1(зв')(1(и'), или, что равносильно, 1(в) (1(зи). Сравнение случаев а) и б) показывает, что Р, состоит из тех и ~))т, для которых 1(зв) >1(в). Условие замены следует из рассуждений, использованных в случае а), поэтому (У, 5) — система Кокстера (теорема 1 нз и'6). 8. Подгруппы групп Кокстера В этом пункте предполагается, что ()Р', 5) — система Кокстера. Для любого подмножества Х множества 5 обозначим через Чт» подгруппу в %', порожденную Х.

Пяедложеиие 7, Пусть и — элемент из %'. Суцестеует подмножества 5 с: 5, такое, что (зи ..., 8 ) = 5 для любого приведенного разложения (зи ..., 8 ) зле,кента и. Обозначим через М моноид, составленный из подмножеств множества 5, с законом композиции (А, В) > Л() В. Единичным элементом в М будет Я. Положим 1 (8) = (8) для 8 ~ 5. Применим к М и >' предложение 6 из и'6. Тогда а(8, 8') =(8, 8'), если 8, 8' е== 5 и Гп(8, 8') конечно. Значит, существует отображение д: в 5 группы В" в М, такое, что у(в)=)(8,)() .

()1(8,). Иначе говоря, 5 =(8„..., 8,) для в ее))> и любого приведенного разложения (зи ..., 8,) элемента в. Следствие 1. Для любого подлГножестеа Х ~ 5 подгруппа ят» группы Ю' состоит из алел>ентов и таких, нто 5„с: Х. Если и = 8, ... з,, где зи ..., 8, — элементы из 5, то в '=88 ... 8, и, значит, 5 — =5 (23) е $ ь ГРуппы кокстеРА зз Предложение 4 из и'б показывает, что 5, с(з)()5 ° для зев 5 и ш'~В'. Отсюда индукцией по длине ш получаем 5 ° с5 () 5„. (24) Из соотношений (23) и (24) следзет, что множество ЕУ тех ш еп Я7, для которых 5 с: Х, является подгруппой в Яг.

Итак, Х с: 0 с:)т'х, откуда 0 =ЯК». Слндствин 2. Для любого подмножества Х с:5 )т х П 5 = Х. Это вытекает из следствия 1 и формулы 5, =(з) для з ~ 5. Слндствиг. 3. Множество 5 является минимальным множеством образующих группы Ят. Если Х с: 5 порождает Я(г, то Я7=ЯКх и в силу следствия 2 Х = 5 П Ф'» — — 5.

Слндствив 4. Для всякого подмножества Х с:.5 длина любого элемента ш ен Я7х относительно системы образующих Х группы 1тх равна 1з(ш). Пусть (зь ..., з„) — приведенное разложение ш как элемента из )т. Тогда ш=з, ... з и з;~Х для 1<1<у (следствие 1). Кроме того, по определению д =1,(ш) элемент ш не может быть произведением д' < д элементов из Х с:5. Тногимх 2.

(1) Для любого под.нножества Х с 5 пара (ЯГх, Х) является системой Кокстера. (Я) Пусть (Х,),, — семейство подмножеств в 5. Если Х=ПХо то У.=ПЯТ,г 1м/ 1~/ (!!1) Пусть Х и Х' — два подмножества в 5. Тогда Чтхс)!тх (соотв. ЯУх=1т"х) в том и только том случае, если Х с: Х' (соотв. Х= Х'). Каждый элемент множества Х имеет порядок 2, н Х порождает )т'х.

Пусть хяХ, вяжи» и 1х(хге)<1х(ш)=д. Тогда из следствия 4 предложения 7 вытекает, что 1з (хш) ~ 1з (и) = д. Пусть х„..., хч — элементы из Х, такие, что ш =х, ... х . Так как (Ят, 5) удовлетворяет условию замены (теорема 1 и'6), то сушествует индекс 1, 1<1<у, для которого хх,, х;,=х, ...

хч,хр Следовательно, пара (Я~х, Х) 24 ГЛ. 1Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 9 удовлетворяет условию замены и является системой Кокстера (теорема 1 и'6). Тем самым доказано (1). Утверждения (й) и (1и) получаются непосредственно при помощи следствия 1 предложения 7. У. Матрицы и графы Кокстера Определение 4.

Пусть ! — некоторое множество. Магрицей Кокстера типа ! называется всякая симметрическая квадритная матрица М = (т11). и элементы которой— целые числа или же символ + оо, удовлетворяющие соотношениям тн — — 1 для всех тен7; (25) т11~2 для 1, !и=7, 1чь!. (26) Назовем (допуская вольность речи) графом Кокстера типа ! пиру, состоящую из графа') Г, у которого ! — множество вершин, и отображения ! множества ребер этого графа в множество, состоящее из символа + со и целых чисел в3. Буде,и говорить, что à — граф, подчиненный графу Кокстера (Г, !).

Каждой матрице Кокстера М типа ! следуюшим образом сопоставляется граф Кокстера (Г, !): граф Г имеет в качестве множества вершин 7„а в качестве ребер — пары (1, !) из 7, для которых тп) 3. Отображение ! сопоставляет ребру (1, )) элемент тг! матрицы М. Очевидно, что таким образом устанавливается биективное соответствие между множеством матриц Кокстера типа ! и множеством графов Кокстера типа !.

Для простоты восприятия граф Кокстера типа ! зачастую предстанляют схемой, изображагошей подчиненный граф, приписывая еше над каждым (или ридом с каждым) ребром (Д 1) число 1((1, 1)). Обычно опускаю г приписывание тех из этих чисел, которые равны 3. Если ((зт, Я) — система Кокстера, то матрица М = = (т (э, э')). е з, где т (з, з') — порядок элемента зз', является матрицей Кокстера типа Б, называемой матрицей системы (ЯУ, Я). Действительно, т(з, з)=1, поскольку аз=1 для всех э~Я, и т(з, з')=т(з', з)= 2 в случае зФз', поскольку зэ'=(з'э) ' -„ь 1.

Граф Кокстера (Г, !), ассоциированный с матрицей М, называется графом Кокстера системы (йт, 5). Заметим, что две вершины з и з' графа Г ') Определение н используемые здесь свойства графов даны в Дополнении. и 5 с ГРуппы кокстеРА 25 соединены тогда и только тогда, когда з и з' не коммутируют. Например, матрицей Кокстера диэдральной группы )! Щ'1 порядка 2т является ~ ! ), а ее граф Кокстера изображается схемой когда т) 3 (или когда т= 3), и о о когда т= 2. Граф Кокстера симметрической группы (ю„изображается схемой (и — 1 вершин)., Позже (гл. Ч, $4) мы покажем, что, обратно, каждая матрнпа Кокстера является матрицей некоторой системы Кокстера. Говорят, что система Кокстера ((Р', Я) неприводима, если граф Г, который подчинен графу Кокстера, ассоциированному с (Ит, 3), свлзен (дополнение, и'2) и непусг.

Это соответствует тому, что 8 непусто и не существует разбиения 5 на два множества 5' и 5", отличные от 5 и такие, что каждый элемент из 8' коммутирует с каждым элементом из 5". Более общо, пусть (Г,),, — семейство связных компонент графа Г (дополнение, и'2) и 3, — множество вершин компоненты Гь Пусть Ф'; = Й"з — подгруппа в )(У, порожден- 3! ная 5, (см. и 8). Тогда все (В'о Я!) суть неприводимые системы Кокстера (см.

и'8, теорема 2), называемые неприводимогми компонентами системы (Ф', 5). Кроме того, йт является ограниченным пря.иым произведением ') подгрупп Я7з ') Группа 6 вазывается ограниченным прямым произведением семейства (6г)Г т своИх подгРупп, если для любого конечного подмноже ° ства г <: г' группа 6, порожденная 6! ! ~ У, будет прямым произведением групп 6Р Г чм Х, и если 6 — объединение 6 . Это означает, что каждый элемент из 6; коммутирует с каждым элементом из 6) длк ( Ф ! н любой элемент группы 6 однозначно записывается в виде произведения 11 ер Где и гм 6 не = ! для всех индексов,кроме конечного !мт зе ГЛ 1Ч ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА т для ! Ен!.

Это вытекает из следующего более общего утвер- ждения: Предложение 8. Пусть (5,),, — такое разбиение 5, что каждый элемент из 5г коммутирует с каждым элементом иэ 5( при (~ !. Для всякого (ен( пусть (ут~ — подгруппа, порожденная 5о Тогда йт является ограниченным прямГим произведением семейства (йт,), Ясно, что для (ен 1 подгруппа ))У), порожденная объединением всех Мур где !'Ф т', порождается также множеством 5!= и 5р По теореме 2п'8 имеем тогда тч йт П)(т! = йуо=(!). Поскольку йт порождается объединением подгрупп Ю'о пред- ложение доказано.

й 2. Системы Титса Ба протяжении всего этого параграфа символГя 6, В, й(, 5, Т, йт имеют один и тот же смысл, определяемый ниже в п'!. 1. Определение и основные свойства Пусть 6 — группа и  — ее подгруппа. Тогда группа В Х В действует на 6 по правилу (Ь, Ь').й=йиЬ', где Ь, Ь'ее В и й ен 6. Орбитами группы В ХВ в 6 будут множества ВйВ, й ен 6, которые называются двойными смежными классами (или просто двойнГими классами) 6 по В. Классы образуют разбиение группы 6. Соответствующее фактормножество обозначается символом В)6/В. Если С и С' — два двойных класса, то множество СС' будет объединением двойных классов. Оппеделение !.