Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Включение 6 - с: 6т (соотв. равенство Ох = бт) имеет место тогда и только тогда, когда Х с: У (соотв. Х = У). Ясно, что 6х=(Ох) . Лемма 1 п'1 показывает, что 6х. Ох ~ Ох. Отсюда и из следствия ! теоремы 2 получаем утверждение а). Инъективность отображения Х ~ 6х следует из инъективности отображения Х йтх (5 1, и' 8, теорема 2).

Далее, пусть Н вЂ” подгруппа в О, содержащая В, и пусть Π— множество те ен йт, таких, что С(иа) с= Н. Тогда Н = ВОВ, поскольку Н вЂ” объединение двойных классов. Пусть Х = 0() 5. Покажем, что Н= 0„. Очевидно, что Ох с: Н. С другой стороны, пусть и ~ О и (зи ..., зр) — его приведенное разложение. Следствие 3 теоремы 2 влечет С(зт) с: Н, откуда з! ен Х для 1~1(д. Мы имеем теперь и ен йтх, и так как Н есть объединение С(и), и ~ О, то Н~ Ох, чем завершается доказательство утверждения б).

Утверждения в) и г) следуют из аналогичных свойств групп йт» (з 1 и'8, теорема 2). Следствие. Множество В состоит из элементов ув ен йт, ус Ф 1, для которых В () С(ю) является подгруппой в О. Элементы ус ен%', для которых В() С(уе) — подгруппа в О, характеризуются тем, что для каждого из них существует Х с: В с )!т» = (1, ш). Если, кроме того, уе Ф 1, то необходимо Сагй (Х) = 1, т. е. уе ен 5. Замечание 1). Предыдущее следствие показывает, что множество 5 определяется тройкой (О, В, ЛУ). По этой причине иногда системой Титса называют тройку (6, В, ЛУ); говорят еще, что (В, ЛУ) — система Титса в 6. Предложение !.

Пусть Х вЂ” подмножество в 5 и ЛР' — подгруппа в Л', образ которой в Ф' совпадает с йУх. Тогда (Ох, В, ЛУ', Х) является системой Титса. Имеем Ох — — В)ьахВ=Вуар'В. Отсюда следует, что О» порождается множеством В () ЛР'. Выполнение аксиом (Т1) — (Т4) легко проверить. Прадложение 2. Пусть Х, У с: 5 и уе ен й7.

Тогда Охиабт = В)таха)т'ТВ Пусть з„..., зеенХ и Г,, ..., т ен У. Лемма 1 показывает, что С (за... за), С (уе), С (гу ... гч) с: В%'хчррр В 2 зак. ьь н. Буреаан ЗА ГЛ 1У. ГРУППЫ КОКСТВРА 1! СИСТЕМЫ ТИТСА откуда 6»шО~ с= В~"»юйГ1 В. Обратное включение очевидно. Занечание 2).

Обозначим через 6»(6/О множество подмножеств в 0 вида 6»дОГ, у ез 6. Аналогичным образом определим )ч'»)(УГ/пУУ. Предыдущее предложение показывает, что каноническая биекция Гв- С(в) группы )(Г" на В)6/В определяет посредством факторизации биективное отображение В'»)йг/ау 6»)610у. ПРвдложвнив 3.

Пусть Х с 5 и уев 6. Тогда из соотноГления цВд ' с 6» следует дев О». Пусть д ев С(в) для какого-то и ец йГ". Поскольку  — подгруппа в О», условие дВу ' с О» влечет С(ц1).С(ш ') сО„. Теперь следствие 3 теоремы 2 дает С(Гв) с Ох, и д принадлежит подгруппе 6». б. Параболические подгруппы Опгвдвлвнив 2. Подгруппа группьс 0 называется пара- болической, если она содержит подгруппу, сопряженную с В. Ясно, что всякая подгруппа, содержащая параболическую подгруппу, сама является параболической. ПРадложвнив 4. Пусть Р— подгруппа группы 6. а) Для того чтобы Р была параболической, необходимо и достаточно, чтобы Р была сопряжена с подгруппой 6», где Х вЂ” некоторое подмножество в 5 (определение О» в п' 5).

б) Пусть Х, Х' с 5 и д, д' еп 6 таковь1, что Р = д0»а-1= =а'Ору' 1. Тогда Х=Х' и д'д 1ец Р. Утверждение а) следует из теоремы 3,6). В условиях пункта 6) нашего предложения имеем д- д Вй -'д я- й 6».д -'у=6„, и предложение 3 показывает, что д 1д'еи 6». Поэтому, согласно теореме 3,6), 6» = 0» 'и Х'=Х. Наконец, к'й = й' ° к б ° б ~ кО»к откуда следует утверждение 6). Если параболическая подгруппа Р сопряжена с 6», где Х с 5, то Р называется подгруппой типа Х. Твогвмл 4.

(1) Пусть Р, и Рз — две параболические подгруппы в О„пересечение которых тоже является параболи- 7 з з системы титсА 3$ ческой подгруппой, и пусть дР,д ' ~ Рз для некоторого элемента у ен 6. Тогда д Й Р, и Р, с: Р,. (й) Две различные параболические подгруппы, пересечение которых — параболическая подгруппа, не сопряжены. (ш) Лусть Я, и Яз — две параболические подгруппы, содержащиеся в подгруппе Я ~ 6. Тогда все элементы д ~ 6, для которых дЯ,В ' =1;)з, принадлежат Я.

(ьч) Каждая параболическая подгруппа совпадает со своим нормализатором '), Утверждение (!) следует из предложений 3 и 4 и влечет утверждение(й). В условиях (и) дЯ1д ' с: Я. Отсюда и из утверждения (1) следует теперь, что дан Я. Наконец, утверждение (1ч) вытекает из (ш), если положить (~~ — — Яз=(г. Првдложннив б. Лусгь Р, и Р, — две параболические подгруппы в 6. Тогда Р, П Рз содержит подгруппу, сопряженную с Т. Применяя в случае надобности некоторый внутренний автоморфизм группы 6 к Р, и Р„можно предполагать, что В с= Ро Пусть у ен 6 — тот элемент, для которого дВу-' с: Рз.

По теореме 1 существуют и я Ж и Ь, Ь' я В, такие, что у=ЬпЬ'. Поскольку подгруппа Т нормальна в М, имеем Рз~дВу =ЬпВп Ь ~ЬпТп Ь =Ь7Ь Р,:з В:з ЬТЬ откуда и следует предложение. 7. Теорема простоты Ламма 2. 7!усть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6. Существует такое подмножество Х в 5, что ВН= 6х и каждый элемент из Х коммутирует с каждым элементом йз 5 — Х.

Так как ВН вЂ” подгруппа в 6, содержащая В, то существует единственное подмножество Х в 5, для которого ВН= 6х (теорема 3). Пусть з, я Х и з, я 5 — Х, а п, и и, — представители з, и з, в М. Имеем и, ей 6х= ВН, и существует элемент Ь ен В, ') Нормализатором а С подгруппы Н ~ о называется подгруппа Я(Н), состояпззя из элементов д нз О, для которых гНд-' = Н. Гозорят, что подгруппа Н' нормализует Н, если Н'~=э)(Н); тогда НН'=Н'Й будет подгруппой з 0 с нормальной подгруппой Н. 2з Зб ГЛ.

1Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА т такой, что Ьп, ееН. Так как подгруппа Н нормальна в 6, то элемент И=а,Ьп,п ' принадлежит Н. С другой стороны, И ее С (з,) . С (з,) . С (зт). Если длина элемента з,з,з, равна 3, то следствие 1 теоремы 2 влечет С(зт).С(з,). С(з,) =С(з,з,з,) и, значит, И ен Н () С(зез,з,).

Поскольку Н () С(ззз,з,) непусто, то з,з,з,еи'Йт„. Последовательность (з„з„з,) является приведенным разложением и потому (э 1, п'8, следствие 1 предложения 7) зееиХ, что противоречит предположению. Пусть теперь !з(ззз,з,)~(2. Если !з(з,з,)=1, то з,з, я 5 и (з,з,)'=1, откуда з,з,=з,з,. Если же 1з(з,з)=2, то из свойства (3) $1 следует, что зтз~ — — з,з„поскольку з~ Меж Ч.

Т. Д. В теореме 5, которая будет доказана ниже, фигурирует следуюшее свойство группы У. (Р) Для любой нормальной подгруппы )т ~ У, отличной от У, коммутант (см. Ллг., гл. 1, $6, и'8) группы У/)т отличен от У))т. Каждая разрешимая группа удовлетворяет свойству (Р). В частности, коммутативные группы удовлетворяют (Р). То же относится и ко всякой некоммутативной простой группе У, если исключить случай )т=(!). Можно показать, что (Р) выполнено для симметрической группы Ь„при любом и (см.

упр. 29). ТеОРемА 5. Пусть Х вЂ” пересечение подгрупп, сопряженных с В, У вЂ” подгруппа в В и 6~ — подгруппа, порожденная сопряженными с У подгруппами в 6. Предполагаются выполненными следуюи!ие условия: (1) У нормальна в В и В= УТ; (2) У удовлетворяет условию (Р); (3) 6, совпадает со своим коммутантом; (4) Система Кокстера ()Р', 5) неприводима (см, 5 1, и'9), Тогда любая подгруппа Н группы 6, нормализуемая подгруппой 6и содержится в Х или содержит 6,. Докажем сначала, что 6 = 6~Т. Группа 6,Т содержит В и поэтому совпадает со своим нормализатором (теорема 4).

Так как У нормализует 6, и Т, то она нормализует 6,Т, откуда У~6,Т. Поскольку 6 порождается В и У, имеет место равенство 6 = 6,Т. % а системы титсл зт Положим теперь а' = а, и, В' = В П а', А/' = А/ () а', Т'= Т(1 6'=В'ПА/' и ЧГ=Н'/Т'. Так как 6' содержит аи то 6=6'Т и поэтому Н=/У'Т. Таким образом, вложение /1/' в А/ определяет посредством факторизации изоморфизм а: Ж'- Ю'.

Пусть 5'=и-'(5). Покажем, что (6', В', У', 5') является систе,кой Титси. Так как 6 = ВНВ и В = ТУ = У Т, то 6 = УМУ, а поскольку У вЂ” подгруппа в 6', приходим к заключению, что 6'= У/У'У, Это дает (Т1), поскольку У ~ В'. Аксиома (Т2) выполнена ввиду того, что а — изоморфнзм. Пусть ю ен Я7 и и'=а '(ю)— соответствующий элемент в )(7'. Тогда ВюВ= ВюВ'=Вю'В', поскольку В= В'Т.

Отсюда мы заключаем, что 6'() ВюВ= В'ю'В'. Другими словами, вложение 6' в 6 определяет посредством факторизации биективное отображение В'(6'/В' на В(6/В. Это сразу дает аксиому (ТЗ). Аксиома (Т4) следует из равенства В= В'Т. Подгруппа Н нормальна в 6'. Лемма 2, примененная к (6', В', А/', 3'), утверждает существование подмножества Х' с: 5', такого, что В'Н = ах, причем каждый элемент в 5' — Х' коммутирует с каждым элементом в Х'.

Условие (4) оставляет только две возможности: а) Х' = Я, т. е. В'Н = В' и Нс В'с В. Если и ен 6, то Я=ИА где а, енаи /~ Т и Нс=и,Ви-,', ибо 6, нормализует Н. Поэтому НсдВи '. Так как Х есть пересечение иВд ', то Н~Х. б) Х'=5', т. е. В'Н=а'. В силу равенства 6=6'Т имеем 6 = В'НТ = НВ'Т = НВ. Так как В нормализует У, то всякая группа, сопряженная с У, имеет вид пай ', где йен Н.

Такие подгруппы содержатся в группе УН, откуда (по определению 6,) 6, с: УН. Получаем изоморфизмы у/(у и и) = ун/н = а, н/и = 6,/(а, () и). По условию (3) 6,/(6, П Н) совпадает со своим коммутантом, Условие (2) показывает тогда, что группа У/(УПН), изоморфная а,/(6, () Н), состоит только из единичного элемента. Следовательно, 6,() Н=аи т. е.