Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 8

Каждая вершина соединена не более чем с двумя другими. Для 1< !' кусок пути (хп ..., х>) является путем, связывающим х, с хр Значит, Г связен. Наконец, пусть (хр, ..., х ) — цикл. Пусть рь — наименьшее среди различных целых чисел р„...> р„. Дол>хны существо- з дополнение. ГРАФЫ 43 вать различные 1 и / такие, что вершина ха будет соединена с хгч и с х . Это следует из определения цикла. Так как р„<р, и рь< рп то обязательно р,=р~ — — рь+1, что противоречит тому, что все ро ..., р„различны.

Значит, в Г нет циклов. Обратно, пусть à — дерево без точек ветвления с ненулевым конечным числом вершин. Пусть (хм ..., х ) — инъективный путь максимальной длины в Г и Т вЂ” множество вершин, отличных от хо,, х„. Вершина Ь ен Т не может быть соединена ни с какой вершиной Уь Действительно, имеются три возможности: а) 1=0, но тогда (Ь, х,, ..., х ) был бы инъективным путем длины и+1 в Г; Ь) 1=т, но тогда (хм ..., х, Ь) был бы инъективным путем длины т+! в Г; с) 0<1< гп, но тогда вершина х~ была бы соединена с тремя вершинами х,, хгы и Ь.

Так как Г связен, то Т пусто в силу следствия 1 предложения 1. Далее, если бы существовали 1 и 1 такие, что 1 — 1) 1 и х~ и х~ соединены, то пУть (хо х~~п ..., х;) был бы циклом в Г. Следовательно, à — цепь. Ч. Т. Д. УПРАЖНЕНИЯ !) а) Пусть (йг, о) — система Кокстера и зо ..., зг — элементы множества 3. Положим ю =з ... з. Показать, что если ! (ю)<г, то су! ''' ществуют два таких целых числа р и д, 1 ««рСу «~г, что ю = = з~ ° ° - з~ ~ар+~ - .. зч-1аз+, ...

з,. Показать, что существует строго возрастающая последовательность чисел ! (1), ..., ! (а), заключенная между 1 и г, и такая, что (з!!!1, ..., з! !а)) является приведенным разложением элемента ю. б) Пусть (Ф', 3) — система Кокстера и Х, У, Х вЂ” три подмножества в о. Показать, что йг а(йг„.й )=(йг айг )-(йгхпйг ) (показать, что любой элемент ю сз йг„.

йг допускает приведенное разложение (зп '" за' !и "" )а) где з щ У, 1. гни, н воспользоваться следствием ! предложения 7, и'8). ! Показать, что й х ' ()Уг" )Ух) (йгх ' йгу) !) (йгх ' йгх). 2) Пусть (йт, 3) — система Кокстера и Х вЂ” подмножество в 5, Показать, что для того чтобы подгруппа йт была нормальной в йу, необходимо и достаточно, чтобы любой элемент множества Х коммутировал с любым элементом множества о — Х. 3) Пусть (йг, 3) — система Кокстера и Х, У вЂ” два подмножества в Я. Пусть а~йу. Показать, что существует, и притом единственный, элемент ю гн )У айг„ минимальной длины и такой, что всякий элемент м и йгхпйгу записывается в виде м'=кюу, где лщйгх, угп йт, и !(и) =1(х)+ +!(ю)+!(у) (выбрать в уухайу элемент минимальной длины и воспользоваться упражнением !). Элемент ю ы В' называется (Х, У).приведенным, если он является элементом мянимальиой длины в двойном смежном классе В' ю1Г .

Показать, что если элемент м (Х, О)-привезен, то !(хю)=!(л)+!(ю) для всех хщ В'х, и что любой элемент из йг однозначно записывается в виде км, где лщ йгх, а ю есть (х, (с1)-приведенный элемент. Показать, что элемент ю гм йг является (Х, Я)-приведенным в том и только том случае, когда !(лм) > !(ю) для всех лги Х (записать м в виде ую', где у гй йтх и ю' является (Х, Я)-приведенным). Показать, что для (Х, У)-приведенности элемента ю щ йт необходимо и достаточно, чтобы и был одновреиенно и (Х, (3)-приведенным, н (О, У)-приведенным.

УПРАЖНЕНИЯ 45 4) Пусть л — целое число >2. Обозначим через зм 1~(!<и — 1, транспозицию ! и ! + ! в последовательности (1, 2, ..., л) и через Н! множество ю оц ййэ, для которых ю-! (!)<ю-' (1+ 1). Пусть 5=(з,..., зо — Д. Показать, что (Ьо, 5) — система Кокстера и что Н! совпадает с множеством элементов ю нн бю для которых ! (со) <1(з,.ю) (использовать предложение 6 из и'7).

1( 5) Пусть Х вЂ” непустое множество и йу — некоторое множество перестановок на Х. Пусть заданы множество У отношений эквивалентности в Х, элемент хооыХ и отображение йх Но-ьз множества У в 1Г. Обозначим через У, множество тех Н ~ У, дзя которых з (х„) =— = х шоб Н' при всех Н' Ф Н из У, и через 5„множество всех з с Н, принадпежащими У,, Предположим, что выполнены следу~вшие услония: (1) Для любого Н он У существуют двэ класса эквивалентности по модулю Н, которые переставляются элементом з,ч н з,ч = 1. з (й) Для любого Н я У и любого ю я йг отношение эквивалентности ю(Н), получающееся из Н при перестановке ю, принадлежит множеству У н з„,1ц) = юаню — ! (ш) Для любого ю Ф 1 из йу множество Н ы У таких, что ю (хо) ~ чэ хо глоб Н, конечно и пересекается с Уо.

з] Доказать, что (Ф', 5о) является системой Кокстера (использовать предложение 6 из и'7). б) Доказать, чта длина !з (ю) равна числу элементов Н ~ У, для которых ю (хо) Ж хо шоб Н. в) 1!усть Š— конечное множества н Х вЂ” множество отношений совершеннзга порядка на Е. Обозначим через йт группу перестановок множества Е, очевидным образом действующую на Х. Пусть ! и 1 — различные элементы из Е. Назовем два элемента Е и Н' множества Х эквива. лентными по модулю Но), если имеют место одновременно либо Н(1, !) и Н'(1, !), либо )((6 о) и )7'(!5 !), Обозначим через зо! транснозицию о и !.

Пусть У вЂ” множество отношений эквивалентности вида НН и йо— отображение множества У в 67 па формуле ф(Нг!) = зг!. Наконец, пусть хо — какой-нибудь элемент множества Х. Показать, что эти данные угювлетворяют предположениям (1) — (!й), и заново получить результаты УпРажнения 4. 6) Пусть Š— множество из шести элементов и Р— множество структур проективнай прямой в множестве Е относительно поля Го. Обозначим через ю группу перестановок множества Е. Для любого л элемента а оц ю обозначим через 6 перестановку на Р, полученную из о посредством перенесения структуры. Показать, что существует биекция и мноокества Е на Р и что отображение а~-ь и-'йи является внешним автоморфизмам группы З (если з — транспозиция, то и-'зи имеет три Е орбиты по два элемента).

l 7) Построить группу Чт с двумя подмножествами 5 в 5о такими, что (йт, 5) н (Чг, 5') являются изоморфными системамн Кокстера, но йт не обладает внутренним автоморфнзмом, переводящим 5 в 5' (использовать упражнения 4 и 6). 8) Построить группу %7 и два подмножества 5 и 5' в йт такие что (йт, 5) и (Ф', 5') будут неязоморфными системамн Кокстера, одна из 46 ГЛ. 1Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 4 ! которых неприводима, а другая — нет (взять в качестве Иг диэдральную группу порядка 12, порожденную множеством (з, з'), гле з и з' — элементы порядка 2 и з чь з', и положить 5=(з, з'), а 5'=(зь")з, з', з'(зз')з)).

9) Пусть (Иг, 5) — система Кокстера с матрнцей (т (з, з')] и Их~в подгруппа в И', состоящая нз элементов четной длины. Пусть зо ш 5. Положим из = ззо. Показать, что семейство (и,), з 1 )чи соотношения — И~ дз 1з' ' = 1 для т (з, зо) Ф оо и (дздз,~) ~~' ~ч ! для зз'ш5 — (з ) и т (з, з') Ф оо образуют задание (нли копредставленне) группы (Пусть Н вЂ” группа, заданная описанной выше системой образующих и + опрелеля|ощих соотношений. Показать, что существует автаморфизм а группы Н с квадратом, равным 1, который переводит и в И ' для всех з гм 5 — (зо).

Определить взаимно обратные гомоморфизмы Йо -е Иг и И'->Но, где Но — полупрямое произведение групп (1, — 1) и Н атно+ сительно а. Показать, что если элементы множества 5 сопрнжеиы (см. предложение 3), то Иг явлиется коммдгиигом группы %' (заметить, что в этом случае элементы в будут коммутаторами). 19) Пусть 2(п — знакопеременная группа степени и, состоящая из перестановок ш гм Яо с сягнатурой 1. Показать, что 2(о — коммутаит группы сап (использовать упражнения 4 и 9). Для любого целого й 1~1(п — 2, положим и!=э,з, (в обозначениях упражнении 4).

Показать, что семейство (и!) и соотношения и! = 1, и; = 1 для 1 з 2, 3 2 (игиг,)з 1 для 1(~1(п — 3 н и и =и.и для 3~(1+2~(1(~п — 2 образуют задание группы Яп (использовать упражнение 9). *11) Пусть (Иг, 5) — система Кокстера. Пусть à — граф с множествоч вершин 5; две вершины з н з' связаны ребром тогда и только тогда, когда т (з, з') Ф оо.

Пусть 5о — связные компоненты графа Г Похавать, что Иг можно отождествить со свободным произведением групп Тг' . В частности, любой элемент ш ш Иг олиозначно записывается П в виде произведении щ ... ью ю чь 1, где ш еи И' и а ~ а А зо! для 1: 1~6 — 1. Похавать, что длина элемента ы равна сумме длин элементов гвг. ч 12) Пусть (Иг, 5) — система Кокстера с четными т (з. з') для з чь з', н пусть Х вЂ” подмножество в 5.

Показать, что существует, причем только один, гамоморфизм ( группы (Р' на Иг такой, что 1 (з)=з для з шХ Х и ( (з) = 1 для з ш 5 — Х. Вывести отсюда, что Иг есть полупрямое Х произведение группы Иг и ядра гомоморфизма (х. Показать, что если Х с У с 5, то существует единствегиый гомоморфизм ) у группы Иг, па И', для которого ) =1 у (у, н что Иг отождествляется с нод- Х' Х Х У группой проективной системы, составленной из Иг , когда Х пробегает фильтрующееся множество конечных подмножеств в 5.