Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 5

Пусть 6 — группа, В и М вЂ” ее подгруппы и 5 — подмножество в й(/(В П й(). Системой Ти тса называется четверка (6, В, Л(, 5), удовлетворяющая следующим аксиомам: (Т!) Множество В() й( порождает 6 и В Д й( является нормальной подгруппой группы й(. числа. Это последнее условие эквивалентно следуюшему: 0 порождается объединением 0 н 0Г80 =(Ц лля всех (чи1 и любого конечного полмножества l ~ д такого, что (те у.

з 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 27 (Т2) Множество 5 порождает группу Чт = У/(В () У) и состоит из элементов порядка 2. (ТЗ) зВгв с ВгвВ() ВзвВ для з еи 5 и ге еи Ю''). (Т4) зВз сс В для любого ге= 5. Группу вг = лг/(В /)йг) иногда называют группой Вейля системы Титса (6, В, ЛГ, В). Замечания. 1) В и'б (следствие теоремы 3) будет показано, что при заданных (6, В, У) супествует не более одного подмножества 5 в (У/(В П У), для которого четверка (6, В, У, 5) образует систему Титса.

2) Пусть (6, В, У, 5) — система Титса и 2 — нормальная подгруппа группы О, содержащаяся в В. Пусть 6'=6/Я, В'=В/Х, У'=У/(ЯДУ), и пусть 5' — образ 5 в У'/(В'П У'). Тогда легко видеть, что (О', В', Л", 5') будет системой Титса. Далее всюду в этом параграг/зе четверка (О, В, У, 5) обозначает систему Ти тса. Положим, кроме того, Т = В П У и (Р'=У/Т. Под двойным классом мы будем подразумевать двойной смежный класс группы 6 по подгруппе В. Для каждого гв е= ЯУ положим С(ш)= ВгвВ. Это двойной класс. Выведем несколько элементарных следствий из аксиом (Т1) — (Т4). Пусть ю, ш', ...

— элементы из ЯУ и з, з', ... — элементы из 5. Очевидны соотношения С(1) =В, С(гоге') с:С(гв).С(ге'), С(ш ') =С(ге) '. (1) Аксиома (ТЗ) записывается также в виде С(з).С(тв) с: С(ге) ЦС(зш). (2) Из(1) следует, что С (зге) с: С(з) . С(гв). Кроме того, С (з) . С (гв)— объединение двойных классов. Поэтому имеются только две возможности: С (зв), если С(гв)фС(з).С(гв), С(з).С(гв) = С(гв) () С(згв), если С(гв) с: С(з). С(гв). (3) В силу аксиомы (Т4) ВФС(з).С(з). Подставляя ге =э в (3) и используя соотношение з'=1, получаем С (з) .

С (з) = В () С (з). (4) ) Каждый элемент группы ят есть смежный класс по подгруппе В П Л/ т.е, подмножество группы 6. Это придает смысл произведениям вида ВгеВ. Вообще дзя каждого подмножества А группы йт обозначим через ВАВ подмножество Ц ВмВ. мыл ев ГЛ. 1У ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 3 Эта формула показывает, что В() С(з) — подгруппа в 6.

Умножая оба члена в (4) справа на С(в) и используя формулу (3) и соотношение В. С(в) = С(в), получаем С(я). С(з). С(в) = С(в) () С(зв), (5) Заменяя все множества, входящие в соотношения (2), (3) и (5), на обратные, а затем в на в-', мы получим формулы С(в).

С(з) ~ С(в) Ц С(вз); (2') ~ С(вз), если С(в)<~С(в).С(я), С (в) . С (я) =- (3') ( С(в)()С(вя), если С(в)с:С(в).С(я). С (в), С (я) . С (з) = С (в) () С (вя). (5') Лемма 1. Пусть зп ..., я ~ 5 и в —.. )у'. Тогда С(я, ... зр).С(в)с: Ц С(яц ... яр в), (' "рр) где (1„..., гр) пробегает множество строго возрастающих последовательностей целых чисел из интервала (1, д). Случай а=О тривиален, и мы проведем индукцию по а. Если д) 1, то С(я, ... я ).С(в) ~С(з,).С(зт ... я„).С(в). По предположению индукпии С(я, ... яр). С(в) содержится в объединении классов С(яб ... я~ в), где 2 (11 « !р (у Согласно (ТЗ), множество С(я,).С(я~ ... з~ в) содержится в объединении С(Я,ЯП ...

Я~ в) и С(зт ... Ят в). Отсюда следует утверждение леммы. 2. Пример Пусть й — поле, и — целое число )О и (е;) — канонический базис в )г". Пусть 6 = 61.(п, й),  — верхняя треугольная подгруппа в 6 (состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали), и пусть Ф вЂ” подгруппа в 6, состояшая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке только один элемент отличен от О.

Элементы группы Ж переставляют прямые Фео поэтому существует сюръективный гомоморфнзм А'- С„, ядром которого служит подгруппа Т = В Д а' диагональных матриц. Тем самым мы можем отождествить )(7 =И(Т иб„. Обозначим через з~ (1(1д(п — 1) элемент из (р', соответствующий транспозиции 1 и 1+ 1. % Ь систвмы титек Пусть 5 — множество всех зр Тогда четверка (6, В, М, 3) будет системой Титса. Действительно, справедливость аксиом (Т[) и (Т4) достаточно очевидна. Аксиома (Т2) доказана в Алг„ гл.

!, упр. к $ 7. Остается проверить, что имеет место (ТЗ), т. е. что з;Вв с:ВгеВ[) Вз,тыВ, !<!<и — 1, шее [Р', или, что то же самое, что з!В ~ ВВ' [) Вз~ В', где В' = го В и Пусть 61 — подгруппа в 6, оставляющая неподвижными все еь 1~1, !+ 1, и оставляющая устойчивой плоскость, натянутую на е~ и е~„и Эта группа изоморфна 6Ь(2, й). Ясно, что 6;В =В6р Так как з; ~ 6п то з;В с: В6п и достаточно доказать формулу 6! с — (В П 6!)(В П 6!) [)(В П 6~) з! (В П 6!).

Отождествим 6! с 6Ь(2, и). Тогда группа ВП 6! отождествится с верхней треугольной подгруппой Вз группы ОЬ (2, [з). Группа В'Я 6~ отождествляется с Вм когда и(!) ( ю(1+ 1), а в других случаях — с нижней треугольной подгруппой Вз (матриц с нулями выше диагонали). В первом случае формула, которую надо доказать, принимает внд /О 6Ь(2, к)=Вз()В,зВ„где з=( о)' Она следует, например, из того, что Вз — стационарная подгруппа точки при действии 6Ь(2, [е) на проективной прямой Р,(н), транзитивная на дополнении к этой точке. Во втором случае подлежащая доказательству формула 6~ (2 й)=ВзВт 0ВззВз получается из предыдущей формулы умножением справа на з, поскольку Вз = зВзз.

3. Разложение 0 на двойные классы ТеОРемА 1. Имеет место равенство 6 = В[мВ. Соответствие ю С(и) нвллетсл биективным отображением Ю' на множество В[6/В двойных классов 6 ио В. Ясно, что В[Р'В устойчиво относительно операции х ~х — ', а лемма 1 показывает, что оно устойчиво и относительно 30 ГЛ. ПЛ ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА произведении. Так как В!Р'В содержит В и У, то оио совпадает с Сс Нам остается проверить, что С(в) Ф С(в'), если и Ф в' для этого мы докажем индукцией по а следующее утвержд иие: (А ) Пусть даны два различных элемента в и |о' из (Р', причем 1э(и) )1э(в ) =|7. Тогда С(в) Ф С(в') (определеиие 1э(в) см.

в э 1, п'1). Это утверждение очевидно при ||=О, поскольку в этом случае в'=! и вФ1, откуда С(в')=В и С(и) Ф В. Пусть теперь д) 1, а в и н|' удовлетворяют предположениям (А ). Существует элемент эеи5, такой, что вв' имеет длину |7 — 1. Тогда 1 (в) ) 1э(5и'), (6) поэтому в т-зв'. Далее, эи ~ эи', и по формуле (3) из а 1, п' 1, имеем 1э(зто) ~ 1э (в) — 1 ) 1в (вв') = |7 — 1. (7) По предположению индукции С(зв') отличен от С(и) и С(зв). Из формулы (2) получаем С(эи') Д С(з).С(в) = Я. Но так как, кроме того, С(э|о') с: С(э). С(|о'), то окончательно С(в) Ф С(в').

Замечание. Аксиома (Т4) в предыдущем доказательстве не использовалась. 4. Связь с системами Кокстера Теогемл 2. Пара (Ф', 5) является системой Кокстера. Далее, для зя5 и ие йт соотношения С(вв)=С(э).С(в) и 1э(эв) ) 1э(|о) эквивалентны. Для каждого э ен 5 пусть Р, — множество элементов в ен Ф', таких, что С(э) . С(в) = С(эв). Мы сейчас проверим, что множества Р, удовлетворяютусловиям (А'), (Б') и (В) из ф 1, п'7.

Оба утверждения теоремы будут следовать тогда из предложения 6 $1, и'7. Условие (А'), очевидно, выполнено. Проверим (Б'). Если бы Р, и УР, обладали общим элементом и, то и я Р, и вв еи Р„откуда С(э). С(в) = С(з|о), С(з) . С(зи) = С(в). 4 ьд. СИСТЕМЫ ТИТСА З1 Следовательно, С(з).С(з).С(в)=С(в), и из формулы (5) вытекало бы С(в)=С(зв), что противоречит теореме 1. Проверим условие (В).

Пусть з, з' ~ Я и в, в' ~ У, причем в'= вз'. По предположению в ен Р„а в'Ф Р„откуда С(зв) = С(з). С(в)„ (9) и ввиду (3) С(в') с: С(з).С(в'). (10) Из формулы (9) и соотношения в =в'з' получаем С (з) в'з'В = С (зв). (1 1) По формуле (2') С(в') С(з ) с= С(в') () С(в'з'), откуда сразу следует С (в') з'В ~ С (вз') () С (в). (12) Так как С(в') — объединение левых смежных классов иВ и так как С (з) С (в') = С (з) в'В, то формула (10) показывает, что С(з) в' пересекается с С(в') и тем более С(з) в'з'В пересекается с С(в')з'В. Из формул (11) и (12) тогда следует, что двойной класс С(зв) совпадает либо с С(вз'), либо с С(в). Поскольку зв Ф в, теорема 1 позволяет сделать заключение, что зв =вз'.

Следствии 1. Пусть в„..., в е=((т и в=в, ... вт. Если 1з(в)=1з(в,)+ ... + 1з(в ), то С(в)=С(в,) ... С(в,). Рассматривая приведенные разложения элементов вн мы сводим все к случаю приведенного разложения в=э, ... з, с э~с=5. Если и =з, ... з„то в =зи и 1з(з,и) ) 1з(и). Отсюда и из теоремы 2 следует, что С(в) =С(з,).С(и). Требуемая формула получается теперь индукцией по г. Следствии 2. Пусть в е— : 'Чт, и пусть Т вЂ” подмножество в Ф', ассоциированное с в описанным в лемме 2 из $1, и'4, способом. Если т~ Т, то С(() ~С(в).С(в '). Если 1ен Т, то по определению сушествуют элементы в', в" я У и з ен В, для которых в=в'зв", (з(в)=1з(в')+1з(в")+1, 1=в'зв' '.

32 ГЛ. ГК ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТПТСА Ввиду следствия 1 С(ю) С(ю ')=С(ю') С(з).С(ю").С(ж" ').С(з).С(ю -'). Отсюда С(и») ° С(и! !) » С(ю ). С($) . С (3), С(ю !). В соответствии с формулой (4) С(з) ~С(з).С(з), так что С(ю). С(п» '):з С(а»'). С(з). С(и»' ') ~ С(1). Следствие 3. Пусть и» ~ йт, и пусть ̈́— подгруппа в 6, порожденная множеством С(ю).С(в '). Тогда а) для каждого приведенного разложения (з„..., з„) злемента ю имеем С(з1)с:Н, 1 1' а; б) группа Н содержит класс С(и») и порождается им. Доказываем а) индукцией по 1.

Пусть С(з„) содержится в Н для й <!. Положим 1 = (з, ... з! ,) з; (з, ... з! ,) Элемент 1 принадлежит подмножеству Т„с: )у', определенному в лемме 2, $ 1, и'4. Следствие 2 дает С(1) с: Н„, откуда С(з!) с: Н . Согласно следствию 1, С(ю)=С(з,) ... С(з„), позтому С(ю) с: Н,„, откуда вытекает б). При.нгр. Теорема 2, примененная к системе Тнтса из и'2, показывает, что симметрическая группа Ь„с описанным там множеством образующих (транспозицнн рядом стоящих символов) является группой Кокстера.

Б. Подгруппы группы 6, содержащие В Для любого подмножества Х с:5 обозначим через (у . подгруппу в Я2, порожденную Х (ср. $ 1, и'8), и через Ох объединение ВФАВ двойных классов С(и1), тв ~ Ф'». По определению 6е! =В и 6з= 6. Теояемь 3. а) Для любого подмножества Хс:5 множество 6х есть подгруппа в 6, порожденная О С(з). »ых б) Отображение Х» — у О„является биекпией Ч»(5) на множество подгрупп в 6, содержащих В. в) Пусть (Х1)! — семеиство подмножеств в 5. Если Х=ПХ! Го П Ох,=6х. 1~1 1е1 а аа СИСТЕМЫ ТИТСА зз г) Пусть Х и У вЂ” два подмножества в 5.