Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики)

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ СИСТЕМЫ КОРНЕИ ПЕРВВОД С ФРАНЦУЗСКОГО А. И. КОСТРИКИНА в А. Н. ТЮРИНА ПОД ГВДАКЦИВЛ А. И. КОСТРИКИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" МОСКВА !992 УДК 512, 'б!9.46 Книга входит в завоевавшую мировое признание энциклопедию современной математики „Элементы математики",созданную группой французских ученых, выступающих нод коллективным псевдонимом Н.

Бурбаки. Ряд томов втой энциклопедии уже вышел в русском переводе и получил заслуженно высокую опенку читателей. Эта книга посвящена преимущественно группам, порожденным отражениями. Она содержит обширный материал по теории групп Ли, их дискретных подгрупп, алгебраических н конечных групп, алгебр Ли, теории представлений. Книга предназначена для самого широкого круга математиков различных специальностей, от студентов до научных работников. Редакция литературы ло математическим наукам 2-2-3 5-72 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Новая книга Н.

Бурбаки „Группы и алгебры Ли", относящаяся ко второй части его известного трактата „Элементы математики", выходит в свет разрозненными выпусками. В !960 г. была издана (а десять лет спустя переиздана) глава 1 „Алгебры Лн", в которой изложены основы теории, не касающиеся вопросов классификации простых алгебр Ли; в русском переводе эта глава еще не появлялась. Главы Н и 111 пока не опубликованы.

При этих обстоятельствах перевод на русский язык изолированных глав 1У вЂ” У! мог бы показаться несколько преждевременным. Все сомнения, однако, рассеиваются при самом беглом ознакомлении с содержанием настоящего выпуска„ к которому вполне подошло бы общее название „Дискретные группы, пороигденные отражениями". В мировой математической литературе до снх пор не было связного и столь исчерпывающего изложения этой увлекательной темы, представляющей значительный интерес для весьма широкого круга математиков, да и не только математиков. Авторское введение и поучительный (хотя и неполный) исторический очерк помогут даже неспециалисту воссоздать тот естественный фон, на котором проходило становление и совершенствование теории кристаллографических групп, систем корней, групп Бейля, групп Кокстера, систем Титса (ВЛГ-пар). Насыщенная конкретными результатами, в том числесправочного характера, книга рассчитана на достаточно квалифицированного читателя. Но она целиком базируется на материале ранее изданных (и имеющихся в русском переводе) книг „Элементов математики".

Во всяком случае, щепетильность автора в соблюдении схемы логической зависимости отдельных книг и глав трактата нашла здесь свое дополнительное подтверждение. А. Кострикин ВВЕДЕНИЕ Изучение полупростых групп (аналитических или алгебраических) и их алгебр Ли приводит к рассмотрению структур систем корней, груни Кокстера и систем Титса. Настоящие главы Гьт, Ъ' и и'1 как раз и посвящены этим структурам.

Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем несколько примеров. 1. Пусть й — комплексная полупростая алгебра Ли и () — ее подалгебра Картана '). Корнем алгебры и относительно $ называется ненулевая линейная форма а на такая, что выполнено соотношение 1Ь, х]=а(Ь)х для некоторого элемента х алгебры и, отличного от нуля, и для любого Ь е= 5. Корни образуют и векторном пространстве 5', дуальном к 1), приведенную систему корней )т. Задание )с определяет алгебру,) с точностью до изоморфизма, и всякая приведенная система корней изоморфна системе корней, полученной описанным способом. Автоморфизм алгебры й, оставляющий устойчивой подалгебру (1, определяет автоморфизм на ))', оставляющий инвариантной систему Я, и таким образом получается каждый автоморфизм этой системы.

Группа Бейля системы Гс состоит из автоморфизмов пространства й", которые определены внутренними автоморфизмами алгебры а, оставляющими устойчивой подалгебру (). Эта группа является группой Кокстера. Пусть 6 — связная комплексная группа Ли с алгеброй Ли й, и пусть à — подгруппа в й, состоящая из таких элементов Ь, что ехро(2н1Ь) =1. Пусть 11~ — система корней в (), дуальная к тс', ьг(тт' ) — подгруппа в 1), порожденная системой и пусть Р(Гс ) — подгруппа, которая ассоциирована с подгруппой ~()т) в ()', порожденной Я (т. е. множество Ь ен 1) таких, что А(Ь) — целое число для каждого ЬенЯ(Я)). Тогда Р(Гт ):з Г ~ Я()т ). Далее, центр группы 6 канонически ') В этом Введении мы будем свободно пользоваться наи трвдинионной терминологией, тик и понятиями, определения которых появятся только в настоящем выпусие.

Введение изоморфен Р(й 1~Г, а ее фундаментальная группа изоморфна ГЯ()1~). В частности, Г совпадает с Р(м~), если 6 — присоединенная группа, н Г равна Я(Я~), если 6 односвязна. Наконец, веса конечномерных линейных представлений группы 6 суть элементы подгруппы ~', ассоциированной с Г. !1. Пусть 0 — вещественная связная компактная полу- простая группа Ли и й — ее алгебра Ли. Пусть Т вЂ” максимальный тор в 6 с алгеброй Ли 1 и Х вЂ” его группа характеров. Пусть, далее, 11 — множество ненулевых элементов а группы Х таких, что (Л41).х=а(Г)х для какого-нибудь отличного от нуля элемента х алгебры й и любого 1~ Т. Отождествим Х с решеткой в вещественном векторном пространстве Р=Х9х К.

Тогда )г будет приведенной системой корней в 1~. Пусть Ф вЂ” нормализатор тора Т в О. Действие Ф на Т определяет изоморфизм группы Н1Т с группой Вейля системы Я. Имеем Р(Р):» Х:»Я(г(), причем Х=РЯ), когда 6 односвязна, и Х= О(Р), когда центр О сводится к единичному элементу. Комплексификация алгебры й есть полупростая алгебра Ли й,с, и 1,с, — ее подалгебра Картана. Существует канонический изоморфизм пространства )/~с~ на пространство, дуальное к 1,с, который переводит Я в систему корней алгебры 1<с, относительно 1<сг П!. Пусть 0 †связн полупростая алгебраическая группа над коммутативным полем л. Пусть Т вЂ” максимальный элемент множества торов в О, разложимых над й, и Х вЂ” группа характеров Т (гомоморфизмов Т в мультипликативную группу). Отождествим Х с решеткой в вещественном векторном пространстве г' = Х ®х 11. Корнями группы 6 относительно Т являются ненулевые элементы а группы Х, для каждого из которых существует отличный от нуля элемент х алгебры Лн й группы 0 такой, что (А41).х=а(1)х, какова бы ни была точка г из Т.

Таким образом мы получаем систему корней )г в У, которая, однако, не обязана быть приведенной. Пусть )т' — нормализатор н 2 — централизатор тора Т в 6, и пусть У(к) и Е(к) — их группы рациональных точек над я. Действие У(л) на Т определяет изоморфизм группы Ж(й)/Л(й) на группу Вейля системы )г. Пусть 0 — максимальный элемент множества уннпотентных подгрупп в О, определенных над Й и нормализуемых Е. Положи м, Р = 2.

О. Имеем Р (л)=У (Й) . У (я) и Р (я) () Ф (Ф) = = Е(Й). Далее, существует базис (а,, ..., а„) системы Р такой, что весами тора Т в У будут положительные для этого базиса корни системы Я. Пусть  — множество элементов введение группы У(й)/Е(н), которые соответствуют при определенном выше изоморфизме симметриям э„е= 1Р'()с), ассоциированным с корнями а;. Тогда четверка (6(й), Р(й), У(й), 5) есть система Титса, И. В теории алгебраических полупростых групп над локальным полем встречаются системы Титов, у которых группа ((7 есть аффинная группа Вейля системы корней.

Пусть, например 6 = Я.(п+ 1, йр) (и р1). Пусть  — группа матриц (ац) ен Я. (п + 1, Хр), у которых ац ен рХр для 1 < 1, и У— подгруппа 6, состоягцая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке не более одного отличного от нуля элемента. Тогда существует такое подмножество В группы У/(ВПУ), что четверка (6, В, У, В) будет системой Титса. Группа ИГ=У1(ВПУ) есть аффинная группа Вейля системы корней типа А„. Это — бесконечная группа Кокстера.

При написании этих трех глав неоценимрю помощь оказали нам многочисленные беседы с Щ. Титсом. Мы дружески его благодарим. ГЛАВА!Ч ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 5 1. Группы Кокстера Всюду в этом параграфе через Гт' обозначается группа, записываемая мультипликативно, с единичным элементом 1, и через Я вЂ” подмножество образуюшнх группы (Г>, такое, что Я=-Я ~ и !ФЯ. Каждый элемент в Ф' есть произведение конечяого числа элементов из 5. Начиная с п'3, предполагается, что каждый элемент множества Я имеет порядок 2 (4) (5) 1.

Длина и приведенные разложения Опввдвлнник 1. Пусть в ен Ят.' Наименьшее целое число у~~О, такое, что и есть произведение д элементов из Я, называется длиной элемента и (относительно множества образующих Я) и обозначается через 1,(в) или просто 1(в). Приведенным разложением элемента и (относительно Я) называется всякая последовательность в =(зо ..., з ) элементов из Я, для которой и = з, ... зч и д = 1(в). Таким образом, 1 — единственный элемент длины О, а Я состоит из элементов длины 1. Пвадложвнив 1. Для любых двух элементов в и и' из й>' имеют место соотношения 1(ви') (~1(и) +1(в'), 1(в ') =1(в), !1( ) — 1( )!(1(' ') Пусть (з1 ° . з„) и (з1 ° ° з„) — приведенные разло>кения и и и' соответственно. Тогда 1(в)=р, 1(в')=-в, и поскольку вв'=з, ...

з з,' ... з',, то 1(ви')(р+ д, что дает неравенство (1). Так как Я=Я и и 1=з„> ... з11 то 1(в ') ~Кр=1(в). Заменяя и на в ', получаем обратное неравенство, откуда следует (2). Заменяя в на вв' в (1) и (2), получаем соотношения 1(в) — 1(и') (1(ив' ), 1(вв' ) =1(и'в ); 5 !. ГРуппы кокстеРА г! меняя местами и и ю' в (4) и применяя (5), получаем 1(ш')— — 1(иг)(~1(гев' ).

Отсюда вытекает неравенство (3). Сл едет в ие. Пусть в=(зп ..., з ) и в'=(эи ..., з')— две последовательности элементов иэ Ь', иг = з! ... эр н аг' = = э', ... з'. Если последовательность (з,, ..., з, з',, ..., з') является приведенным разложением элелгента шаг', то з будет приведенным разложением и и в' — приведенным разложением иг'. По предположению 1(иг) р, 1(иг)(д н 1(игаг')=р+у, поэтому в силу (1) 1(иг) = р и 1(иг')=д, откуда и вытекает утверждение следствия. Залечание. Формула гг(ж, иг') =1(игю' ') определяет расстояние д на В'. Соотнотпення (1) и (2) показывают, что оно инвариантно относительно правых переносов. 2. Диздральные группы Опэеделение 2. Диэдральной группой (или группой диздра) называется всякая группа с двумя различными образующими порядка 2.

/!ример. Пусть М вЂ” мультипликативная группа (1,— Ц и и Гп — целое число )2 (соотв. т=со). Заставим М действовать на Е/пгХ (соотв. Иа Х), полагая ( — 1).х = — х, и обозначим через 1р„ связанное с этим действием полу- прямое произведение М на Х/тХ (соотв. М на 2). Элементами 0 будут пары (е, х), где е= г-1 и хель/ГПЕ (соотв. х~2). Групповой закон в В задается формулой (е, х).

(е', х') = (ее', е'х+ х'). (8) Обозначим через ь класс 1 по модулю т (соотв. г=1) и положим р=( — 1, О), р =( — 1,,), (7) тогда рг= р' =1 н и= рр'. Формулы и =(1 пг), рп" =( — 1, пг) (8) показывают, что )а — группа диэдра, порожденная множеством (р, р'). ПРедлОжение 2. Предположим, что Ь' состоит из двух различных элементов з и з' порядка 2. (1) Подгруппа Р с: )у" с образующей р = эз' нор.иальна в В' и В' является полупрямым произведением подгрупп Т=(1, з) и Р, причем (В': Р) =2.

(й) Пусть т — порядок (конечный или бесконечньгй) элемента р. Тогда т)2 и (у' имеет порядок 2пг. Существует !2 ГЛ. Щ. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА е единственный изоморфизм ф группы )л на )У', такой, что ф(р)=з и ф(р')=з' (1) Имеем зрз ' = ззз'з = з'з = р ', откуда зрлз-1 -л (9) для любого целого числа и. Группа )Р' порождается парой (з, з'), а также парой [з, р), так что Р— нормальная подгруппа в )Р'. Следовательно, ТР— подгруппа в Я7, а так как она содержит з н з'=зр, то )у' = ТР= Р()зР. Поэтому для доказательства (!) достаточно убедиться в том, что )РГ~ Р. Если бы )Р'= Р, то %' была бы коммутативна, откуда рз=з'з' =1. Группа )Р'= Р содержала бы только два элемента ! и р, вопреки предположению, что в )р' имеются по крайней мере три элемента 1, з и з'.