Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 2

(В) Так как з Ф з', то рэь 1, откуда т-э2. Поскольку Р имеет порядок т и ()у':Р)=2, порядок )Р' равен 2т. Если т конечно (соотв. бесконечно), то существует изоморфнзм ф' группы Х/тХ (соотв. 2) на Р, переводящий п в р. Далее существует нзоморфизм ф' группы М =(1, — 1) на Т, переводящий — ! в з. Группа )у' является полупрямым произведением Т и Р. Формула (9) и соотношение рп"р '=п-" позволяют построить нэ ф' и ф" такой изоморфиэм ф группы Р на )Р", что ф(р)=з н ф(п)=р, откуда ф(р')=з'. Един ственность ф следует иэ того, что Гл„ порождается (р, р') Замечание.

Рассмотрим диэдральную группу )У' порядка 2т, порожденную двумя различными элементами з и з' по рядка 2. Обозначим через зч (соотв. з',) последовательность длины д, четными (соотв. нечетными) членами которой являются з', а нечетными (соотв. четными) — з. Пусть м (соотв. ил) — произведение элементов последовательности з (соотв. з'„). Имеем ю А= (зз')", юзь+ =(зз')'з. !с2Й = (з з) = (зз ) ю2А+1 = (з з) з = (зз ) 3. Если з = (з„..., з ) — приведенное разложение (относительно (з, з')) элемента вен )у', то, очевидно, з; эь з,л, для 1(! ~~ ( д — !.

Следовательно, з=з, или з=з',. В случае т= с элементы (зз')" и (зз')" з для а~Х все различны. Следовательно, элементы в,(а э О) и ю~(а ) О) все различны, и если з — приведенное разложение юл(соотв. щ'„), то с необходимостью будет з = з„(соотв, з = з'). Отсюда следует, что 1(щ„) =1(щ') = с и что множество приведенных разложений элементов группы )(7 совпадает с множеством последовательностей з„и з'. Кроме того, каждый элемент из )Р' допускает единственное приведен;ое разложение.

5, Ь ГРУППЫ КОКСТВРА )з Пусть теперь т конечно. Если д)2т, то гвч=гсч т и / ш~ — — гсч з,„. Если гп ~ (г) (2т, 'Го гвд = шзш-'«гв« = Рзю- г. Следовательно, при д) т ни з,, ни з„' не являются приведенными разложениями. Отсюда вытекает, что все 2гп элементов группы )(у содержатся среди элементов гве= гол, щ„ и гс«для 1(д(т — 1 и гв„= гв,'„, Таким образом, этн 2т элементов различны и из вышесказанного следует, что 1(гв«)=1(гс')=д для у«~т и что множество приведенных разложений элементов группы ))У сотгадает с множеством последовательностей вр и вч для б (~д ~ ~т. Каждый элемент группы ))г, отличный от ш, допускает единственное приведенное разложение. Элемент гв допускает два таких разложения.

8. Основные свойства групп Кокстера Напомним, что начиная с этого места мы предполагаем, что все элементы из Я имеют порядок 2. Опиндвлвнив 3. Лара ())т, Б) называется системой Кокстера, если выполнено следующее условие: (К) Для любых двух элементов з и з' из 5 обозначилг через т (з, з') порядок элемента зз'. Пусть Т вЂ” множество пар (з, з'), для которых т (з, з') конечно. Тогда система образуюи!их Я вместе с соотношениями (зз')™ '!=1 для (з, з')ен1 будет заданием группьг ))г образующими и оггредгляющими соотношениями '), В случае когда (Ф', Я) — система Кокстера, то, допуская вольность речи, говорят также, что ()г — группа Коксгера.

Примеры. 1) Пусть т — целое число ) 2 или оо и 'йт — группа, определенная множеством образующих 5=(з, з') и определяюшими соотношениями з'=з' =1, когда т= >, или же з'=з' =(зз') =1, когда т конечно. Далее, рассмотрим группу диэдра 0„(п'2, пример) н элементы р и р' в О, определенные равенством (7). Поскольку р'=р' =1 и (рр') =1, когда т конечно, то существует однозначно ') Это ознзчзет, что вара (Яг, 5) удовлетворяет следующему условию универсальности: каковы бы нн были группа 0 и вложение 1 множества Я в 6, такое, что (1(«), 1(з'))~!~' «!=1 для (з, з) из й найдется гомоморфизм я группы йг в О, продолжающий й Этот гомоморфизм единствен, поскольку 5 порождает йг.

Эквивзлентнзя форма нашего определения ззключзется в следующем. Пусть )«" — группа, ) — гомоморфизм )р' нз йт и Ь вЂ” отобрзжеиие 5 в Ь"', такое, что 1(А(з)) = з, (Ь (з) Ь(з))ш!«' «! = ! для (з, з') из 1 и образы А(з) (для з«во) порождают )«'.

Тогда ииъективное отобрзжеиие (и тем самым изоморфизм В' нз И'). 14 ГЛ. ПЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСЛ 3 определенный гомоморфизм 1 группы (Р' на О, такой, что Г(з)=р и 1(з')=р'. Так как рр' имеет порядок т, то зз' тоже имеет порядок т. Следовательно, (((У, Я) — система Кокстера, ))7 — диэдральная группа порядка 2т и г — нзо- морфизм (предложение 2), Путем перенесения структуры получается, что каждая группа диэдра является группой Кокстера. 2) Пусть 1Би — симметрическая группа стенании и, и ~) 2, а — транспозиция ! и 1+ 1 для 1 (~! ( и, и пусть о' =(зо ..., зи-1).

Можно показать ($2, и'4, пРимеР и э 1, УпР. 4), что (саи, 5) — система Кокстсра, 3) Классификация коночных групп Кокстсра привсдсиа в 9 4 гл. )Г1. Замечание. Пусть (йг, о) — система Кокстсра, Существует гомоморфизм е группы %' в группу (1, — 1), характеризующийся тем, что е(з) = — 1 для всех з ~ 5. Число е (в) называется скгиотрроа элемента еч оно равно ( — !) .

Следовательно, формула е (щщ') ! 1ьл = а (ю) . и (ю) выражается сравнением 1(ггю)~1(щ) +1(щ) щой 2, Предложение 3. Предположим, что (ЯУ, 5) — система Кокстера. Для гого чтобы два элемента з и з' из 5 были сопряжены ') в )к', необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следуюи(ее условие: (1)Сун(ествуег такая конечная последовательность (зп ..., зч) элементов иэ 5, что 3, =з, з„=з' и з;з)ю имеет конечный нечетный порядок для ! (~)' < д.

Пусть з и з' из Я таковы, что порядок р=зз' равен 2п+ 1. В силу равенства (9) имеем зр "=р"з, откуда из -л )зараз р-!з згзз зг (10) и з' сопряжен с з. Для любого з из 5 пусть А,— множество элементов з' ен 5, удовлетворяющих условию (1), Согласно этому условию и только что сделанному замечанию, элементы з) и з!+!, ( <1< д, сопряжены, откуда следует, что все элементы з' из А, сопряжены с з.

Пусть 1' — отображение Я в М=(1, — 1), рзвное 1 на А, и — 1 на Я вЂ” А,. Пусть элементы з' н з" из Я таковы, что з'з" имеет конечный порядок т. В случае когда ь' и з" оба лежат в А, или в 5 — А„имеем 1'(з')1(зм) =1. В противном случае 1'(з')1(зи) = — 1; но т четно, так что во всех случаях (1 (з') !'(зм)) = 1. Поскольку (((г", Я) — система Кокстера, существует гомоморфнзм д группы ))7 в М, инду- ') Напомниьь что два элемента (соотв. два подмножества) группы йу называются сопряженными, сслк существует внутренний автоморфизм ях, переводящий один элемент в другой (соотв. одно подмножество в другое). 5 ч.

ГРуппы кокствРА !5 цируюший 1 на 5. Если я' сопряжен с з, то принадлежность я ядру д влечет принадлежность я' этому же ядру. Значит, Г'(я') =д(я') =1 и тем самым я'ен А,. Ч. Т. Д. 4. Приведенные разложения в группе Констера Пусть (В', 5) — система Кокстера и Т вЂ” множество сопряженных с элементами из $ элементов группы РГ". Для любой конечной последовательности я =(я„..., я ) элементов из 3 обозначим через Ф(з) последовательность (1„..., 1ч) элементов из Т, определенных формулой 1,=(я, ... я,,)я,(я, ... я,,Г', 1()«=у. (11) Тогда 1, =я, и я, ...

я, =1„1, ... Гп Для каждого элемента 1ен Т обозначим через п(я, 1) число индексов 1, таких, что 1~(1(д и гз 1 в Ф(я). Наконец, положим и" =(1 — 1) Х Т. Ламмх 1. (1) Пусть вен((Г" и 1евТ. Функция (я, 1) Р ( — 1)""" имеет одно и то же значение Г1(в, Г) для всех последовательностей з=(яп ..., я ) элементов из Я, таких, что в=я~ ...

я . (11) Для в~ В' пусть У вЂ” отображение Я в себя, определенное формулой У„(е, Г)=(е.т~(в ', 1), в1в ') (е=~ 1, 1е=Т). (12) Отображение в У является гомоморфизмом группы ЯУ в группу перестановок множества й. Для я ~ 5 определим отображение У, множества в себя формулой У,(е, 1)=(е.( — 1) г Г, я1я ') (е= ~1, 1енТ), (13) где 6,, — символ Кронекера. Легко видеть, что У~=!йя, а это показывает, что У, является перестановкой иа ТГ. Пусть я = (я„ ..., я ) — последовательность элементов из 5.

Положим в=я ... я, и У,= У, ... У,. Индукцией Я ! по д мы хотим показать, что У,(е, 1) =(е. ( — 1)" о' ", в1в"'). (14) Это очевидно для д = О, 1. Если д > 1, то положим з =(яы. ° °, яе ~) и ГО =яч 1...ян ьз ГЛ, ЧЧ. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА Используя предположение индукции, получаем (1,(г, 1) = У, (е.