Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 68

Группа 1г" действует в Е таким образом, что щ (е') =е' оо(ы ен %', р е= Р). Элемент г е= Е называется антиинвариантныи, если щ(г)=де1(щ) г при всех в я )р'. Для ген Е положим 1(г) = ~ бе1(щ) щ(г). Пусть С вЂ” какая-то камера. Элементы 1(е«), где Р~Р()С, образук~т базис группы антииивариантных элементов в Е. Если р — полусумма положительных корней, то 1(ех) =е' Ц (1 — е ') = Ц (е"' — е-"") «>« «>О где произведения берутся по множеству корней > О. 36) В обозначениях 35) положим г„=1(е'ее)/1(е«) для р ~ Р. Элементы г для ренРПС образуют базис группы Е"' элементов алгебры Е, инвариантных относительно )т". Если хэо ..., й, — фундаментальные веса системы Я, то элементы га«1(~'(1, алгебраически независимы и порождают кольцо Ев. 37) Пусть С вЂ” камера системы Р, (а„..., а) — соответствующий базис.

Элемент с =з,з, ... з, группы )й называется преобразованием Кокстера системы Я, Класс сопряженности элемента с в )р' не зависит ни от С, ни от нумерации корней аь Порядок И элемента с называется числом Кокстера ззо СВОЛКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ГНСТГМ КОРНЕЙ системы !х. Собственные значения преобразования с имеют тгвм~ вид ехр — „, где целые числа тн тм ..., гп, (называемые покизателями системы Я или группы Ф) таковы, что 1(т~ А-, <глз~ ... тс<Ь 1.

Предположим, что система Я неприводима. Тогда я1=1, т~=Ь вЂ” 1; ~л!+ гп,+, ~ —— Ь (! <1<1); т,+т,+ ... +т,= — !Ь= — СагдЯ). ! ! Любое т~(1, 2, ..., Ь вЂ” Ц, взаимно простое с Ь, равно одному, и только одному, из т!. Целые числа т, + 1, т, + 1, ..., гп, + 1 с точностью до порядка совпадают с целыми числами Ьн Ь„..., Ь, нз 33). В обозначениях 25» и, + ... +Н,=Ь вЂ” 1. В»! имеется ! орбит множества (1, с, с', ..., с" '), и все они состоят из Ь элементов. Если Ь четно, то смх переводит С в — С. Для того чтобы — 1ен Ит, необходимо и достаточно, чтобы все показатели группы »!т были нечетными; в случае когда это так, Ь четно СА~ — 1 ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода Введение 10 39 39 39 41 44 56 Упражнения к $ 1 Упражнения к й 2 ?! Г л а в а ! У.

Группы Кокстера н системм Тнтса з 1. Группы Кокстера 1. Ллина и приведенные разложения 2. Диздральиые группы . 3. Основные свойства групп Кокстера 4. Приведенные разложения в группе Кокстера 5, Условие замены 6, Характеризация групп Кокстера 7.

Семейства разбиений 8. Подгруппы групп Кокстера 9. Матрицы и графы Кокстера й К Системы Титсп 1. Определение и основные свойства . 2, Пример Ь Разложение й на двойные классы 4. Связь с системами Кокстера .. б. Подгруппы группы 6, содержащие Л 6. Параболические подгруппы 7. Теорема простоты йополнеиие. Графы 1. Определения .

2. Связные компоненты графа . 3. Леса н деревья Г ля аз У. Группы, порожденные отражениями й А Гилерпяоскости, камеры и ячейки . 1. Основные понятия и обозначения . 2. Ячейки . 3. Камеры 4. Стенки и грани . б. Лвуграиные углы 6. Примеры: снмплициальиые конусы и симплексы 1О 10 1! 13 15. 17 20 20 22 24 26 26 28 29 3!) 32 34 35 71 71 72' 75 77 78 80 ОГЛАВЛЕНИЕ 132 82 82 84 86 87 88 $2. Отражения . 1. Псевдоотражения 2.

Отражения 3. Ортогоиальные отражения . 4. Ортогоиальные отражения в странстве 5. Дополнения о вращенник на аффинном евклидовом про- плоскости, б 3. Группы перемещений, порожденные отраясениями . 1. Предварительные результаты . 2.

Связь с системами Кокстера . 3. Фундаментальная область. Стабилизаторы 4. Матрица и граф Кокстера группы %' . 5. Системы векторов с отрнцатетьными скалярными произведениями . 6. Теоремы конечности . 7. Разложение линейного представления группы 97 в 7 . 8. Разложение аффннного пространства Е в произведение . 9. Строение камер 1О.

Специальные точки . 90 9! 93 91 98 98 100 103 105 107 110 9 б. 77ргобраэованиеКокстгра . 1. Определение преобразований Кокстера . 2. Собственные значения преобразования Кокстера. Показатели, 146 146 147 линейных предстаг- .Дополнение. Дополни пе.гьные сведения о пениях . 154 168 159 16! 169 174 Упражнения Упражнения Упражнения Упражнения Упражнения к 92. к $ 3. к% 4. к з 5. ив 6, 6 4.

Геометрическое представление группы Кокстгра...... 113 1. Форма, ассоциированная с матрицей Кокстера..... 113 2. Плоскость Ег у н группа, порожденная отражениями о,ио ° . 114 3. Группа н представление, ассоцяированные с матрицей Кокстера . 115 4. Контрагредиеитное представление ...., ...... 116 5. Доказательство леммы 1,........,...... !19 6. Фундаментальная область группы йт в объединении каиер 120 7. Неприводимость геометрического представления группы Кокстера 122 8. Критерей конечности . 123 9. Случай, когда форма Вм положительна и вырождена .. 126 $ б. Инварианты в симметрической алгебре..........

129 1. Рид Пуанкаре градуированной алгебры......... 129 2. Инварианты конечной линейной группы: свойства модуля . 131 3. Инварианты конечной линейной группы: свойства кольца . 135 4. Антииивариантные элементы ....... ...... 14! 5. Дополнения . . ... 143 ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а Ч1. Системы корней !77 215 2!6 217 219 221 222 226 226 227 228 232 274 278 279 280 286 294 297 9 А Системы корней 1. Определение системы корней, 2. Прямая сумма систем корней 3. Связи между двумя корняввн .

4. Приведенные системы корнев 5. Камеры и базисы системы корней б. Положительные корни 7. Замкнутые множества корней 8. Максимальный корень 9. Веса, радикальные веса 10. Фундаментальные веса, старшие веса !1. Преобразование Кокстера 12. Каноническая билинейная форма . $2. Аффнниая группа Вгйля 1. Аффинная группа Вейля 2. Веса н спепиачьные точки . 3. Нормализатор группы В'а 4. Применение: порядок группы Вейля . 5.

Системы корней и группы, порожденные отр;окенпямн 9 8. Экслоигяцпальньвг инварианты !. Алгебра свободной коммутатпвной группы 2. Случай группы весов; максимальные члены . 3. Антииавариантные элементы . 4. Инвариантные элементы $4. Классификация систем корней 1. Конечные группы Кокстера . 2. Графы Дынкина 3. Аффинная группа Вейля и пополненный граф Дынкина 4. Предварительная подготовка к построению систем корней .

5. Системы типа Вв(1) 2! б. Системы типа С! (1) 2! 7. Системы типа Ав (1) ~)1) 8. Системы типа (7! (1) ~)3) 9. Система типа Рв . 1О. Система типа Ев . 11. Система типа Е, 12. Система типа Ев . 13. Система типа Оз . !4. Неприводимые системы корней, не являюжиеся при- веденными Упражнения к $1 . Упражнения к $2 .

Упражнения к $3. Упражнения к в 4. Исторический очерк к главам 1Ч вЂ” Ч1 Библиография . Указатель обозначений . 177 177 16! 184 188 ИО !93 200 206 207 209 21! 2!4 234 234 242 246 248 251 254 255 258 26! 264 267 269 2?2 2?3 УВАЖАЕМЫИ ЧИТАТЕЛЫ Ваап замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим сообщать по адресу: 129820, Москве, И-119 ГСП, !-й Рижский пер., д.2, издательство «Мир». .