Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Показать, что существует единственный инволютивный автоморфизм (не обязательно допустимый) ~р, такой, что цо(Со) = — Со для любой камеры Со и ор(Е) =А для любой стенки 1. из А. Для лом А положим ~р(а) = — а. Если Р— ячейка, то — Р = ~р(Р) называется противоположной к ней ячейкой. г) Пусть Со — камеры в А и Р— ее перегородка. Показать, что.

выпуклой оболочкой Со()( — Р) является половина апартамента А, определенная стенной Е с носителем Р и содержащая Со. 23) Снова используем обозначения упражнения 16. Пусть Ап((А)— группа автоморфизмов апартамента А, Поназать, что автоморфязм рш Ап1(А) переставляет стенки апартамента Л и что !Рг<р-'ом Т лля всех 1гм Т (воспользоваться упражнением 16).

Получить отсюда, что йТ (отождествленная с подгруппой в Ац((А)) является нормальной подгруппой и что Аи1(Л) — полупрямое произведение подгруппы Е автоморфнзмов, сохраняющих камеру С, на Ф'. Доказать, что действие Ап1(Л) иа МГ определяет нзоморфизм группы Е на группу автоморфизмоз си. стемы Кокстера (йг, 5) или, что то же самое, графа Кокстера системы (1У, 5) (см. также упражнение 19). 24) Мы назовем структурным ансамбле.н ансамбль! с системой й секций, удовлетворявшей следукицим условиям: (СА !) Секции А оы м являются апартаментами, (СА 2) Две камеры в 1 содержатся по крайней мере в одном из апартаментов системы Й.

(СА 3) Каковы бы ни были Ао А, ом 2(, такие, что пересечение А,() Ат содержит камеру, существует изоморфнзм А, на Ао, оставляющий яеполвижными точки из А, ПАо. Пусть (1, оо) — структурный ансамбль, Элементы системы м называются апартаментами пары (1, Й) или просто ансамбля 1.

а) Показать, что апартаменты ансамбля 1 попарно иэоморфны. Пусть С вЂ” камера в 1 и А — апартамент ансамбля 1, содержащий С. Пока)ать, что существует, и только одни, эндоморфизм р ансамбля 1 (называемый ретракцией 1 на А с центром С), такой, что р(а) =а дли всех а ее А и для всякого апартамента А', содержащего С, сужение р на А' ость изоморфизм А' на А. (Используя условие (СА 2) и упражнение 1з, б), отметить то обстоятельство, что для любого апартамента А', содер ка- 54 ГЛ.

!Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 4 !, щего С, существует единственный изоморфизм рд„оставпающий неподвижными все точки камеры С.) Показать, что р'=р и р '(С) = С. б) Пусть А — апартамент в 1, Сз — камера и Р— ячейка, содержа. шачся в А. Пусть (Се Сн, С») — галерея наименьшей возможной длины, такая, что Р~= С» Показать, что С! ~-. А для ! (1(п (рассуждение от противного: если С; ~ А и С!е, !С А, рассмотреть ретракцию ансамбля 1 на А, центром которой является камера в А, отличная от С! и содержащая Сг() С!+,).

в) Пусть А — апартамент в 1, С вЂ” камера в А, Р— перегородка в С, С' — какая-то другая камера в 1 и Г =(Са,..., Си — — С') — галерея .наименьшей возможной длины и такая, что Р~ Си. Показать. что ретракция р ансамбля 1 на А с центром в С переводит Г в галерею (со', ..., с'„= р (с')), такую, что длина ее манимальна и Р ~ Со (рассмотреть апартамент А', содержащей С' и Р, и использовать б) н тот факт, что сужение р на Л' является изоморфизмом). г) Пусть А — апартамент, С, и Се — две различные смежные камеры, содержащиеся в Л, С' — камера, содержащая С, ПСз и отличная от С, г и Сз, Л! — апартамент, содержащий С! и С (для ! = 1, 2). Пусть ф! (соотв.

ф!) — ретракцня 1 на А (сиота. А,'-) с центром С! (соотв. С ), и пусть р! — сужение ф! ° ф! на А. Пусть С вЂ” камера в А. Показать. что если Г (с, с,) ( б (с, с,), то о, (а) = а для всех а ш С и с! (С, С,) < й (С, Ст) (рассмотреть минимальную галерею Г с концами С и С, и применить в) для доказательства минимальности р, (Г); использовать затем упражнение !5, б)). Пока~ать, что если с! (С, Сз) < с1(С, С!), то р! (С) чь С и р! (С) р! (С) (взять минимальную галерею Г с концами С и Сз и использовать в) для доказательства того, что р, (Г) — галерея минимальной возможной длины и такая, что одним ее концом служит р, (С), а другим — камера, содер.

жашая С, ПСе, вывести отсюла, что г1(С,, р, (С,)) ~( с)(Сз, р, (С,))). Показать, что р! — »ерегиб (упражнение 19) апартамеята А (показатгь что А р, (А)() р,(А), ~ определить ииволютивный автоморфизм а апартамента А, положив а(А) = рз (а) при а сж р, (А) и а(а) = р| (а) при а ~н рз(Л); показать, что если С вЂ” камера, содержащаяся в р, (А1, то р-,'(с) =(с, р,(с))). д) Пусть 1 — пространственный (или вместительный) структурный ансамбль, т. е.

такой ансамбль, что и~абая перегородка содержится по крайней мере в трех камерах. Показать, что существует, и с точностью до изоморфизма только одна, система Кокстера (йт, 5) такая, что апартаменты в! изоморфны апартаменту Аь, ассоциированному с системой (ЯГ, 5) (использовать г) и упражнение 19). Пусть А — апартамент в 1 и ф — изоморфизм Ае на А. Показать, что существует однозначно определенная нумерация ансамбля 1 со значениими в 5, такая, что типы а н ф(а) совпадают для всех ащ Ае (выбрать камеру С в А и показать, используя б), что если А' и А" — два апартамеята в 1, содержащие С, то нумерации А' и А", продолжавшие нумера»во на С, совпадают на А'ПА"). Мы скажем, что система Кокстера (В', 5) и нумерация, полученные такач образом, приспособлены к 1.

Показ атгч что введенные в а) ретракпин являются допустимымн аидоморфизмами. Пока: ать, что подмнон ество в 1, содержащееся упэажпп !ив в апартаменте А ансамбля /, является выпуклым в / тогла и только тогда, когда оно выпукло в Я (упражнение 20) е) В обозначениих д) пусть // — множество лопустимых нзочорфизмов Аз на различные апартаменты из /. Показать, что если ф, ф ~: 3 и С вЂ” камера, а р — ячейка из /, содержащаяся в ф (Ас) Д ф(Аэ), то с)чпествует элемент ю щ йг, для которого ф (С) =- щф (С) и ф (г) = = юф-' (г) (рассмотреть изоморфизм Л апартамента ф(Ач) на ф (Ач), оставляющий неподвижными точки в ф (Ач) Д ф (Яз), н применить упражнение 2!, б) к изоморфизму ф 'Л ф ' апартамента Аэ).

23] Пусть / — мно кество и 5 — множество конечных подмножеств в /. /(ля любого А щ 5 положим е (А) = (- !) Сагд(А). Пусть С вЂ” кочмутативная группа, записываемая аддитивно, а ф я ф — лва отображения !) в бд Показать, что следующие два свойства эквивалентны: (!) ф (.4) = У~ ф (В» для любого А гн $; Всл (В) ф(А) лча а(А-В! ф(В! дла л!обого А гн",~ лсл 26) Пусть (йт, 5) — система Кокстера с конечным множеством 5.

Для любого подмножества Н группы йг обозначим через Н (1) форцзльный ряд с целыми коэфф:щпсптамн Н(!)= ими а) Пусть Сагд 3 =2. Показать, что в этом случае ! + ! — !ю — !"'+' чйт(!) =, если йт имеет конечный порядок 2РП ! — 1 !+1 йу (!) = —, если йт бесконечна. ! — ! б) Прелположнм, что группа И" конечна. Пусть юэ — элемент наибольшей длины в И' (упражнение 22) и гл=1(юз). Показать, что тогда йт(!)=!юйт(! ') (воспользоваться упражнением 22). в) Пусть Х вЂ” подмножество в 5. Обозначим через А множество. Х (Х, (с))-приведенных элементов в йг (упражнение 3) и через В' полгруппу в йу, порожденную множеством Х.

Мы знаем (упражнение 3), что элемент ю щ йт принадлежит А „ в том и только том случае, когда 1(хю) =1(ю) + ! для всех хси Х, что любой элемент ю !ы йт однозначно записываетсн ввиде ю = ию с л зи Фх, и !и А и что тогда 1(ю) =1(и) + !(с). Х Вывести отсюда формулу ,(П ° А (!). г) Сохраним предыдущие обозначения и обозначим через Вх мвожество щ !ы А, таких, что 1(зю) =/(щ) — ! для любого за 5 — Х, Пона- Х' зать, что Ах (!) - Х ВУ (!).

Хс ус 8 33 ГЛ. !Щ ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА $ х Получить отсюда, что В (1) = ~~ е (У вЂ” /г) А (/), где е (У) = ( !)сага!х! Хсг 3 чнспользовать упражнение 23). д) Предположнм, что группа йг конечна, н определим гл н шр, как в б). Показать, что Вв =(и ! и что /т ~ е(у) йг, (1) Усх Чиспользовать в) н г)). е) Пусть йг бесконечна.

Показать, что ВИ Я н что е (у) йУУ (/) ' 0=1 Усх е) Показать, что формальный ряд йг (/) является рациональной функцией от 1 (нспользовать е) и провести индукцию по Сагб (5)). Показать, что эта рациональная функция обращается в нуль только прн 1, являющихся корнями нз единицы; показать, что — — целое число. ЯУ (рр) Показать, что ! щ Х П/!!. 1 йг(! ') !) Пусть 0 — группа, В и Лг — две подгруппы в О н 5 — подмножество в йг = У/(В/) й/).

Для любого ш рм )Гг положнм С (ы) = ВшВ. Предположнм, что выполнены условия [Т!) и (Т2) определения 1 и' 1, что при люоых з ры 5 и ш щ йг справедливо по крайней мере одно из двук соотношений С (з) . С (ю) = С (зш) или С (з) . С (зю) = С (ш) н что в В(/С (з) является подгруппой группы 6 прн всех з ез 5. Показать, что тогда выполнено условие (Т3). Если, кроме того, индекс подгруппы В в В () С (з) будет ~ 3, то (О. В, й/, 5) — система Тнтса. 2) Пусть 6 — группа, В н й/ — две подгруппы в 0 н 5 — подмножество в йг = й//(В Д А/).