Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 13

е) Пусть Ф вЂ” нормальная подгруппа в И. Положим 0'=ФО, В' ФВ, М'=ФМ н Г=В'ПМ'. Показать, что Г ФТ н что Т' являетси ГЛ, !Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА уз нормальной подгруппой в Ьп тогда и только тогда, когда любой элемент группы Ф коммутирует с любыч элементом из й'. Показать, что тогда 0' — нормальная подгруппа в О, что вложение )Ч в А(' определяет нзоморфнзм ! группы йт на йт' = Ь)'(Т' и что (О', В', АР, йт) (где 5 = ((5)) является системой Титса. 9) Пусть (6, В, Ф, 5) — система Титса и Х, У, Х вЂ” три подмножества в 5.

Показать, что 0 ()(О .0 )=(О ПО„).(0 ПО ) чвоспользоваться упражнением 1 к э 1 и предложением 2 из п'3). 10) Пусть 0 — группа и  — ее подгруппа Титса. Вериемсн к обозначениям упражнения 3. Длн з гы 5 обозначим через 0'е! подгруппу Оз 1,1 (упражнение 3, е)). Пусть ! — множество подмножеств в 0 вида ХО~И (для у щ 0 н э ив 5), (У.— множество подмножеств в 1 вида С, =(ЕОЫ~) э ем 5) для у щ О.

Множества Се называются камерами в( ($1, упражнение !б), Группа 0 действует на ! при помощи левых переносов. а) Пусть 5 — множество ячеек в ! (т. е. частей камер; см. 3 1, упражнение 13). Пусть рею В. Показать, что существуют однозначно определенное подмножество Х с 5 н элемент уев О, такие, что ХО = з згс х йт амр В этом случае говорят, что Р— ячейка типа Х. Показйть, что тогда Р .состоит нз ХО('! для з щ 5 — Х и имеет коразмериость Сагй Х в любой содержащей ее камере. Показать, что отображение !. 'Рг-о.

И а есть аыр строго убывающая бнекция, совместимая с левыми переносами, множества Пст иа множество подмножеств группы 0 вида ХО для у щ 6 х и Х с 5. Показать, что при Х с У с 5 ячейка типа Х содержит единственную ячейку типа у. б) Показать, что 6 транзитивио действует на множестве камер (У, и что стабилизатор камеры С (у щ 6) равен ЕВЕ !. Таким образом. отображение у!-о. С определяет биекцию 6/В на 6. в) Показать, что две камеры С и С, (у, й'щ О) смежны (й 1, упражнение 1б) в том н только том случае, когда существует э ем 5, для которого у'ге д (В () ВэВ). г) Пусть С,, ..., Сп — камеры в !.

Положим Се=Се. Установить эквивалентность следующих условий: (!) последовательность Г = (Се, С„ ..., С„) является ннъективной галереей; (В) существуют последовательность в (э~ ° зп) и последовательность (Ь, , Ь„) элементов из В, такие, что С! = = Ь|э!Ьтйз ... Ь!з!(Сп) (где з( — данный элемент лвойиого класса ВзтВ) для 1() (и. Показать, что если эти условии выполнены, то последовательность в единственна. Назовем ее типом галереи Г и обозначим через в(Г). Показать, что ннъективнаи галерея минимальна в том и только том случае, когда ее тип является приведенным разложением.

Показать, что выполнены следугощие условия: (%1 1) каковы бы ни были камеры С и С' в 1, существует однозначно определенный элемент ! (С, С ) еруппы йт, такой, что лгножеетво типов минимальныл галерей е концами С и С' будет множеством приведенных рпзлозгений длн 1(С, С'); УПРАЖНЕНИЯ б! (%1 2) для любой камеры С отображение С'»-»1(С, С') множества камер из 1 э йт гюрьгхтиено. д) Показать, что две минимальные галереи одного и того же типа с одинаковыми концами совпадают. (Это сводится к доказательству того, что если (зо ..., з„) — приведенное разложение и если 6» .. „ Ь„, г l- г Ь!,..., 6„— элементы из В, длЯ котоРых Ь!з! ...

Ьнзн южЬ|з! ... Ьнз„В, то Ь|з! юп Ь!й!В. Заметить, что если бы й! !Ь! !6! й! ф В, то этот элемент принадлежал бы Вз!В, откуда Ьфз... Ь„йн гж Ьз!6 Ьзйх... Ь'„з„В с Ь, Ь щ В, вопреки следствию 1 теоремы 2 и' 4.) е) Показать, что 1, снабженное множеством 6, образует ансамблю, называемый ансамблем, ассоциированным с парой (О, В). Показать, что существует единственная нумерация (4 1, упражнение 20) ансамбля 1, прн которой тнп ячейки совпадает с типом, определенным в а). е) Показать, что 1 — пространственный ансамбль, т. е. что каждая его перегородка содержится по крайней мере в трех камерах (см. $1, упражнение 24).

Показать, что выполнено следующее условие: (Сю) каковы бы ни были перегородка Р, камера Сю, галерея Г= = (Сю,..., С„) минимальной гозможной длины и такая, чго Р <: С„, а таххге камеры С' и С", содержащие Р и отличньюг от С„, существует элемент дюж С, дхл «огорого у(Сг] С! лри 0((!~ и и у(С') =С". (Все сводится к случаю, когда Сю = С. Пусть и юн 5 — такой элемент, что Р будет ячейкой типа 5 — (и), и пусть з — тип галереи Г. Показать, что (г, и) — приведенное )зазложеине.

Взять элемент Ь гн С, для которого С„= Ь (С). Существуют Ь и Ь щ В, такие, что С' = ЬЬ и (С) и С = ЬЬ"и (С). Использовать, далее, следствие 1 теоремы 2 п' 4, обобщенное иа случай подгруппы Тнтса (см, упражнение 3, е)), для доказательства существования Ьщй, такого, что ЬЬЬиВ=ЬЬ иВ. Тогда Ьс=йдийи !ВЬ щ(ЬВЬ )() В (6ВиВЬ-'). Если Ь юм ЛВиВЬ-Е то ВЬВ ю: ВЬВиВ = ВйиВ (там же), а это невозможно. Следовательно, Ь(Сн) =С„, и из д) следует, что Ь(С!) = С! для любого 1.) 11) Пусть (йу, 5) — система Кокстера н 1 — ансамбль, пронумерованный множеством 5 (э 1, упражнение 20).

Назовем типом инъективной галереи Г (Сю . Сн) и обозначим через з(Г) такую последовательность (зо ..., з„) элементов нз 5, что перегородка С! ~()С! имеет тнп 5 — (зг) (для 1 (! (н). Говорят, что 1 есть (В', 5)-ансамбль, если выполнены условия (!юГ1 1) и (%! 2) упражнения 10. Пусть 1 — пространственный (йг, 5)-ансамбль (см. упражнение 10, е)), и пусть  — группа его допустимых автоморфизмов, удовлетворяющая следующему условию: (Сю) для любых трек различных камер С, С' и С», содержащих одну и гу жг перегородку, гущестгуег такой элемент й щ Сь что у(С) С и у(С)-С", Выберем камеру С ансамбля 1 н обозначим через В ее стабилизатор в С.

а) Показать, что О действует транзитивно на множестве камер ансамбли 1. б) Пусть С' и С" — две камеры. Показать, что 1(С, С') = 1(С, С") а том и только том случае, когда существует элемент Ь щ В, для которого С" = Ь(С'). (Если 1(С, С') = 1(С, С") = ы, то рассмотреть приведенное разложение з элемента ю н минимальную галерею Г' (соотв. Г") с концамн С, С' (соотв. Сн) и типа ж 1!ровестн индукцию по 1(в), ис- пользУЯ Условие (Сю) н а).) ПолУчнть тепеРь биекцню ю »-» В (ю) гРУппы йт на В!61В.

ГЛ. ПА ГРУППЫ КОКСТПРА И СИСтвмы титсл в) ПУсть Š— пеРегоРодка камеРы С типа 5 (з). Показать, ° то ста- билизатоР Ячейки Е в 0 Ранен В() В (з) (если и(Р) Е то ! (С ь (С)) или з). Похавать, что В ~: В (з) В (з) (использовать (6о)), г) Показать, чта  — подгруппа Титов группы 6 и что система Кок- стера пары (6, В) канонически изоморфна систем~ ()р, 5). (Пусть ы щ Ф' и зол 5 таковы, что )з(зм) =!з(ы) + 1.

Пусть й оп В(ю) и и еэ В(з). Пусть з=(з,...- зи) — приведенное разложение элемента ы и (С =Со. С, С„=й(С)) — минимальная галерея типа з. Выбрать элемент й щ В(з ). Используя (0о), показать, что существуют элементы Ь! оц В, для которых Со=б~з~... Ьгйо(С). Положить С'. и(Со,) и показать, что галереи (С, и (С), и (С,)....,и (Со)) имеет тип (з, з) и, следовательно, ми- нимальна.

Вывести отсюда, что иди В(зю) и что В(з) В(ы) =В(зоо). Если теперь 1(зм) = 1(ю) — 1, палом"ть м = зм. Тогда В(з) В(ы') = = В (по), откуда В (з) В(ю) = В(з) В (з) В (ю) ~ В (ю ) () В (з) В(ю) = В (зю) 0 В(м). Наконец, поскольку В щ В(з) В (з), выполнено также включение В (ю') = = В (зы) ~ В (з) В (ю).) д) Показать, что существует однозначно определенный изоморфизм ансамбля, ассоциированного с (6, В) (упражнение !О) иа 1, совместимый с действием группы 6 и переводящий каноническую камеру С, в С. 12) Пусть (6,В,М,5) — система Титса, йг=М!(ВПМ) — ее группа Вейля, ! — ()Р', 5)-ансамбль, ассоциированный с (6, В) (упражнение !0), и С = Со — каноническая камера ансамбля 1. Пусть чйо — апартамент, ассоциированный с системой Кокстера ()Р, 5) (з 1, упражнение 10).

для любого и щ 6 пусть ф — отображение Ао в 1, которое точке ю)рм1 пз Ао (юоп йг, з оп 5) ставит з соответствие точкУ йю61о! ансамбля 1. Показать, что пРи всех й щ 6 отображение фх есть изомоРфизм пРо- нумерованных ансамблей Ао на секцию ансамбля 1, состоящую из обьеди- нения камер иа(Со), и ~ М. Показать, что ! с множеством й всех ф (Ао) длЯ й оп 0 есть стРУктУРный ансамбль ($1, УпРажнение 24). (Дла доказательства свойства (СА 2) заметить, что если й', и" ом 6, то суще- ствуют Ь, Ь" си В и и щ М, такие, что д' й" = Ь'аЬ". Положив тогда й =й'Ь л, показать, что й'(С) и й" (С) содержнтсЯ в фз(Ао). Дла дока- зательства свойства (СА 3) свести все к сауна~о двух апартаментов А' = = ф (Ао) и А" = фь(Ао) с Ь щ В и используи пРедложеиие 2 п' б, по- казать, ~то отображение и ь — ь Ь(а) оставляет неподвижными точки пере- сечения А'П А").