Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Пусть 2 — нормальная подгруппа группы О, содержащаяся в В. Пусть В' н й/' — каноннческне образы В н й/ в 0' = О/2. Показать что каноническое отображение /У на А/' определяет изоморфизн )Уг на йг' = М'/(В' П Аг'). Пусть 5' — образ множества 5 при этом изоморфизме, Показать, что (О', В', М', 5') будет системой Тнтса тогда н только тогда, когда (О, В, У, 5) — система Тнтса. 3) Пусть 6 — группа,  — подгруппа в 6 н (С (ш)) ы вг — семейство двойных смежник классов О по В.

Говорят, что  — подгруппа Татаа группы О, если существует подмножество 5 с йг, такое, что выполнены следующие условия: (1) объединение классов С (з), з рн 5, порождает 0; . (2) при всяком з щ 5 множество В(/С (з) является подгруппой в 0 н индекс подгруппы В в В(/С(з) не меньше 3; (3) для любого з рн 5 н любого ы щ )р' существует элемент ы'рм йг. такой, что С /з) . С (ш) с С (рз) 0 С (и'). Впредь булет предполагаться, что  — подгруппа Титса группы 0 и Ю вЂ” подмножество з ЧУ, удовлетворяюрнее условиям (1) — (3).

а) Показать, что С(з) =С(з) н что С(з).С(з)=В(/С(з) лдя упрлжыцыия всея з щ 5. Показать, что для любага з ею 5 и любого в щ Яг существует элемент в" щ В', такой, чта С (ю) . С (з) с С (в) () С (в"). б) Назовем длиной элемента ю щ йг и обозначим через!(в) нижнюю границу целых чисел п.иб, таких, чта существует последовательность з,, ..., зя ем 5, для которой С (ю) с С (з~) ... С (з„). Показать, что 1(ю) конечна для любого в щ йт. Пусть и, а щ Ф', 1(и) <1(а).

и пусть з щ 5. Показать, что если С(е) с С (и).С (з) (саста. С (о) с С(з).С (и)), то С(а) С(и) .С (з) (соотв. С (а) =- С (з). С (и)). (Провести индукцию по длине элемента и. Если С (а) ~ С (и). С (з), то С (и), С (з) = С (и) () С (о). Используя предположение индукции, показать. что существуют 1щ5 н вщ В', такие, что С (и) = С (1) . С(в) с 1(в) =1(и) — !. Из соотношений С (а) с С (и) . С (з) = С (1) . С (в).

С (з) н С (1) . С (в) = = С (и) ~ С (а) вывестн существование элемента в' чь в, для которого С(в) с С (в).С (з) и С (и) с С(1).С (в), так что 1(в) )1(а) — ! > ) 1(и) — 1 =1(ю). Предположение индукции дает тогда С (в') =С (в). С (з). Кроме того, С (1) . С (и) . С (з) С (1) . С (1) . С (в) . С (з) = С (1) . С (в) . С (3) () С (в) . С (з) = С (и) . С (з) () С (в') = = С (и) () С (а) () С (в') а также С (1) ° С (и).С (з) = С (1),(С (и)()С (а)) С(1) С( ) С ( ), ( что приводит к противоречию, поскольку в ~ и, а, в'.) в) Показать, что для любого в щ йг и любого з щ 5 существует один и только один элемент, обозначаемый через з . в (соотв.

в ь з)„ отличный от в и такой, что С(з. ю) с С (з). С (в) с С (в) ()С(з. в) (соотв. С (в ° з) с С (в) . С (з) с С (в) () С (в ° з)). (Показать индукцией по 1(в), что С (з) . С (в) Ф С (в). Для этого записать С(в) =С(и).С (1), где 1 щ 5, и ем В' н 1(в) =1(и)+ !. Если С(з).С(в) =С (в), то С(з).С(и).С(1) С(и).С(1), и, умножая это равенство справа на С (1), сделать заключение С (и) () С (в)= = С (з) . С (и) () С (в). Так как по предположению индукции С (и) ~ Ф С (з). С (и), то в соответствии с б) С (з) . С (и) = С (в), о.куда С (и) с С (з) . С (з) . С (и) = С (з) .

С (ю) = С (в), а зто вевозможно.) г) Пусть з щ 5. Показать, что отображение рз: в ь-ь з. в (соотв Сз: в ь-ь в ° з) является перестановкой на йт н что р, !б (саста. Ч, = !д). Показат~, что при з, гзм 5 будет р, г)! =пг р,. (Исследовать 2 произведение С(з).С(в).С(1) с в~п йк и показать, что (з.в) г~ы щ (в, з. ю, в ° 1, з((в *1)); показать, что (з.

в) ч 1Ф (з. в, в ч 1) н чта если (з.в) 1=в, то з.в=ю 1 н в з.(в 1).) д) Показать, что порожденная элементами рз (соотв. л,), з щ 5, группа перестановок Р (соотв, ()) действует просто транзитивно на йу. 63 ГЛ !У. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА % 3 (Для доказательства траизитивностн Р использовать условие (2) и рассузсдать, как в лемме ! из и'!. Для доказательства однократной транзитнвности использовать г).) Вывести отсюда, что иа зг' существует однозначно определенная структура группы, такая, что отображение рь-ь р(е) (где е — элемент яз йг, для которого В =С (г)) есть изомор.физм Р на йт), Отображение 4 ь — » 4 (е) тогда тоже изоморфизм. При этом з.ю=м»т=зп лля всех зщ5 и всех ющйГ, а С(ю) =С(ю !).

е) Показать, что пара (йт. 5) ивляется системой Кокстера, и обобщить результаты и'4. е) Пусть Х вЂ” подмножество в 5 и Яг — подгруппа в йг, порождеи- Х пая множеством Х. Показать, что множество 0 — объединение клас- Х сов С (ж) для и щ йг — есть подгруппа в 0 и что еще справедлива Х теорема 3 из и'Б. Показать, что В является подгруппой Титов группы 0 Обобычнить предложения 2 и 3 из и'6, определение 2, предложение 4 и теорему 4 из п'6. Показать, что 5 совпадает с мнохсеством элементов ю щ йг, таках, что В 0 С (м) есть подгруппа в О, отличная от В. Система Кокстера ((г', 5) н группа ЧГ (которая называется группой Вейля пары (О, В)) зависят, следовательно, только от пары (О, В). ж) Пусть У вЂ” подгруппа в О, такая, что В Д М нормальна в У и что псякий двойной смежный класс С (ю) относителй)зо В пересекается с У по смежному классу относительно В ПУ, Показать, что группа У((ВП М) отождествляется с (г" и что (О, В, М, 5) является системой Титса.

4! Пусть (О, В, М, 5) и (О', В, М', 5') — две системы Титса с 0=0' В = В' и группамн Вейля йг и йгй Пусть ) — биекция Чг на йг', опреде.ленная соотношением ВюВ = В! (м) В. Показать, что ! является изаморфизмом группы !Р на Яг' н что ! (5)=5'. 6) Пусть 2 = (О, В, М, 5) — система Титов. Положим Т = В()М и обозначим через У нормалнзатор группы М.

а) Пусть Ь щ Ь() У. Показать, что ЬлЬ л ' щ ВД У при всех л щ У (положить Ьл=л'Ь и использовать теорему !) и что Ь принадлежит пересечению Т сопряженных подгрупп пВл ' для и сы М. Показать, что Т Й У = Т. Система 2 называется ласыщенлои, когда Т = Т.

б) Положим М'=У.Т. Показать, что У вЂ” подгруппа в О, содержащая Т в качестве нормальной подгруппы, и что У()В=Т. Показать, что вложение У в У определяет изоморфизм ! группы Вейля йг системы Е иа У(Т. в) Показать, что (О, В, У, )(5)) — насыщенная система Титса, называемая системой, ассоциированной с 2. 6) Вновь используем обозначения из п' 2. Пусть Уа — подгруппа в М, состоящая нз матриц, нсе элементы которых равны 0 или !. Показать, что В П Уч — — Т() Мь — †(Ц и что каноническое отобРажение ! гРУппы Мь в йГ = М)Т является нзоморфнзмом.

Положим 5, ! !(5). Показать, что (О, В, Уа, 5з) — система Тнтса и что (О, В, У, 5) — ассоциированная с пей насыщенная система Тнтса. Т! Пусть 0 — группа, действующая на множестве Е. По определени1о Труппа 0 действует иа Е двазядм грпизигивнп, если дли любых двух УПРАЖНЕНИЯ пар влементов х, у, х', у'гмЕ с «Ф у, х' Ф у' существует такой элемент учи 6, что у.х=х' и у.у=у'. а) Пусть (6, В, М, 5) — система Титса, группа Вейля которой имеет порядок 2.

Показатть что 0 дважды транзитиана па О/В. б) Пусгь 6 — дважды транзитивпая группа на множестве Е. Предположим, что Сагб Е ЪЗ. Обозначим через В стабилизатор какой-нибудь точки е ~и Е. Пусть ха Е, х Ф е, н пусть л — элеиент яз О, для которого л (е) = х и и (х) = е. Пусть, далее, М вЂ” подгруппа группы 6, порожденная элементом и, а э — канонический образ элемента и в М/Т. Показать, что (6, В, М, (з)) — система Тятса с группой Вейля порядка 2. 8) Пусть (6, В, М, 5) — система Титов. Положим Т = В П М и йг = М/Т.

Пусть 6 — группа, содержащая 0 в качестве нормальной подгруппы. Прсдположии, что для любого А ы 0 существует элечент и щ О, такой, ~то АВА ~ =ИВ« ~ и «МА 1=«М« 1. Пуст~ В (соотв. М) — яормализатор подгруппы В (соотв. М) в 6. Положим Г = ВДМ, М = Г. М и Т= М0 В. а) Показать, что О=Г.О, В=Г.В, Г()В=ГДО и Т=(ГПВ).Т. Группы И = Г/(" П В) 6/О и В/В, следовательно, канонически изоморфпы. Если Ф ~: И и Н вЂ” полгрупяа в 6, содержащая Г() В, то обозпачии через ФН объединение множеств ~рН для и щ Ф. б) Показать, ~то Т вЂ” нормальная подгруппа в М (для дояазательства — 1 включения иуч щ Т придя М и ущ ГД В использовать упражнение 5, а)), что МПТ = Т н что Г((Т = ГП В. Вложение М (соотв.

Г) в М позволяет, слеаовательно, отождествить Ф' (соотв. И) с некоторой подгруппой группы ИР = М/Т. Показать, что И нормализует 5 н что )Р' есть полу- прямое произведение И и )У. в) Показать, что ВзВиВ <: (В и В) () (ВгиВ) при всех чщ 5 я всех и ~я Гг'. г) Показать, что и ь — ~ ВлВ есть биективиое отображение группы (р иа В)0/В (использовать теорему ( и тот факт, что Г нормализует В). д) Пусть 23 — множество пар (Ф, Х), где Ф вЂ” подгруппа группы И и Х вЂ” подмножество в 5, иормализуемое группой Ф. Положии 0(ф «>= ФО» —— ВФЕû (в обозначениях и'б) Показать, что отображение- (Ф, Х) ь-и Отщ т~ есть бпекпня множества 'В на множество подгрупп н О.

содержащих В. Обобпцзть утверждения б) и в) теоремы 3 н предложения 2 нз п'б. Показать, что нормализатор подгруппы Ого «) в 0 является подгруппой вида Оов «Р где Ф вЂ” множество элементов в И, нориализующее как Ф, так и Х. е) Показать, что О,э «будет максимальной подгруппой в 0 в том и тольио том случае, когда выполнено одно из следующих двух условий: (() Х= 5 н Ф вЂ” максимальная подгруппа в И; (В) Ф = И н Ф действует транзнтивно на 5 — К (которое не пусто). Показать, что СПо, «> бУдет максимальной в множестве подгРУпп группы 6, яе содержащих 6, в том и только том случае, когда (В!) Х Ф 5 я Ф вЂ” нормализатор множества Х н И, транзнтивно действующий иа 5 — Х.