Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 2

Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на эту ось равна нулю. Пример 3. Определить модуль и направление равнодействующей плоской системы сил Р,, Е„Е„У„приложенных в точке А, если Р,=Е,=100н, Е,=120н, Е,=80 н и если извеетны углы между этими силами а = 45', р =- 105', у = 60' (рис. 8, а) . Р е ш е н и е. Решим эту з адачу аналитическим способом. Для этого построим систему координатных осей Ах и Ау, направив ось х по линии действия силы Е,. Вычислим проекции искомой х, а 1,',~,! -Е ю 1 гх Рис.

7 а Рис. 3 жительным направлением оси хи острый угол, равный 60', с по- ложительным направлением оси у, а потому Р„= Р, соя 30', Р, =Р, соябо'. После того, как проекции всех сил на коорди- натные оси найдены, вычислим проекции равнодействующей иа те же оси: И„= ~ Р„= Р, + Р, соя 4б*+ Р, соя 30'( Р, соя 30' = 100+ 60У 2-(- +9ОУ З=З4О,З; )с = ~~„Р„= Р, соя 4б' — Р, соя 60'+ Р, соябо' = 60У'2+10 = 94,6.

Теперь находим модуль и направление равнодействующей по формулам (8): Р = )' )с„' )- )с„' = у (340,3)*+ (94,6)' 353,5 н, — — й„340,3 СОя ()с' 1) й 333 3 — 0,959, — — 17„, 94,6 соя (И, 1) = — «=333' 3 — — 0,264. 1о равнодействующей на оси х и р по формулам (у). Лля этого найдем сначала проекции каждой силы на эти оси, Сила )с, направлена по оси х, а потому Р„ = Р, = 100; Р,г О. Гила Р, составляет острый угол, равный 45', с положительным направлением оси х и такой же угол с положительным направлением оси д, а потому Р,„= Р, соя 45', Р,„= Р, соя 45'. Сила Р, составляет острый угол, равнйй 180' — (а + 6) = 30', с положительным направлением оси х, а с отрицательным направлением осн у эта сила составляет острый угол, равный 60', а по- а) )Д тому Р,„=- — Р, соя зо', 1 Р,» = — Ра соя 60'.

Сила Р, составляет острый угол, равный а+8+ 4 у — 180' = 30', с поло- Графическое решение этой задачи показано на рис, 8,6, где Оа = Г„аб = Г„Ьс = г „сс( г „Оа = К Сложение сходишнхси снл, не лежащих в одной нлосиости Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил так же, как и в случае, когда сходящиеся силы лежат в одной плоскости, равна геометрической сумме слагаемых сил, т. е. выражается по величине и направлению замыкающей стороной силового многоугольника, стороны которого равны и параллельны данным силам.

Следовательно, )с = ~ч,'Р;. В частном случае, когда число слагаемых сил, не лежащих водной плоскости, равно трем, их равнодействующая выражается по величине н направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. Силовой многоугольник, построенный для пространственной системы сходящихся сил, не является плоской фигурой.

Поэтому при сложении сил, не лежащих в одной плоскости, предпочтительнее аналитический способ. Чтобы найти аналитически величину и направление равнодействующей пространственной системы сходящихся сил (применяя теорему о проекции равнодействующей на данную ось), сначала находят проекции равнодействующей на три координатные оси Ох, Оу, Ог: я = ~~~~~Хи я„= ~~ус я = ~яг Определив проекции равнодействующей на координатные оси, находят затем ее модуль и направляющие косинусы по формулам: )('= (ХХс)'+( уг)*+(Х4;)', созЯ, Е) = -~-'-, соз()с. 1)=~~~и — ', созЯ, Й) =~~~-'-.

(!О) При вычислении проекции данной силы на три взаимно перпендикулярные координатные осн чаше всего встречаются следующие два случая: 1. Углы между силой и координатными осями заданы или нх легко определить, исходя нз условия задачи, например из соответствующего треугольника. В этом случае величина и знак проекции определяются так же, как и в случае плоской системы сходящихся сил (см. предыдущий параграф).

2. Ланная сила и координатная ось, на которую нужно проектировать эту силу, не лежат в одной плоскости и угол между ними не задан. В этом случае часто бывает целесообразно сначала спроектировать данную силу на координатную плоскость, в которой лежит ось проекций, а затем полученную проекцию силы на зту плоскость спроектировать па данную координатную ось. При этом необходимо сначала найти угол между данной силой и координатной плоскостью, на которую проектируют эту силу, а затем определить угол между проекцией силы на эту плоскость и данной координатной осью.

Пример 4. К вершине О прямой треугольной призмы приложены пять сил Р, Р„..., Р„причем сила Р, направлена по диагонали ОВ грани ОАВС, силы ЄЄР,— по ребрам ОО, ОС, ОА, а сила Р, лежит в плоскости грани ООС и составляет с ребром ОО угол 30'. Определить модуль и направление равнодействующей этой системы сил, если Р, = Р, =- 100я, Рис. 9 Р =-200н, Р,=1503/"5н, Р,=250н и если известны углы: ,~ ООК=ЗО', ~ОСΠ— --30', ~ СВО=а =-60' и ОО=ОА = СВ (рис. 9). Р е ш е н и е. Построим систему координатных осей Ох, Оу и Ог, направив ось Ох по линии действия силы Р„ось Оу— параллельно ребру ОС призмы, а ось Ог — по ребру РО. Вычислим проекции искомой равнодействующей на оси х, у и г по формулам (9).

Для этого найдем сначала проекции каждой силы иа эти осн. Сила Р, направлена по оси х, а потому Р, =Р„=О, Р,„= Р,. Сила Р, направлена по оси г, а потому Р,„=-Р, =-О, Р„= — Р,. Кроме того, силы Р, и Р, лежат в плоскости гОд, а потому Р,„=Р,„=О. Так как сила Р, образует острый угол, равный 30', с отрицательным направлением оси у и острый угол, равный 60', с отрицательным направлением оси у, то Г„= — Р,со 30', где р= х'РВО. Кроме того, Рл,—— — Р, э1п (3.

11айденные значения проекций всех заданных сил на координатные осн можно расположить в табл. 1. Таблица 1 Сили Прииииии ! " ! 1 Рл — сои р о 0 — Ри — — и — совр 1'з у'з 2 ' 2 1 — Р— ' 2 , Уз Из прямоугольных треугольников ОРВ и РВС находим: 01л 3!Пи ОН' соз р ВВ ОВ ' РВ 2ВС, ОВ = Р ОР'+ РВ'. Кроме того, ВС ОР, а потому ОВ Р ОР'+4ВС'= )~ ОРи т 40Р', или ОВ =ОР Р 5.

Отсюда а!и й — и~, соз р = - —, 1 2 13 Р„= — Р,созбб' Аналогично вычисляем Ри и Р„: Р,„=- — Р, сов 60', Р„= — Р, сои 30'. Углы, образованные силой Р, с осами х и у, нельзя опре- делить непосредственно из чертежа. Поэтому, чтобы найти проекции силы Р, на оси х и у, спроектируем сначала эту силу на плоскость хОу и подученную проекцию, которую обозначим чеРез 1м спРоектиРУем затем па оси х и У.

Тогда Ти= Р соэР, Рии 1 и 1исоэа Рисоэрсоэа Р, =1', = — 1', з1па = — Р,соэб з1па, Далее вычислим проекции равнодействующей на оси х, у и г па формулам (9): !х„= — '+ Р, = 400, Уз тг =- — — ' — Р, — — Р,—,= — 100(! + 2)73), ЯР РРР4 100(313) уз Модуль и направление равнодействующей определяем по формулам (10): й — р 400'+!ОО' (1+ 2 $'3)' + 100'(3 + $ГЗ)'~.763,69 н, сох(7г. !) = 7вз аз ~0,523, — т 44б,4 сох(й /) = —, ' - "— 0,584, 763„69 — 473,2 сох ()г, /г) = 7 З вч ~ — 0,6!9.

й 2 РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ Задача о разложении заданной силы на две илн несколько составляющих является обратной по отношени1о к задаче об определении равнодействующей сходящихся сил. Рассмотрим следующие основные случаи решения этой обратной задачи. !. Разложение данной силы на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, если. а) заданы направления составляющих, б) заданы модули этих составляющих, 2.

Разложение данной силы на три составляющие, лежащие с ней в одной плоскости и направленные по трем заданным непараллельным прямым, не пересекающимся в одной точке. 3. Разложение данной силы потрем заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости. Для того чтобы разложить силу Р (рис. 10) по двум заданным направлениям Ак и Ау, достаточно из конца В этой силы провести две прямые, параллельные прямым Ах и Ау, до их пересечения с этими прямыми в точках С и О. Тогда векторы АС и А17 являются искомыми составляющими, т. е. АС=Р„Ай= Р„а Р=Р,+ Р, Пример б К узлу В шарнирно-стергкневого многоугольника АВСР, сторона АР которого закреплена неподвижно, приложена заданная сила Р. Найти силы, передающиеся ка стержни АС и 17С, если Р=2хн, ~АВС=120', ~ВСА =30', ~АС0=90' и ~и=-60' (рис.

11). !4 Решение. Разложим силу Р на две составляющие Р, н Р„ направленные вдоль стержней АВ и ВС. Для этого построим параллелограм А,В,С,В, в котором сила Р является диагональю, т. е. Р=-Р,+ Р,. так как в треугольнике А,В,В все углы равны по 60', то Р,=-Р,=Р=2кн. На стержень ВС действует сила Р,; перенесем эту силу по линии ее действия в точку С и разложим ее иа две составляющие 5, и Я„направленные вдоль А Р; Рис. !О Рис. 11 стержней АС и СО, т. е.

построим параллелограмм, в котором сила Р, является диагональю. Тогда сила 5, действует на стержень С1л, а сила 5„— на стержень АС. Таким образом, эти силы являются искомыми; причем, учитывая направления сил 3, и В„видим, что стержень АС испытывает растяжение, а стержень С — сжатие. Из прямоугольного силового треугольника находим: Я вЂ” Р, сов 30 — — Р, Уз Я, = Р, соз 60' = — Р„ т. е.

3,=1,73кн, 5, =1кн Если требуется разложить данную силу Р на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, зная модули Р, и Р, этих составляющих, то задача сводится к построению силового треугольника по трем его сторонам. Для построении этого треугольника проведем из центров А и В (начала н конца данной силы Р) дуги радиусов г, = Р, и г, = Р, до их взаимного пересечения в точке С и дополним полученнйй треугольник АВС до параллелограмма АСВЕ, в котором сила Р является диагональю (рис. 12).* Если требуется разложить заданную силу Р по трем заданным непараллельным направлениям, лежащим с ней в одной * Задача, очевидно, имеет два решеиии (почему?) Если же Р,+Г,<Е, то задача решеиий ие имеет.