Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 6

динатные оси. Следует иметь в виду, д что если имеем систему четы- д 4 рех уравновешенных сил, не и лежащих в одной плоскости, то задачу часто можно ре- Т Т; шить проще, заменив две за. данные силы их равнодействующей, так как три уравновешенные силы всегда ле- Р жат в одной плоскости, то задачу о равновесии четырех сходящихся сил, ие лежащих в одной плоскости, можно свести, таким образом, к задаче о равновесии плоской системы трех сил, решение которой рассмотрено в предыдущем параграфе. Пример 11.

Груз Р весом 10 кн поддерживается при гсомощи каната, перекинутого через блок О и идущего к лебедке Е, Определить усилия в стержнях АО, ОВ. ОС крана, если плоскость ОАВ горизонтальна, АО = ОВ, ОА =ОВ, ~ ОСО = 60, ~СОЕ=ЗО' и ~ АОВ=90' (рис.

27). Р е ш е н и е. Рассмотрим равновесие шарнирного болта О, к которому приложены реакции стержней Йл, 3, 3 и силынатяжения каната Т, и Т,. Так как натяжение каната во всех его точках одинаково, то Т,=Т,=Р. Так как стержни закреплены шарнирно и их весом мы пренебрегаем, то реакции стержней направлены вдоль этих стержней. Допустим, что стержни растянуты, т. е. реакции направ- 3' Зо лены от узла О. Силы В„, Ьв, Вс, Т„Т, не лежат в одной плоскости. Составим три уравнения равновесия этих сил, для чего выберем сначала систему координатных осей х, у г так, чтобы силы Яю Ев, Вс, Т„ Т, лежали в координатных плоскостях; ось Рг найравйм перпендикулярно к плоскости АОВ; начало координат выберем в точке Р, а оси х и у направим соответственно по прямым АВ и ОР. Тогда силы Яз и Юв будут расположены в плоскости хРу а силы Бс, Т„Т,— в вертикальной плоскости гРу.

При таком выборе координатных осей легко определить углы каждой силы с координатными осями, а следовательно, и ее проекции на эти оси. Так как силы Бз и Явлежат в плоскости хРу, то З„,=Ба, =О. Найдем углы, составляемые этими силами с осями х и у. По условию задачи АО=ОВ, а потому треугольник АОВ равнобедренный; кроме того, АР = РВ и ~ АОВ=90 . Следовательно, прямая ОР есть биссектриса угла АОВ и х~ РАО = х~ РВО = 45'. Теперь находим проекции сил Зх и В на координатные оси х и у. Проекции Вз„, Зх, Вз„, очевидно, отрицательны, так как силы З„и В образуют острые углы с отрицательным направлением оси Ру, а сила В образует острый угол и с отрицательным направлением оси Рх: Ях„.

— — Вз соз 45', Яв„—— — Яв соз 45', 5 хг Яд соз 45', 5з — — — 5з соз 45'. Силы Вс, Т„Т, лежат в плоскости гРу, а потому они перпендикулярны к оси Рх и, следовательно, Сила Т, параллельна оси Рг, а потому Т, =0 и Т„= — Р. Углы между силой Я и осями у и г заданы по условию задачи, а потому находим: Яс,= — Вссоз60', Яс = — Вссоз30 Остается найти углы силы Т, с осями у и г. Для этого рассмотрим треугольник ОСЕ. Угол РСΠ— внешний угол этого треугольника, а потому он равен сумме углов СОЕ и СЕО, т. е.

60" = 30'+ ~ СЕО, откуда ~ СЕО = 30'. Из прямоугольного треугольника ОРЕ находим, что хРОЕ=60. Таким образом, Т, образует острый угол в 30' с отрицательным направлением оси г и острый угол в 60' с отрицательным направлением оси у, а потому Т„= — Т, соз 30'.

Т, = Т,соз60 и Указанные значения проекций можно расположить в виде табл. 2. Составим теперь трн уравнения равновесия, для чего достаточно приравнять нулю сумму проекций всех сил на каждую координатную ось: 1) 34 соз45' — Звсоз45'=0; 2) — Бл соз45' — Яв сов 45' — Я сон 30' — Т, соз50'=0; 3) — Т, — Т, сов 30' — 5с соз 50" =- О, Таблица 2 Силы ьс ! Острый угол силы с осью х 45 45 90 90 90 Знак проекции си лы на ось х Проекция силы на ось х + Ял сов 45' — Яв сов 45 Острый угол сиды с осью у »' 60' 90' Знак проекции сн лы на ось у Проекция силы на ось у — Ял сов 45 — Зв сов 45' Зс сов 30 — Т> сов 60' 0 Острый угол силы с осью х 60' 30' О> Знак проекции си лы на ось х Проеиция силы на ось г Зс сов 60' — Т, сов 30' нлн ол — ов= 0 он+ ов1 — 3 + — Р=О 12 )г2 Уз 2 2 2 г 2 > Зс Р сг Р— т — + — = О.

2 2 Решая эту систему трех уравнений относительно неизвестных Ял, Я, Я, получим: — Яс = 2Р + Р 1/ 3 = Р (2+)' З) = + 10 0~ 3+ 2), Яс 10'3 73= — 37,3 кк; Ял Яз 2Ял 2+ 2 Яс 5 — 5~ 3(2+1 3)= = — 10 Р 3 — 10 ж — 27,3 кн, или Ял=Я = — 'ж!9,3 кн. 'г' 2 Так как мы получили отрицательное значение для силы Я, то выбранное нами направление этой силы нужно изменить на противоположное; следовательно, стержень СО не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Пример 12. Невесомые стержни АС, АВ и А1л соединены шарнирно между собой в точке А и с неподвижными опорами в точках С, 17 и В. К узлу А приложена сила В=8 кн, составляющая с координатными осями х и у углы а=р=60'. Определить реакции стержней АС, АВ и Ас1, если 6 = 60', ср=45' (рнс. 28). 1 Рас 2а Ре ш е н и е. Рассмотрим равновесие узла А, к которому приложены заданная сила Р и реакции 3„5„3, стержней АС, АВ и АО, направленные вдоль этих стержней. Допустим, что эти реакции направлены от узла А. Так как линии действия сил Р, 8„~„5, пересекаются в одной точке А, то имеем четыре уравновешенные сходящиеся силы, не лежащие в одной плоскости, а потому вычислим проекции этих сил на выбранные координатные оси и составим три уравнения равновесия.

Силы Я, и Б, параллельны соответственно осям х и у, а потому Яц,— — 3„=0, 3,„=5„=0, Я,„= — 5„5,т — — — 3,. Так как углы а и р между силой Р и положительными направлениями осей х и у заданы, то Р,=Рсоз60'= — Р, Р„=Рсоа 60'= — Р. Угол у между силой Р и осью г мы найдем из соотношения соз' а+ сов* р + сов* у = 1, откуда соз' у = 1 — сов* а — сов* |3 =— $' 2 и соз у = ~- — . 2 Так как сила Р составляет острый угол с отрицательным направлением оси г, то Р,= — — Р. Угол б между У2 силой 3, и положительным направлением оси г задан, а потому Б„=З,соз60' = — 3,. Углы между силой 5, и осями х и у не заданы и их нельзя определить непосредственно из чертежа, а потому спроектируем эту силу на плоскость хОу и полученную проекцию, которую обозначим через Я,„, спроектируем затем на оси х и у. Тогда 3,„„=3, з|п 6, 5,„= — $,з!пбсоз>р, В, = — Я,з|пбз|п>р. Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на оси х, у и г, получим следующие три уравнения равновесияя: 1) Х,Х,= — 5+ — — 8,— — =О; Р )>2р'з 2 ' 2 2 2) ~Х',К;= — 3, + — — Я, — — =0 У2Уз 2 ° 2 2 8) ~х 2> Р ~" 5 0 У 2 | Из третьего уравнения находим: Я,=Р3~ 2 ° 11,28 кя, Из первых двух уравнений имеем: Б,=В„= 2 — Я вЂ” =Р 2 —— — 2,92 кя.

Р 'т' б (1 — )' 3) 2 > 4 Так как мы получилн отрицательные значения для сил Я> и Я, то выбранные нами направления для этих сил следует изме- нить на противоположные; следовательно, стержни АВ и АС сжаты, а стержень АО растянут, так как реакция этого стержня, как мы и предполагали, направлена от узла А. Глава П ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ й с пвиввдвнив плоской систвмы сил к дднномк цвнтРУ Моментом силы Р относительно данной точки О называется произведение величины силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия этой силы.

Если сила Р стремится вращать тело вокруг данной Рис. 29 точки О в направлении, обратном движению часовой стрелки, то условимся момент силы Р относительно точки О считать положительным; если же сила стремится вращать тело вокруг точки О в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки, то момент силы относительно этой точки будем считать отрицательным. Следовательно, гло(Р) = — Рй (рис.

29, а) то (Р,) = + Р, й, (рис. 29, 6). (1З) Если линия действия силы Р проходит через данную точку О, то момент силы Р относительно этой точки равея нулю. Сложение сил, расположенных как угодно на плоскости, можно выполнить двумя способами: 1) последовательным сложением; 2) приведением данной системы сил к произвольно выбранному центру. Первый способ становится громоздким при большом числе слагаемых сил и неприменим для пространственной системы сил, второй же способ является общим, более простым и удобным.. Если задана система сил Р„ Р„ Р„ ..., Р„, расположенных как угодно в одной плоскости, то, перенося все эти силы в про. пззольно выбранную з этой плоскости точку О, называемую центром приведения, получим приложенную в этом центре силу (11) и пару с моментом Мо= Хгпо(г ).

(!5) Геометрическая сумма сил данной системы называется ~лавным вектором этой системы сил. Алгебраическая сумма моментов сил плоской системы относительно какой-нибудь точки О плоскости их действия называется главным моментом этой системы сил относительно этой точки О. Главный момент изменяется с изменением центра приведения; зависимость главного момента от выбора центра приведении выражается следующей формулой: Мо, = Мо+ п4о, (!4), (!6) где О и О,— два различных центра приведения. Так как сила )х и пара с моментом Мо, получающаяся в результате приведения данной плоской системы сил к центру О, лежат в одной плоскости, то их можно привести к одной силе К* = К приложенной в некоторой точке О".