Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 9

Определить реакции опор тсд и йр вточках А и О, если ~ КВА=-,/ВАК=30", — =— АС 1 'сн 2 А(э и — =2 (рис 36). (зв Р е ш е н и е. Реакция )(р гладкой цилиндрической неподвижной поверхности направлена по общей нормали к поверхности цилиндра н балки, а реакция веревки Т направлена вдоль веревки. Так как натяжение У АА, = АВ згп 30'= —, ЕА= —,=- соз зо' з ~/'з Так как ~ ЕКЕ =,/ КЕЕ =60', то ЕМ = КР соз 30', а КЕ= 1.Е=--~.К. Из равнобедренного треугольника АКВ находим: Л — = АК соз 30', 2 откуда АК= — ' и КЕ= А — == —. Лв 4 ЛВ ЛВ р"з ' зУз рз зь'з ' Следовательно, ЕМ =-= ° — =— ЛВ У 3 ЛВ Подставив значения заданных сил чим: 1) Ул+ — о=65; 2 2) з 14р= — 10.

з+20 о+40 3) Хл = — Я, ° — — 20 — — 40. 4 ! 1 л з у и вычисленных плеч, полу- 1 4 Ф ! 4 — =О. Из третьего уравнения находим Хл. Хл — — (10+ — + — ) ° — = 45 — ' ж 19,46 и. 1о з 1 з ь'з 3 3,) 4 Из второго уравнения находим йр' Вр =- ~10+ — — 5~ ~- — — 12,5 и.

~о ~ з з )'з вь Составим теперь два уравнения моментов относительно точек А и Е и уравнение проекций на ось Ар, не перпендикулярную к прямой АЕ: 1) ~ 'г' = У л -1 Вр соз 60 — Т соз 60' — Я,— Р = 0; 2) ~та — — — 11, з созбО' — Р— сов бО'4 НрАР+ Т АА, =0; лв . лв 3) ~',те=ХдАŠ— Т ЕМ вЂ” Ц, — созбО" — Р— созбО'= —.О. ЛВ „ЛВ Отрезки АА„АЕ и ЕМ найдем из треугольников АА,В, АЕР и ЕМК: Найденные значения Хл и )го подставим в первое уравнение и найдем Ул. Ул — — 65 — 2 58,75 и. гчодуль полной реакции Йл и ее угол ~р с осью Ах определим по формулам: Йл $ Хл+ Ул 1/ 158,75)'+(19,46)' ю61,64 и, гр = агс 1д —, Ул Хл или ~р- агстп 3,01, т. е ~р = 72'.

Пример 21. Однородный стержень АВ весом ГАВ=20 и в точке А закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На стержень АВ действует пара с моментом М= 5 и м, а к концу стержня В привязана у веревка, перекинутая через блок 77, на конце которой ч висит груз весом Р =5 у' 2и. ул Определить реакции шар- -4 нира А и опоры С, если АС = 2ВС =- 40 см, а ~АВ5 =45' (рис. 37). Решение. Реакция Йс опоры С направлена перпендикулярно к стержню АВ. Направление реакции Кл к шарнира А неизвестно; пой этому разлагаем эту реакцию на две составляющие Хл и Ул, направленные по осям координат, причем ось Ак направлена вдоль стержня АВ, а ось Ад перпендикулярна к нему.

Реакция веревки ВВ приложена к стержню в точке В и направлена вдоль веревки. Так как натяжение веревки В7.К во всех ее точках одинаково, то реакция веревки Т равна по величине весу груза Р, т. е. Т вЂ” —. Р, Составим три уравнения равновесия, приравньвая нулю сумму проекций всех спл на координатные оси и сумму моментов этих си.ч относительно начала координат: 1) Хл — Тсоь45'=0; 2) Ул 4 17г — Я вЂ” Тсоь 45'=О, 3) Яс АС вЂ” Т АВ соь45' — Я АŠ— М =О.

Из первого уравнения находим: Х„= Т соз 45' = Р— = 5 н. 3/2 2 Из уравнения (3), в котором АС = 40, АВ =- АС + СВ =- 60 АЕ= — =30, находим: 60Тсоз46'+300+М 3 ),г2Р+ 3 )+ М с= 40 4 4 40 Подставив значение 14 во второе уравнение, получим: 1'2 31'2 3 1 а=Я+Р СОЗ45' — 1~с — — (~+ 2 — — ~ 40, 4 4 или Ркс. 33 )' = — — — — Р— О к'2 А Пример 22.

Вертикальная ось которого равен Р = 12 ки, может и подшипнике В. Груз весом Я =8,4 ки поднимается при помощи веревки, перекинутой через блок Е и идущей к лебедке О, закрепленной на оси крана, как указано на рнс. 38. Определить реакции подшипника В и подпятника А, если центр тяжести С отстоит от оси вращения на рас. стоянии, равном 0,9 м, АВ =12 м н КЕ=4 м (рис. 38). Решен ие. Реакция иа подшипника В перпендикулярна к оси вращения АВ, а реакция Ях подпятника слагается из двух составляющих Хл и У, где Хх— реакция стенок, а Уд — реакция дна подпятника [см.

рис. 16 (8)1. Составим три уравнения равновесия для сил Хю Ую Фв, Р, Я, приложенных к крану, приравнивая нулю суммы проекций этих сил на оси х и у и сумму их моментов относительно 44 — — 1О и. 40 АВ подъемного крана, вес вращаться в подпятнике А точки А: 1) Х,+77„=-0; 3) — Р 0,9 — Я 4 — )7а 12 =-О. Из третьего уравнения находим )тв. Подставляя значение )св в первое уравнение, найдем Хл. Хл= )7в= — 3,7 кн.

Из второго уравнения находим Ул. Ул —— Р+4) =-20,4 кн. П р и и е ч а н и е. Уравнения равновесия можно было составить и в другой форме, приравнивая нулю сумму моментов асех сил, приложенных к крану относительно точек А н В, н сумму проекций втнх сил на ось у: — Наив — Р 0,9 — О 4.=0, Хл19 — Р 0,9 — О 4=-0. Ул Р О=0. а 4.

РАВнОВесие системы, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В случае системы твердых тел, соединенных между собой, силы, действующие на зту систему, можно подразделить на две группы: 1) внешние силы; 2) внутренние силы. Внутренними силами называются силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему. По закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда попарно равны по модулю и прямо противояа у, - ев положны по направлению, но прил ложены к двум разным взаимодей- ствующим между собой телам сир, .

— стены. йта, х ' Внешними силами называютсЯ те силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела этой системы. Рассмотрим, например, систему, изображенную на рнс. 39. Балка АВ весом Р, может вращаться вокруг оси А неподвижного цилиндрического шарнира н концом В опирается свободно на другую балку Сст весом Р„ которая подперта в точке В и соединена со стеной шарниром О, В данном случае система состоит из двух тел: балки АВ и балки Со. Внутренними силами для дгнюй системы являются силы взаимодействия между балками, т.

е. сила У, давления балки АВ на балку С0 и сила У„ с которой балка СР действует на балку АВ. По закону равенства действия и противодействия силы У, и У, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. У, = — М,. Веса Р, и Р, балок представляют собой силы, с которыми эти балки йритягиваются к Земле, и, следовательно, для данной системы являются силами внешними, так как Земля по отношению к этой системе есть внешнее тело.

Реакции Йд и 1То шарнирных опор А и О, а также реакция йа опоры Е являются для данной системы тоже внешними силами, так как шарнирные опоры А и 0 и опора Е не принадлежат к рассматриваемой системе, состоящей только из двух балок. При решении задач на равновесие системы тел необходимо учесть, что все внешние и внутренние силы, приложенные к каждому телу в отдельности, уравновешиваются. Следовательно, в случае плоской системы сил можно составить по три уравнения равновесия для каждого из этих тел в отдельносги, Таким образом, для системы, состоящей из п тел, можно составить всего Зп уравнений равновесия. Поэтому, если число неизвестных сил в данной задаче не более Зп, то такая задача является статически определенной. Если же число неизвестных в задаче окажется больше Зп, то такая задача не может быть разрешена только на основании уравнений статики абсолютно твердого тела и потому является статически неопределенной.

Так как внутренние силы попарно равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки равна нулю и сумма их проекций на любую ось также равна нулю. Поэтому, если составим уравнение равновесия (уравнение моментов относительно какой-либо точки, или уравнение проекций иа какую-либо ось) для каждого тела в отдельности и затем все этн уравнения сложим, то в полученном уравнении члены, содержащие внутренние силы, попарно уничтожаются и, следовательно, в это уравнение будут входить тол ь к о внешние силы.

Таким образом, если система тел находится в равновесии, то внешние силы, приложенные к этой системе, удовлетворяют тем же трем уравнениям равновесия, что и в случае равновесия одного абсолютно твердого тела. Эти уравнения представляют собой условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Из этих уравнений можно найти все внешние реакции, если число этих внешних реакций не больше трех, Если же число внешних реакций окажется больше трех нлн если в задаче, кроме внешних реакций, требуется найти неизвестные внутренние силы, то необходимо применять метод расчленения системы, т. е. нужно рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности н для каждого нз зтнх тел составлять уравнения равновесия, учитывая прн этом все силы, приложенные к рассматрнваемому телу. Если система состоит, например, нз двух твердых тел, то, применяя метод расчленения, получим в общем случае всего шесть уравнений равновесия (по трн уравнения для каждого тела).

Для составления шести уравнений равновесня можно применять еще н другой прием, а именно: составить сначала трн уравнения для всей системы в целом (как для одного абсолютно твердого тела) н затем к этим трем уравненням прнсоеднннть трн уравнения равновесия, составленные только для одного нз двух тел данной системы. Этот второй прнем нередко предпочтительнее, так как в уравнения равновесня, составленные для всей системы в целом, входят только внеизние силы н потому этн уравнения обычно оказываются проще.

Задачи, относящиеся к равновесию системы твердых тел, в зависимости от вида соединения этих тел между собой можно разделить на следующие четыре типа: 1. Задачи, где тела, входящне в систему, опираются свободно друг на друга. 2. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой гибкой нитью нлн невесомым стержнем, концы которого прикреплены к этим телам прн помощи шарниров. 3. Задачи, где тела, входящие в систему, соединены между собой прн помощи шарнира.