Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 10

4. Задачи, относящиеся к определению усилий в стержнях плоской фермы. Задачи типа ! Тела, входящие в систему, оянраются свободно друг на друга (задачи 166, 169, !64, 166-168) В задачах этого типа внутренние силы, т. е. силы давления этих тел друг на друга, направлены по общей нормали к поверхности одного нз этих тел в точке соприкосновения его с другам телом. Пример 23. Однородная горизонтальная балка АВ длнной б м н весом Р, = 2400 и, закрепленная в неподвижной точке А шарнирно, опирается свободно в точке С на подпор.

ную балку СР длиной 5 м н весом Р,=3200 и. Балка С0, составляющая с вертикалью угол а=-бб', закреплена в точке )) прн помощи неподвижного цнлнндрнческого шарнира н удерживается в равновесии прн помощи горизонтальной веревки ДК, причем Е)В=2 м, В точке В к балке АВ приложена сила Р = 1200 н, наклоненная к балке под углом р=б0'. Определить реакции шарниров А и О, натяжение веревки и давление балки АВ на балку СО, если точки А и О лежат на одной вертикали (рис.

40). Рис 40 Решение. Данная система состоит из двух тел: балок АВ и СО. Внешними силами для этой системы тел являются силы Р„ Р„ Р, реакция веревки Т, направленная вдоль веревки, и реакции В, и сТр шарниров А и О. Разложим каждую из этих реакций на две составляющие: вертикальные (Тд и Ур) и горизонтальные (Хи и ХХр).

Для внешних сил, приложенных ко всей системе, можно составить только три уравнения равновесия, а число неизвестных сил равно пяти (Хю 'г'„, Хр, Гр, Т), поэтому расчленим систему, т. е. рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Так как балка АВ опирается на конец балки СО сво бодно, то реакция Йс балки СО, приложенная к балке АВ, направ- С лена перпендикулярно к АВ, т. е. У яс Рис 42 Рис 41 по вертикали вверх. Следовательно, балка АВ находится в равновесии под действием сил Х4, )'и, Р, Рс, Р, (см.

рис. 41). Составим три уравнения равновесия этих сил, приравняв нулю алгебраическую сумму их моментов относительно точек А 61 и С и алгебраическую сумму проекций этих сил на ось к: 1) — Р, — — Р АВ з1п ()+ЯсАС= О; 2) Кл АС вЂ” Р, (АС вЂ” ~) + Р ВС з)п () = 0; 3) Хз — Р соз р О. Но АС=Сс) з1п а =б з)п 60'= —, о 513 2 а потому эти уравнения принимают вид: Р, 'АЗ 5 1'3 — — ' — Р— +К вЂ” =О, 2 2 с12= у 513 р (53~3 3)+Р(6 5$3) ) 3 О Хз Р 0 Из этих уравнений находим: Хл= 2 — — 600 и, )с = '+ ) 6 3100,8 и. 5 )ГЗ )'л — Р,(1 — ) — Р(5 — — )=(96 — 36$/ 3) 10~337,2 н.

Далее рассмотрим равновесие балки С17 под действием сил Х„, Гр, Р„Т, йс, где )7с — давление балки АВ на балку СР, причем по закону равенства действия и противодействия К =- — Кс. Составим три уравнения равновесия сил, прило- женных к балке С0, приравнивая нулю алгебраическую сум- му моментов этих сил относительно точки А и алгебраическую сумму их проекций на оси х и у (см. рис. 42): 4) Х, — Т=О; б) Ур — Рв — Ас=О' 6) — Р, — з1п а — )7с 0С з)п а + Т 0Е = О. ВС Из этих уравнений находим: 2' = ~ †' + )тс) — з(п а = (1600 +3100 8) = 10,17 кн, Хр —— Т=10,17 кн, Ур=Рв+Ос=6,3 кн. Задачи типа !! Тела, входввеие в систему, соединены между собой гибко» нитью нли невесомым стержнем, концы которого прикреплены к атим телам прн помощи шарниров (задачи 1ВВ, 182, 1ВЗ) В задачах этого типа реакции нити или стержня, направленные вдоль этой нити или вдоль этого стержня, являются внутренними силами.

Пример 24. В шестизвенном механизме к кривошипу ОА приложена пара сил с моментом т, вращающая этот кривошип против часовой стрелки. Стержень АВ соединен шарнирно с кривошипом ОА и коромыслом ВС, причем коромысло ВС может Рвс. 48 вращаться вокруг неподвижной точки С. Стержень ЕР соединен шарнирно концом Е с серединой звена СВ, а концом Р— с ползуном, который может перемещаться в горизонтальных направляющих. Определить, какую горизонтальную силу Е следует приложить к ползуну Р, чтобы механизм оставался в равновесии, а также реакции шарниров О и С и реакцию горизонтальных направляющих ползуна Р, если ОА ~ АВ, ~АВС=-б0', ,l РЕС=90', кривошип ОА вертикален. Весами всех звеньев механизма пренебрегаем; т=-30 н.м, ОА = 0,5 м (рис.

43). Решение. Система состоит из трех тел: кривошипа ОА, коромысла СВ и ползуна Р, соединенных между собой шарнирно невесомыми стержнями АВ и РЕ. Поэтому расчленим систему и рассмотрим равновесие каждого из этих тел в отдельности. Реакции В, и Я, невесомого стержня АВ, приложенные к звеньям ОА и СВ соответственно в точках А и В, направлены вдоль стержня АВ в противоположные стороны и равны по модулю, т. е. 3,= — 8,. Точно так же реакции Я, и 5, невесомого стержня ЕО, приложенные соответственно в точке Е к коромыслу СВ и в точке О к ползуну, направлены вдоль стержня ЕО в противоположные стороны и по модулю равны, т. е. 5, = — 5, (см.

рис. 16(7)). Реакцию каждого из шарниров О и С разло- жим на составляющие: вертикальную (У и У ) н горизонталь- ную (Хо и Х ). Нормальная реакция )т' горизонтальных направляющих ползуна вертикальна; предположим, что оиа направлена вверх. Для определения всех неизвестных сил составим уравнения равновесия для каждого из трех указан- ных тел: кривошипа ОА, коромысла СВ и ползуна Вч а) для крнвошипа ОА (два уравнения моментов относи- тельно точек О н А и уравнение проекций на ось у): 1) т — 5,ОА =О, 2) и+ ХоОА = О, 3)У =О; б) для коромысла СВ (два уравнения проекций на оси х и.у и уравнение моментов относительно точки С): 4) Хс — 5,+5,соз(90' — 60') =О, 5) У вЂ” 5, соз60'=О, 6) — 5,СЕ + 5,СВ з1п 60' = 0; в) для ползуна (только два уравнения проекций на оси х и д, так как силы, приложенные к ползуну, пересекаются в одной точке): 7) 5,сов 30' — Р=О, 8) 5, сов 60" -1- М = О.

Из первого и, шестого уравнений находим: 5,= — =60 и, т ОА 5,=5,У 3; так как 5,=5, и 5,=5„ то 5,=60 и и 5,= 5,=.60$' 3 и. Далее из четвертого и пятого уравнений находим Х и У, а из седьмого и восьмого уравнений Е и Л'. с= 2 — — 30 У 3=51,9 и* Хс — — 5а 5з 2 =60 — 3ОУ 3 У 3= -33 и, Е=5ф=90 )у= — 2' — — 30~ 3= — 51,9 и. Знаки минус, полученные для У и Х, указывают, что направ- ления этих сил противоположнь1 указанным на рисунке.

Задачи типа 111 Тела, входящие в систему, соединены между собой шарнирна (задачи 110 †1, 143, 147 †1) В этом случае внутренняя сила, т. е. сила, с которой одно тело действует на другое, приложена в центре шарнира, но направление ее неизвестно.

Поэтому при решении таких задач эту силу разлагают па две составляющие, направленные по координатным осям. Из задач этой группы следует особо отметить важный частный случай, а именно: система состоит из двух тел с тремя шарнирами, из которых два являются неподвижными опорными шарнирами, а третий соединяет эти два тела между собой, например, в случае трехшарнирпой арки (рис, 44). Если трех- шарнирная арка находится в равновесии под действием плоской системы сил, то можно составить всего шесть уравнений равновесия (по три уравнения для каждой части АС и ВС арки в отдельности). Рнс. 44 Так как направление реакции в каждом из трех шарниров А, В и С неизвестно, то при решении задачи о равновесии трехшарнирной арки каждую из этих реакций нужно разложить на две составляющие (по координатным осям х и у). Следовательно, всего будем иметь шесть неизвестных реакций, которые можно найти из шести уравнений равновесия.

Таким образом„ задача о равновесии трехшарнирной арки является статически определимой. Пример 26, Две однородные балки АВ = 4 ж и весом Р, = 60 н и ВС.=З м и весом Р,=40 н соединены в точке В шарнирно. Первая балка горизойтальна и концом А заделана жестко, а вторая концом С свободно опирается на гладкую наклонную плоскость с углом наклона а=30'. Определить реакции в точках А и С, если ~ АВС=120' (рис. 45). Реше н ие. Данная система состоит из двух тел: балок АВ и ВС.

Реакция 14 наклонной плоскости направлена перпендикулярно к этой плоскости, а реакция заделки эквивалентна силе 11л, приложенной в точке А, направление которой неизвестно, и паре сил с неизвестным моментом лт (см. рис. 16(10)1. Обозначая составляющие силы Йл по координатным осям через Хл и Гл, составим три уравнения равновесия внешних сил, приложенных а данной системе: уравнения проекций 4 ааа, ЗЗ74 на оси х н д и урзвненне моментов относительно точки В: 1) Ха 4 й соя 60'=О, 2) Ул+ Кс сов 30' — Р,— Р, =О, 3) Р, — — УДА — Р, — сов 60'+ 14 . В К+ т = О, где ВК ) й .

Так как в этим трех уравнениях число неизвестных равно четырем (Хю Ую Яс, и), то для решения задачи необходимо данную систему расчленить в шарнире В и рассмотреть равновесие одной из балок в отдельности. При этом достаточно составить только одно уравнение равновесия для этой балки. В данном случае проще всего составить уравнение 1 1р Рис 45 моментов относительно точки В для балки ВС, так как неизвестная реакция шарнира В в это уравнение не войдет. Составляя это уравнение, получим: 4) — Р, —,сов 60'+ ВсВК=О. Отрезок ВК найдем из прямоугольного треугольника ВСК, в котором МВСК= 60', ВК=ВС сов 30', а потому )гс= Р,— — = — ж 11 52 и.