Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 4

Равновесие сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости. Задачи, относящиеся к первому типу, можно подразделить по характеру связей, наложенных на данное тело, иа две группы: 1. Задачи, в которых линии действия всех реакций связей, наложенных на данное тело (равновесие которого рассматривается в задаче), известны. К таким связям относятся: а) невесомый стержень, одним концом шарнирно соединенный с данным телом, а другим концом закрепленный при помощи неподвижного шарнира; б) неподвижная гладкая поверхность или неподвижная гладкая линия, на которую опирается данное тело; в) гибкая нить (канат, трос); г) цилиндрический подшипник, ось которого расположена в плоскости действия заданных сил. 2.

Задачи, имеющие хотя бы одну связь, наложенную на данное тело, направление реакции которой заранее неизвестно. Такими связями являются неподвижный цилиндрический шарнир и подпятник. 9 задачах, относящихся к равновесию несвободного тела под действием системы сходящихся сил, не лежащих и одной плоскости, связи, наложенные на это тело, чаще всего осуществляются гибкими телами, шарнирно закрепленными стержнями и неподвижными опорными плоскостями. В этих случаях линии действия реакций всех связей известны и, следовательно, задача сводится только к определению модулей этих реакций. При решении задач, относящихся к равновесию несвободного твердого тела, надо придерживаться следующего общего плана.

Необходимо выделить тело, равновесие которого будем рассматривать в данной задаче, т. е. то тело, к которому приложены как заданные силы, так и те силы, которые требуется определить в данной задаче. Лалее необходимо выяснить, какие связи наложены на рассматриваемое тело, и учесть реакции этих связей. При этом рекомендуется начертить выделенное тело, изобразить на чертеже в виде векторов заданные силы и реакции связей и установить, каким уравнениям равновесия должна удовлетворять эта система сил, а затем составить и решить зти уравнения. Рассмотрим сначала решение таких задач, когда все приложенные к телу силы, включая и реакции связей, пересекаются в одной точке н лежат в одной плоскости. В этом случае задачу можно решить двумя способами: или геометрическим (графически), или аналитическим (по способу проекций).

Задачи типа 1 Равновесие плоской системы сходящихся сил Первая группа Задачи, в которых линии действия реакций всех связей известны (задачи 17 — 2Ц 26 — 32)* Пример 8. Плоская ферма, состоящая из невесомых стержней, соединенных между собой по концам шарнирно, находится в равновесии под действием сил Р, и Е„причем сила Е, горизонтальна, а сила Е, составляет со стержнем Ег) угол а= =45'. Определить усилия в стержнях 1, 2, 3 и 4, если Е,= =30 кн, Е, = 20 кн (рис, 17). Решение. Рассмотрим сначала узел О; к этому узлу, находящемуся в равновесии, приложены заданная сила Е, и неизвестные реакции стержней 1 и 3, которые обозначим через ' Здесь и дальше е тексте указаны номера задач нз «Сборника задач по теоретической механикса И.

В. Мещерского, иэд. 1960 г. н последующих изданий. Я, и Я,. Так как весом стержней пренебрегаем, то эти реакции направлены вдоль соответствующих стержней (см. стр. 20, п. 7). Таким образом, узел 1) находится в равновесии под действием трех сил Р„Я, и Я„поэтому Р, +Я, +Я,=О. Далее задачу можно решйть либо геометрическим способом, либо аналитическим. Решим сначала эту задачу геометрическим способом. Построим замкнутый силовой треугольник, начав его построение с известной силы Рг Из произвольной точки а проведем вектор пЬ, параллельный данной силе Р„длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы. Через точки а и Ь проведем два луча, параллельные силам Я, и Я„до их пересечения в точке с.

Треугольник аЬп и есть искомый замкнутый сило- 72 Г вой треугольник. Чтобы найти направление неиз- Е г вестных сил Я, и Я„нужно обойти силовой треугольник по его периметру так, к1 чтобы он замкнулся; направление этого обхода га. определяется направлением известной силы Р,. Из- ,!и 4~ мерив длину сторон Ьс и за' са силового треугольника выбранной единицей масштаба, найдем числовое Рис.

!7 значение снл Я, и Я,. Модули неизвестных сил Я, и Я, можно также найти тригонометрически из треугольника аЬс, в котором известны сторона аЬ= =Р, и два угла: ~аЬс= 120' (углы аЬс и ОВА равны как углы с параллельными сторонамн) и,/асЬ = 30' (см. рис. 17 и 18). Из этого треугольника находим: 3, Я, Р, и!и !20" Мп 30' мп 30' ' а потому и!и 60' ' и!п 30' или Я,=Р, =30 кн, Я, =Р, )'3=51,9 кн. Мы нашли реакции Я, и Я, стержней 1)Е и 0К, т. е. те силы, с которыми эти реакции действуют на узел О.

Важно при этом выяснить, будут лн стержни х)Е и ОК работать иа растяжение или на сжатие. Для этого рассмотрим равновесие каждого стержня отдельно; начнем со стержня РК (рис. 19, а). Реакция стержня РК, приложенная к узлу Р, направлена от узла Р внутрь отрезка РК. Но тогда сила 5„ с которой шарнир Р действует на стержень РК, или иначе — реакция шарнира Р, приложенная к стержню РК, равна по модулю и противоположна по направлению силе 5„т. е. 5, = — 5,. Стержень РК находится в равновесии под дсисгвнем двух сил: реакции 5, шарнира Р и реакции шарнира К, которую обозначим через 5,.

Отсюда следует, что силы 5', и 5„направленные по одной прямой, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. 5,= — 5,. Силы 5, и 5„приложенные к концам стержня Рис. 19 КР, вызывают, очевидно, растяжение этого стержня. Отсюда заключаем, что если вектор 5„изображающий реакцию стержня КР на шарнир Р и показанный иа самом стержне, направлен от узла Р, то стержень растянут. Теперь рассмотрим стержень РЕ(рис. 19,б). Реакция 5, этого стержня на шарнир Р, начерченная на самом стержне РЕ, направлена, как видно, к шарниру Р. Аналогично предыдущему заключаем, что реакция 5, шарнира Р на стержень РЕ, приложенная к этому стержню, будет равна по модулю и прямо противоположна по направлению силе 5„т.

е. 5, = — 5,. Так как стержень РЕ находится в равновесии, то реакция 5, шарнира Е, приложенная к этому стержню, равна по модулю и прямо противоположна по направлению силе 5„т. е, 5, = — 5,. Очевидно, что силы 5, и 5„приложенные к стержню РЕ, сжимают этот стержень. Поэтому можно сказать, что если вектор 5„изображающий реакцию стержня РЕ на шарнир Р и начерченный иа самом стержне, направлен к узлу Р, то стержень сжаа1. Таким образом, сформулируем следующее правило: у(+) силы на ось равно произведению модуля этой силы на косинус острого угла между направлением силы и осью проекций.

При этом, если направление силы составляет острый угол с положительным направлением оси проекций, то проекция силы на эту ось положительна.Если же направление силы составляет острый угол с отрицательным направлением оси проекций, то проекция силы на хЯ эту ось отрицательна. Рис. 20 Сила Р, совпадает с отрицательным направлением осп Рх, а потому проекция ее на эту ось равна модулю самой силы, взятому со знаком минус, а ее проекция на ось Ру равна нулю. Сила 5, составляет острый угол 30' с положительным направлением оси Рх и острый угол 60' с положительным на.

правлением оси Ру, а потому 5,„=-5,соз30', 5, =5,соз60', Сила 5, составляет острый угол 60' с отрицательным направлением оси Рх и острый угол 30' с отрицательным направлением оси Ру, а потому 5ии 5и с оз 60 51 у 5~ соь 30 При равновесии тела сумма проекций всех приложенных к телу сил на каждую из координатных осей равна нулю. Таким образом, получим два следующих уравнения равновесия: 1) — Е, + 5, соз 30' — 5, соз 60' = О, 2) 5, соз60' — 5, соз30'=О, или 1) 5, ) 3 — 5,=-2Ео 2) 5,=5, $' 3. Если изображенный на самом стержне, вектор сильк с колюрой данный стержень действует на шарнир 1узел), направ. лен от шарнира 1'от узла), то стержень растянут. Если же втат вектор направлен к шарниру ('к узлу), то стержень сжат.

Рассмотрим далее аналитический способ решения этой задачи. Направим ось Рх по линии действия силы Р„а ось Ру перпендикулярно к ней, как показано на рнс. 20, и найдем проекции всех сил, приложенных к шарниру Р на эти оси. Известно, что абсолютное значение проекции Решим теперь эту систему уравнений относительно неизвестных5, иЯ,: 5,=Р, =30 кн, 5, =5, Р 3=-51,9 кн. Чтобы определить усилия в стержнях Я и 4, рассмотрим узел Е, находящийся в равновесии под действием заданной силы Р, и трех реакций стержней l, 3, 4, направленных вдоль этих стержней. Неизвестные реакции стержней Я н 4 обозначим через 5, и 5„ направив их от рассматриваемого узла Е. Что касается реакции стержня 1, приложенной к узлу Е, то по закону равенства действия и противодействия она равна по модулю и противоположна по направлению силе 5, т.

е. равна силе 5,. Следовательно, 5,+5,+5„+Р,=-О. Для определения неизвестных сил применим сначала аналитический способ решения за- дачи. Для этого выбе! уРО рем оси координат, как указано на рис. 21, и най! дем проекции каждой силы на эти оси. Тогда имеем: 5,„= — 5, соз 30', Яхх= О, Рхх= Рхспз75 1 — 5, соз 60', 5, = — 5„ Р, = — Р, соз 15', — 5, соз 30', — Я, соз 60'.