Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 3

15 плоскости и не пересекающимся в одной точке, то сначала продолжим гпи направления так, чтобы оии попарно пересекались в трех точках А, В и С, а за)ем перенесем заданную силу Р по линии ее действия в точку пересечения с одним из трех заданных направ- г в, лений, например в точ- 4 С ку В, пересечения линии действия силы Р с прямой АС (рис. 13). Точку В, соединим с л ~~ С Ри~. !3 Рис !2 точкой В пересечения двух других заданных направлений АВ и СВ и разложим силу Р по направлениям АС и ВВ,.

Тог- Рз~ !4 Сила Р, и есть одна из трех искомых силы Р, направленная вдоль АС. Остается перенести по линии ее действия в точку В и да 7=~,+Р,. составляющих теперь силу !т, разложить ее по направлениям АВ и СВ Тогда В,=-Р, РЕ,. Силы Е, и Е, определяют искомые составляющие силы Е, направленные вдоль прямых АВ и ВС.

Пример б. К горизонтальной балке АВ, подвешенной на трех канатах АС„ЕР и ВК, составляющих с прямой АВ,углы 120', 90' и 30', в точке М приложена вертикальная сила Е, равная 0,8 кн. Определить усилия, растягивающие канаты, если АМ =. =МЕ=ЕВ=1 м (рис. 14). Решение. Для определения искомых усилий нужно разложить силу Р на три составляющие, направленные вдоль канатов АС, ЕР и ВК. Для зтого продолжим линию действия силы Р и прямую АС до их пересечения в точке А„а прямые ЕР и ВК вЂ” до их пересечения в точке В,. Соединив точки А, и В„перенесем силу Р в точку А, и разложим ее на две составляющие 5, и Т„направленные по прямым А,А и А,В,.

Применяя формулу (3) к построенному параллелограмму сил, получим: 3, т, вю(30 +а) в(п30 в(па' = — = —, где ~а= ~МА В. в и Отсюда находим Д в(п 30' мп (30'+а) ' Т л и!и а в(и (30'+ а)' )3йлее перенесем силу Й, в точку В, и разложим ее на две составляющие Т, и Т„направленные вдо;!ь прямых В,Е и ВВ,. Так как сила Т, составляет с силами Т, и В, соответственно углы а и б0', то по формуле (3) получим: 3, Т, т, в(п 60" всп (60' — а) в(и а ' откуда в(и (60' — а) Т =В ми 60' Подставив найденное значение силы Я„получим! 1' 3+с(па Т р'з — (яа ((+ 1' 3(яа)Ф 3 Т, — = Р, (У 3+с(па) 1' 3 2. Зак, 2374 П где А,о, тй и— 'г' я,в,' — 1 1'' л,с,'+ с,н',— 1 Из прямоугольных треугольников АВС„ВЕВ„АМА, нахо- дим: ВС, =АВ сов ЗО', АС, = — АВ з1п ЗО', ВВ, = —,~-",р, АА,=2 АМ, а потому В,С, = ВС,— ВВ„А,С, = АА,— АС„ т.

е. откуда Т = — В 4 'г~3 Т = — г". 4 9 искомыми силами, растягива- рве 15 Силы Т„Т, и Т, являются ющими канаты СА, ЬЕ и ВК. Пример 7. Три невесомых собой в точке В. Стержни АВ стержня соединены межами и ВС лежат в координат~ плоскости гОх и составляют с осью х углы и н р, а стержень ВО расположен в плоскости гОу и составляет с осью Ор угол у. К узлу В приложена сила Р, параллельная оси р. Определить силу Во растягивающую стержень ВО, и силы 5, и Й„сжимающие стержни АВ и ВС (рнс.

15). Р е ш е н и е. Так как плоскость гОВ, в которой лежат сила г" и прямая ВО, пересекается с плоскостью гОх, в которой расположены стержни АВ и ВС„по прямой Ог, то раз- ложим снпчача силу Г на две составляющле 3, и Г, направленные по прямым ВВ и ВО. Из построенного прямоугольного треугольника с углом у находим: В = —, р =Втду. Р СОСУ' Лля определения сил В, н Во действующих на стержни ВА и ВС, следует разложить силу г", по направлениям этнх стержней, построив соответствующий параллелограмм сил.

Из этого параллелограмма, заметив, что углы, образуемые силой г", с силами 5, и В„равны соответственно 90' — а и 90' — р, по формуле (3) находим: Гг 85 Зг гпп [!80' — (а -(- р)[ Оп (90' — [)) Мп (90' — а) ' о» ог 5)п (а+[)) спг Р со»О откуда Рг с05 Р Рг ггп (а+ р) мо а+ соп а (Ч [) ' Гг С05 а рг 500(а+[)) мп Р+согр(иа Таким образом, В = —, с С«5У ' г (я у ггп а+ сог а (я р В Р(ку ап р + соп [) (к а й 3. СВЯЗИ И РЕАКИИИ СВЯЗЕЙ При решении задач по статике, относящихся к равновесию твердого тела, почти всегда рассматриваемое тело является несвободным. Условия, стесняющие свободу движения рассматриваемого тела, называются в механике связями.

В статике связ«осуществляются при помощи твердых или гибких тел, соединенных с данным твердым телом или касающихся его. Обычно задача состоит в определении сил взаимодействия между данным твердым телом и телами, осуществляющими связи, наложенные на это тело. Сила, с которой связь, препятствующая перемещению данного твердого тела в каком-нибудь направле. нии, действует на зто тело, называется реакцией связи. Напраа.

ление реакции связи противоположно тому направлению, в котором связь препятствует перемещению данного тела. 2» 19 Осмовяые типы связей Основные типы связей показаны на рис. !6. Е Тело опирается на абсолютно твердую гладкую яеподвижную поверхность в точке А. Реакция У такой поверхности направлена по общей нормали к поверхности данного тела и к опорной поверхности в точке А соприкосновения тела с опорой. 2. Тело опирается на неподвижную точку или на неподвижную линию.

Если трением пренебречь, то в этом случае реакция связи У приложена к телу в точке соприкосновения его с опорой и направлена по нормали к поверхности тела в этой точке. 3. Тело опирается одной точкой на гладкую неподвижнуюповерхность. Реакция связи М в этом случае приложена в точке соприкосновения тела с поверхностью и направлена по нормали к этой поверхности. 4.

Связь осуществляется гибкой, нерастяжимой нитью (цепью, илн канатом). Реакция этой связи прилажена в точке прикрепления нити к телу и направлена вдоль нити. При этом следует отметить, что нить может быть только растянута. Поэтому реакция нити может быть направлена вдоль нити только в одну сторону, а именно от точки закрепления нити на данном теле к другому закрепленному концу нити. 5. Тело опирается на гладкую неподвижную плоскость катками, которые могут перемещаться по этой плоскости.

Реакция Ял такой опоры направлена перпендикулярно к плоскости, по которой могут перемещаться катки. 6. Связь осуществляется при помощи неподвижного цилиндрического шарнира. В этом случае рассматриваемое тело может только вращаться вокруг неподвижной оси цилиндрического шарнира. Если трением в шарнире пренебречь, то реакция неподвижного цилиндрического шарнира направлена по нормали к его цилиндрической поверхности, т. е. лежит в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, и пересекает эту ось.

Но направление реакции шарнира в этой плоскости заранее неизвестно; это направление приходится определять в каждом отдельном случае, т. е. в каждой конкретной задаче. 7. Связь осуществляется при помощи невесомого твердого стержня, шарнирно соединенного концами с данным телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим каким- нибудь телом, например со стойкой, стеной илн полом; причем никакие заданные силы к этому стержню яе приложены ~его весом пренебрегаем). Реакция ТЬ ~акого стержня, приложенная к данному телу, направлена вдоль стержня. При этом стержень может подвергаться как сжатию, так и растяжению. 8. а) Связь осуществляется при помощи подпятника. Подпятник А служит для укрепления пяты стойки и допускает только одно перемещение рассматриваемого твердого тела, а именно вращение этого тела вокруг оси стойки.

Основание подпятника препятствует перемещению тела по вертикали вниз (вдоль оси стойки), а стенки подпятника препятствуют перемещению тела в плоскости, перпендикулярной к оси стойки. Реакция Ед основания подпятника направлена по вертикали вверх, а реакция стенок подпятннка лежит в горизонтальной плоскости, но направление ее в этой плоскости в общем случае неизвестно, поэтому при решении задач се нужно разложить на две составляющие по направлениям осей к и у, перпендикулярным к оси Аг стойки.

б) Связь осуществляется прн помощи неподвижного цилиндрического подшипника. Подшипник В не препятствует вращению тела вокруг оси Аг и скольжению вдоль этой оси. Если трением пренебречь, то реакция Кз подшипника (реакция цилиндрической поверхности его стенок) пересекает ось вращения тела и лежит в плоскости, перпендикулярной к этой оси; так как подшипник не препятствует скольжению тела вдоль оси вращения, то нет и реакции, направленной вдоль этой оси.

9. Связь осуществляется при помощи сферического шарнира. Сферический шарнир не препятствует вращению тела вокруг любой оси, проходящей через центр 0 этого шарнира (точку О). Реакция сферического шарнира проходит через центр шарнира О, а направление ее заранее указать нельзя. Поэтому при решении задач эту реакцию приходится разлагать на три составляющие по направлениям выбранных осей координат. 10. Если балка АВ, расположенная с приложенными к ней заданнымн силами г„г„...

в плоскости хАу, закреплена концом А жестко, т. е. заделка в точке А препятствует как поступательному переме цению балки в любом направлении в плоскости хАя, так и вращательному движению вокруг оси Аг, перпендикулярной к плоскости хАу, то реакция заделки эквивалентна силе Фд, приложенной в точке А, направление которой заранее неизвестно, и паре сил с моментом и, причем силу )г д можно разложить на составляющие, направленные по осям х и у, т. е.

1сд =Хд +Гд. й 4. РАВИОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ Для того чтобы система сходящихся сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно равенство нулю равнодействующей этой системы сил. Это условие можно выразить одним векторным равенством (11) или тремя скалярными равенствами: ~Х, =б, ~У, =б, 'У, =б, где Х,, 1',, 2; †проекц силы Р, на координатные оси. Если уравновешенная система сходящихся сил является плоской, то вместо трех равенств (12) будем иметь два: (12) (12') Уравнение (11) выражает условие замкнутости многоугольника данных сил, т. е.

условие равновесия сходящихся сил в геометрической форме. Уравнения (12) выражают условия равновесия системы сходящихся снл в аналитической форме. Задачи статики, относящиеся к равновесию несвободного твердого тела, можно классифицировать, во-первых, по расположению линий действия сил, приложенных к рассматриваемому телу, и, во-вторых, каждую такую группу задач можно подразделять на отдельные виды по характеру связей, наложенных иа данное тело. В этом параграфе мы рассмотрим равновесие системы сходящихся сил. Задачи на равновесие системы сходящихся сил можно разделить на следующих два типа: 1. Равновесие плоской системы сходящихся сил. П.