Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике

Т. Б. Айзенберг, И, М. Воронков, В. М. Осецкий УКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ М Е Х А Н И К Е Под редакцией проф. И, М. Воронкова ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, С ГЕРЕОТИ!1ИОЕ Лопуигено Министерством внсшего и среднего спеииольного образования СССР в качестве учебного пособия для студентов витиия технических учебных заведений издАтелъстВО чВЪГОШАЯ ШКОЛАя МОСКВА — И88 ПРЕДИСЛОВИЕ Важной задачей при изучении курса теоретической механики является самостоятельная работа студентов Особую актуальность она приобретает в последнее время, в связи с сокращением для ряда специальностей числа ауди.

торных часов отводимых на теоретическую механику Поэтому возникает потребность в учебным руководствах и пособиях которые обсегчат студентам самостоятельное изучение теоретнче ских разделов курса н помогут им научиться самостоятельно при. менять теорию к решению практических задач. Основная цель настоящего пособия — помочь студенту при обрести навыки в решении задач по теоретической механике. Пособие предназначается главным образом для студентов заочных и вечерних отделений высших технических учебных заведений, но оно может быть также полезным и для студентов очного обучения. Объем и расположение материала в пособии в основном соответствует «Курсу теоретической механики» проф.

И. М. Ворон. кова и «Сборнику задач пП теоретической механике» проф. И. В. Ме. щерского. Для облегчения пользования пособием каждому разделу предшествуют краткие сведения по теории и основные формулы, необходимые для решения последующих задач, а также даются соответствуя щие методические указании. Большое внимание уделено подбору задач, их классификации и методам решения. Разобранные в пособии задачи в подавляю. щем большинстве составлены специально для данного руководства. Они не дублируют задачи иэ сборника И. В. Мещерского но охватывают основные типы задач этого сборника (в соответст. вии с обычными программами по теоретической механике).

!' 3 При подготовке в печать этого издания учтены замечания к предыдущим изданиям руководства и внесены следующие исправления и дополнения: уточнена классификация задач по всем трем частям курса, в связи с чем увеличено число рассматриваемых задач", некоторые задачи заменены новыми, введены новые параграфы (разложение силы на составляющие, аналитические методы расчета 4ерм), заново написаны 4 2 гл. ! и $ 3 гл.

!'ч' раздела 1, а ~акже з 4 гл. !!! н гл. Ч раздела !!. раздел 1 СТАТИ КА Глава 1 СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ й 1. СЛОЖЕНИЕ СИЛ, СХОДЯЩИХСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ Слояенне двух снл, сходнщнхсн в одной точке Равнодействующаятс двух сил Р, и Р„приложенных в одной точке и направленных под углом а друг к другу, равна геометрической сумме этих сил и изображается диагональю параллелограмма, построенного на силах Р, и Р, (рис. 1), т, е. / Д =- Р, + Р,. (!) Модуль равнодействующей определяется по формуле (2) > Рнс. 1 а направление ее определяется углами р и у между силами Р, и Р, и равнодействующей й, которь1е можно найти по те. ореме синусов: Р, Р, в1п Е ем т е!и (1 ВО' — п) или Р', Р, Д яп й,яп т ядп Если силы Р, и Р, и угол а между ними заданы, то сна- чала по формуле (2) находим модуль равиодействуюсцей, а за тем, подставив се значение в равенства (3), найдем з1п 3 и з1п'у. а следовательно, и углы () и у.

При графическом определении равнодействующей двух схо- дящихся сил Р, и Р, не следует строить весь параллелограмм; достаточно нз конца силы Р, провести вектор, параллельный и равный второй силе Р,. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии, изображает ис- комую равнодействующую Й двух данных сил Р, и Р,, Вектор АС=)с называется замыкающей стороной силового треугольника АВС (рис. 2).

Если две слагаемые силы Р, и Р, равны по модулю, то па- раллелограмм, построенный на этих силах, является ромбом, а равнодействующая — диагональю это- 8 го ромба. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их 6 пересечения делятся пополам,то равнодействующая, изображаемая вектором Ю г й АС, делит вторую диагональ ВО пополам, перпендикулярна к ней и, кроме того, сама делится пополам в точке О. Следовательно, для того чтобы найти равнодействующую двух равных по модулю сходящихся сил, достаточно построить вектор АО, соединяющий точку прило- жения слагаемых сил с серединой отрезка, соединяющего концы этих сил, и затем этот вектор удвоить, т. е.

г( = 2АО. Модуль силы И равен И =2 Рсоа ~, в ' где а — угол между силами Р, и Р, (рис. 3). Это свойство дальше будет использоваться при нахождении равнодействующей двух равных сходящихся сил. и с % 'з а й ф и с я Рис. 4 Рис 3 Пример 1. Как относятся модули сил Р, и Р„если угол между ними равен 135', а равнодействующая равйа по модулю меньшей силе (рис. 4)1 Решение. Пусть векторы АВ и АС изображают искомые силы Р, и Р„причем Р,(Р, и ~САВ=135'. Тогда диагональ А0 параллелограмма АВОС, построенного на этих силах, есть равнодействующая сил Р, и Г„т.

е. К=Р, +Р,= А0. По условию задачи К = Р„или А0 = 0В; следовательно, треугольник АВ0 — равнобедренный. Отсюда следует, что ~ ВАР= ~ АВ0. Но ~~ ВАС+~~ АВ0 = 180', откуда ~ АВ0= 180' — ~ ВАС=180' — 135'=45' и, следовательно, ~~ВА0=45' и ~ А0В=90'. т.

е. треугольник АВ0 — прямоугольный, а потому Р, ВР ° о У2 г в ып45 Р, АВ 2 но К =.Р„а потому Р', =- Р,'+ Р, *— 2Р, Р, соз 45', Р, = 2Р, соз 45' = Р, Р 2, откуда т. е. Г ~'= Р'2. Пример 2. Веревка 0АВС, перекинутая через блок, закреплена одним концом С неподвижно; ко второму концу 0 этой веревки подвешен груз М весом Ян, Найти давление, пере. даваемое на ось блока, н угол, который сила давления образует с горизонталью. Угол а между веревкой ВС и горизонталью задан (рис.

5). Решение. В точке А к блоку приложена сила Т, натя. жения веревки А0, а в точке  — сила Т, натяжения веревки ВС, причем эти две силы по величине равны, так как иа. тяжение веревки 0АВС во всех ее точках одинаково. Эту же задачу можно решить, пользуясь формулой (2). Действительно: К = 1' Р; -~- Р, '+ 2Р, Р, соз 135', Продолжим прямые А0 и ВС до пересечения в точке Е и перенесем силы Т, н Т, по линиям нх действия в эту точку Е. Тогда получим две равные силы Т, и Т„пересекающиеся под углом 90' — а в точке Е.

Найдем их равнодействующую, для чего построим на этих силах параллелограмм. Так как эти силы равны, то полученный параллелограмм является ромбом и равноденствующан направ! лена по биссектрисе угла АЕВ, т. е. проходит через точку О. Величину этой равнодействующей найдем по формуле (б) гл г, М'х 1 'Я = 27, соз (=) Так как сила натяжения 7, веревки АВ равна весу груза М, то Т,=Я, а по- тому Я = 2 Я соз (46' — — ") Сила К и есть искомое давление, передаваРис. 5 емое на ось вращения блока. Теперь находим угол и между силой Я н горизонталью: 2 2 2 ' Сложение нескольких сил, сходнщихсн в одной точке и лежащих в одной плоскости Равнодействующую нескольких си.н, сходящихся в одной точке, можно определить способом последовательного сложения.

Равнодействующая такой системы сил равна геометрической сумме этих сил, т, е. Э У=Хе';, (6) я кх и выражается по величине и направле- Г нию вектором, замыкающим ломаную линию, стороны которой параллельны и равны данным силам. На рис. 6 пока- 4~ заио сложение четырех сил. Многоуголь- о' ннк АВСОЕ называется силовым многоугольником. Рнс.

6 Таким образом, применяя правило силового многоугольника, равнодействующую силу лсожно найти при помощи геометрического построения (графически). Равнодействующую системы сходящихся сил можно опреде- лить и аналитическим способом (способом проекций). При этом пользуются теоремой о проек(гии равнодействующей силы на данную ось, согласно которой проекция равнодействующей на данную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых свл на ту же ось. Применяя эту теорему для случая плоской системы сходящихся сил, находим проекции равнодействующей этих сил на две координатные оси х и у: Ю„=',», Хо я, =- ~ч,уг (7) По этим проекциям определяются модуль и направляющие косинусы равнодействующей по следующим формулам: 1( = Р'(~Х,.)'+ (~ У,.)', с соз(Я, 1) =~ — '; "сов()с, 1) = —,', (8) Таким образом, при решении задачи о сложении сходящихся сил, лежащих в одной плоскости, аналитическим способом сначала нужно выбрать систему координатных осей х и у, найти углы каждой силы с координатными осями и вычислить проекции каждой силы на эти оси.

При вычислении проекции данной силы на ось необходимо иметь в виду, что абсолютное значение этой проекции равно произведению модуля силы на косинус острого угла между силой и осью проекций. При этом если направление этой проекции совпадает с положительным направлением оси, то проекция положительна; в противном случае проекция отрицательна (рис. 7). Иногда бывает удобнее знак проекции определять иначе, а именно: если направление силы составляет острый угол с положительным направлением данной оси, то проекция силы на вту ось положительна. Если же направ гение силы составляет острый угол с отрицательным направлением данной оси, то проекция на вту ось отрицательна. Если сила параллельна оси, то проекция силы на эту ось равна модулю силы, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, какой угол (О или 180) составляет сила с положительным направлением оси.