Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 8

(22) В частном случае, если все силы плоской системы параллельны, то условия равновесия (20) таких сил выражаются не тремя, а двумя уравнениями: ~Р,„=О, причем ось Ок параллельна данным силам. аз В координатной форме эти условия выражаются следующими тремя уравнениями: Условия равновесия плоской системы параллельных сил можно выразить и в другой форме: ~тд(Р) =О, [, чу~та(Р,) =О, ) (24) причем прямая АВ не параллельна данным силам, Задачи на равновесие плоской системы сил можно разбить на два основных типа, а илгенно: 1) задачи на равновесие плоской системы параллельных снл; 2) задачи на равновесие плоской системы снл, расположенных как угодно. Задачи второго типа можно еще классифицировать по характеру связей, наложенных на рассматриваемое тело, подрачделяя их на следующие две группы: а) задачи, в которых линии действия реакций всех связей известны; б) задачи, в которых линия действия реакции одной из связей неизвестна.

Общие указания, сделанные в 9 6. гл, 1, о направлении реакций связей и решении задач на равновесие несвободного твердого тела, остаются такимн же и при решении задач этого параграфа. Чтобы задача была статически определима, число неизвестных реакций должно быть не больше трех, так как при равновесии твердого тела под действием плоской системы сил в общем случае можно составить три уравнения равновесия [уравнения (20) или (21), или (22)[. При составлении уравнений равновесия за центр моментов следует выбирать такую точку, через которую проходят линии действия двух неизвестных сил, тогда в уравнение моментов относительно этой точки войдет только одна неизвестная сила и ее легко будет определить из этого уравнения, Если данное тело находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил, то число неизвестных реакций не должно быть больше двух, так как в этом случае мы имеем только два уравнения равновесии [уравнения (23) или (24)[. Задачи типа ! Равновесие плосаой системы параллельных снл (задачи 99 — 94) Пример 18.

Однородная горизонтальная балка АВ = 1,5 м весом Р = 1500 н, заложенная между двумя опорами С и О, находится в равновесии под действием пары сил (Р'„ Р„) с моментом т = !000 и м. К концу В балки прикреплена веревка, перебро,пенная через блоки )т' и Е, другой конец которой за- 49 креплен неподвижно в точке Е. К центру подвижного блока Е подвешен груз весом (1 = 400 н. Определить реакции опор С и 1), если АС= 25 см, Со =30 см; трением иа блоках и в опорах пренебречь (рис.

34). Решение. Так как опоры С и 0 относятся к типу связей, указанному на рис. 16 (2), то реакции этих опор й и )ср направлены перпендикулярно к балке. Как видно из рисунка, силы, приложенные к балке, стремятся повернуть балку так, что давление балки на опору С направлено по вертикали вверх, поэтому реакция В направлена по К вертикали вниз; давление балки на опору 0 на- Ю правлено по вертикали С 0 г Е вниз, поэтому реакция йр опоры О направлена по Ю В вертикали вверх.

Реакция веревки Т, приложенная К с Р к балке в точке В, на- правлена вдоль веревки, Ряс. З4 т. е. по вертикали вверх. Так как натяжение веревки во всех ее точках одинаково, то сила Т равна натяжению части КЕ веревки, которое равно, очевидно, — . Следовательно, Т= — . Я 2 Таким образом, балка АВ находится в равновесии под действием параллельных сил Р, Т, К,, )хо, Е„Г„причем Р, .=- — Р„а потому составим два уравнения равновесия (23) для этой балки. Приравняв нулю алгебраическую сумму сил, приложенных к балке АВ, и сумму их моментов относительно точки С, получим два уравнения равновесия для определения двух искомых реакций В и Вр. При составлении этих уравнений необходимо учесть, что сумма моментов сил пары относительно любой точки не зависит от положения этой точки и равна моменту этой пары, поэтому л'с (Е1) + л~с (Ея) гп (Е1 Е,) = = — 1000 н.м.

Этот момент берем со знаком минус, потому что пара стремится повернуть балку по часовой стрелке. Алгебраическая сумма сил пары равна нулю, следовательно, имеем: 1) К вЂ” Кс — Р+Т=0, 2) ~по(Р) +гпс(Т) 'гас (Йо) ) лс(Е» Ея) ="' 50 Найдем теперь моменты сил Р, Т, гср относительно точки С: гнс (Л р) = )!рСО = О,З!! р иг ( 7') = Т С В =- Т 1,25 = 250 н лз, — /ЛВ пг (Р) =.— Р СО= — Р ~ — — АС ) = — Р 0,5 = — 750 и лг.

~ 2 Так как силы Т и йр стремятся повернуть балку вокруг точки С против часовой стрелки, то моменты этих сил относительно точки С положительны, а момент силы Р относительно точки С отрицателен, так как сила Р стремится повернуть балку вокруг точки С по часовой стрелке.

Подставив все заданные и найденные значевия сил и их моментов в уравнения равновесия, получим: 1) )2,— В,=(ЗОО; 2) 0,3 й р — 750 + 250 — ! 000 = О. Из второго уравнения находим !500 Кр = —, =5000 н, о,з Подставив значение Яр в первое уравнение, получим В = яр — 1300 =- 3700 и. Задачи лгала !! равновесие плоской системы сил в общем случае Первая группа задачи, в которых линии действия реакций всех связей известны (залачи ! га — ! 25) Пример 19. Однородная горизонтальная балка АВ несом Р= 120 н концом В опирается при помощи катков на гладкую наклонную плоскость с углом наклона а == ЗО', а в точках А и С балка соединена шарнирно с невесомыми стержнями АК и С!„шарнирно закрепленными в неподвижных точках К и !..

В точке !) под углом 5=45' к балке приложена сила Р=-60 н. Определить реакции в точках А, С и В, если А0=50В, ВС=2СА, стержень С!. вертикален, а стержень АК составляет с осью балки угол у=60' (рис. 35). Р е ш е н н е. Реакция йв в точке В направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков, а реакции 17л и Й невесомых стержней АК и С!. направлены вдоль этих стержней (см.

рис. !6 (5 и 7)1. Так как балка находится в равновесии б! под действием плоской системы непараллельных сил !Р, Р, Кю Кс, Ка), то нужно составить три уравнения равновесия, приравнивая нулю суммы проекций на оси Сх и Су всех сил, приложенных к балке, и сумму моментов зтих сил относительно Рис. 55 точки С. Вычисления моментов всех сил относительно точки С и проекций зтпх сил на оси Сх и Су расположим в табл. 5. Составим следующие три уравнения равновесия: 1) — Кз сов 60' — К з соз 60' + Р соз 45' = 0; 2) — Кх соз 30' — Р— К вЂ” Р соз 45'+ Кз соз ЗО' = 0; В 3)К вЂ” Р— — Р ! К Из первого и третьего уравнений имеем; К,+К.=Р1/2; (Кх+2Ка) з Р з + Р Уз ! Уй Решая последние два уравнения совместно, находим Кв я Кх.. Ка — — —.

— Р г' 2 /! — Р ~! 57,8 и, уй Кх =Р У 2 — Ка ~ 26,8 и. Подставив найденные значения Кл и Ка во второе уравнение равновесия, найдем: Кс = — Р— Р— + хКа — Кх) — = В А у'3 — — Р ! 3'г'3 — 2~! — — !35,5 н. г Щ1 ! ~сс 1 й- сц ~ ,~ ~сс ! с сс ~ сс. с с о си ~ ссс Ф с сс д \ с с м"о о Д с- О с Р с Ю с Цсс с са с с с о с Ф С х Ц цф сс о Е Д~ ) О с,с с с '1сс Ць О сс ц ! й- Ц ~! ~„ сс с~,~" ~ ) сс ! сК Ц П ас Щ с.с,с ~, Ц сс о с~.~сс М! Знак минус, полученньш для значения силы тсс, указывает, что эта сила имеет направление, противоположное принятому па рисунке, т. е.

стержень СЕ не растянут, а сжат. Вторая группа Задачи, в которых анния действия реакции одной из связей неизвестна (задачи 129 †(35) веревки во всех ее точках одинаково, то Т= ((, =- 10 и. Реакция неподвижного цилиндрического шарнира приложена в точке А, а модуль и направление этой реакции неизвестны. Поэтому выберем оси координат Ах и Ау, направленные, как указано ва рнс. 36, и разложим реакцию )тд на две составляю. щие Хд и Уд, направленные по этим осям. Следователь- А,Г но, балка АВ находится в равновесии под действием плоской системы непарал- Рнс. 36 лельных сил Р, Т, Хд, )'д, тто, (7„а потому составим три уравнения равновесия для этой системы сил. Эти уравнения упрощаются, если их составить в форме (22).

При этом за центры моментов следует выбрать такие точки, в которых пересекаются по две неизвестные силы, т. е. точку А н точку Е пересечения линий действия сил тд и (с„, Пример 20. Однородная балка АВ весом Р= 40 н концом А закреплена шарнирно, а промежуточной точкой 0 опирается свободно на гладкий неподвижный цилиндр. К концу В балки прикреплена веревка, перекинутая через неподвижный блок и несущая на свободном конце груз весом (',),=-!О и. В точке С к балке подвешен груз весом Я„= — 20 н.