Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 5

Рис. 21 Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей Ех и Еу, получим два уравнения равновесия: — 5, соз 30" — Р, соз 75' — 5, соз 30' = О, — 5, — 5, соз 60' — Р, соз 15' — 5, соз 60' = — О. Из этих уравнений находим: 5, = — 5, соз 60' — Р, сов! 5' — 5, соз 60', или 5,= — 20 2 (1 — = — 30ф 3 ~' з/ '- "("" сси 75" ' уз)' т. е. 5,= — 57,9 кн, 5, =- — 16,2 кн, Так как после решения уравнений равновесия мы получили отрицательные значения для неизвестных реакций 3, и Вм то эги силы иьгеют направления, противоположные выбранным нами на рис.

21, т. е. силы 3, и В, направлены к узлу Е н стержни 3 и 4 сжаты. Полученные результаты проверим геометрически, т. е. рассмотрим геометрический способ решения этой задачи. Для этого построим замкнутый многоугольник сил Р„Я„е 5„5,(рис. 22). Направления сил 5, и Б, найдем после то- 1 го, как обойдем йериметр построенного силового многоугольника с)елЫ, б причем направление этого обхода гг 4 определяется направлением известных сил Р, и Я,. Измерив стороны ггг и йг' силового многоугольника выбранной единицей масштаба, най- Рис. 22 дем модули искомых сил Я, и Я,. Так как углы между силами Р„З„З, и В, заданы, то можно найти углы силового многоугольника, а затем вычислить и длины двух неизвестных его сторон, что и рекомендуется выполнить студенту самостоятельно.

Чтобы определить, будут лн стержни 3 и 4 растянуты или сжаты, перенесем векторы В, и 3, с силового многоугольника на стержни ЕС и ЕК фермы; тогда силы 5, и 5, будут направлены к узлу Е, а потому эти стержни сжаты. П р и не ч а н и е. Прн аналитическом способе решения этой задачи заранее неизвестно, в накую сторону следует направлять реакции стержней. В таких случаях эти реакции можно направлять по соотнетстнуюшим стержням в ту или другую сторону произвольно. Если в результате решения уравнений рвнновесия для этих реакций получим положительные значения, то реакции были нзправлены верно Если же для какой-нибудь из зтих неизвестных сил получим отрицательное значение, то выбранное направление реакции нужно взыеиить на противоположное, В дальнейшем условимся неизвестную реакцию стержня, приложенную к шарниру [к узлу), напранлять по самому стсржто от этого узла.

Если, решая уравнения равновесна, получим для этой реакции положительное значение, то реакция направлена верно и, следовательно, с т е р ж е в ь р а с т я н у т, Если же дли нсномой реакции получим отрицательное значение, то зто укажет на то, что в действительности реакпин данного стержня имеет ваправление, противоположное принятому нами, т.

е, она направлена к у зл у и, следовательно, данный с те р же н ь сжат. Таким образом, при указанном условии относительно направления реакции стержня, по знаку этой реакции можно определять, будет ли данный стержень растянут или сжат. Пример 9. Груз весом Р = 60 кн подвешен при помощи каната, перекинутого через небольшой блок А и идущего к лебедке 0. Определить усилия в стержнях АС и ВА крана. Углы, определяющие направления стержней и каната, заданы на рис.

23. Решение. Рассмотрим равновесие узла А крана, к которому приложены сила Р, реакции стержней АС и АВ и сила натяжения каната АР. Обозначим реакцию стержня АВ через 5„ реакцию стержни АС через 5, и силу натяжения каната Аг9 через Т. я зг 'я — — Реакции стержней 5, и 5, на- И' правим вдоль этих стержней от Уг дз узла А; сила Т направлена, очевидно, вдоль каната от А к й, так как канат растянут. Кроме того, Т =- Р, так как при отсутствии трения в блоке натяжение канада та, перекинутого через этот блок, во всех точках одинаково, Так как узел А находится в равновесии под действием сил 5„ 5„Р, Т, то можно составить два рис уравнения равновесия этой системы сходящихся сил.

Выберем осн координат, как указано на рис. 23, найдем проекцию каждой силы на эти оси и составим два уравнения равновесия, приравнивая нулю сумму проенций всех сил на каждую из координатных осей: — 5, — 5, соз 60'+ Т соз 60' = О, — 5, сох 30' — Р— Т сов 30'=О. Из второго уравнения находим: — 5 = —.„-~ Т.= Р ( 1 + =1 129,1 кн, сои за" ! у" з г 5,= — !29,1 «н. Теперь из первого уравнения получаем: ( 2) 5, Т соз60' — 5, сох 60' !г зг' = Р ! ! + —.! =- 94,6 кн. Так как полученное значение силы 5, отрштательно, то сила 5, имеет направление, противоположное направлению, выбранному на рисунке, т. е. она направлена от С к А, и, следовательно, стержень АС сжат. Задачу можно решить и геометрически, построив замкнутый многоугольник сил Т, Р, 5„5, (рис. 24). Направления сил 5, и 5, найдем после того, как обойдем периметр построенного силового многоугольника, причем направ.

ление зтого обхода определяется направ- а лением известных сил Р и Т. Измерив стороны сб и с(а силового много- У угольника выбранной единицей масштаба, дд найдем величину искомых сил 5, и 5,. Так как углы между силами Р, Т, 5„5, заданы,то можно найти углы силового многоугольника, а затем вычислить и длины двух дд' неизвестных его сторон.

В самом деле, пз а' — с построения силового многоугольника сле- Юу дует, что Ряс. 24 ~асЬ = 90*,,/саа = 60', ~ Ьаа =- 60', а потому ~ аЬс= 360' — (90 +60'+ 60') =150'. Если соединим точки а и с, то треугольник аЬс будет равнобедренным, так как Р=Т, а потому ~ Ьас =- ~~ Ьса =- *: — ' — == 15'. Отсюда следует, что 4~ дса = 75', ~~ сас( == 45' и ас = 2аЬ соз 15' = 2Р соз 15'. Применяя теперь к треугольнику аг(с теорему синусов, получим~ Мабс' Мп76' Мя4Г* откуда 2Р соз 16' зм 76' мп 66' Чтобы определить, будут ли стержни АВ и АС сжаты или растянуты (рис.

23), перенесем векторы 5, и 5, с силового многоугольника на стержни АВ и АС, тогда сила 5,будетнаправлена к узлу А, а сила 5, будет направлена от узла А, а потому стержень АС сжат, а стержень АВ растянут. Вторая группа Задачи. где имеются связи, направление реакций которых неизвестно (зааачи 36 — 4Ц 43) Пример 1О. Жесткая рама закреплена в точке А при помощи неподвижного цилиндрического шарнира, а в точке В опирается катками на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а=-30'. На горизонтальном участке С0 рама находится под действием равномерно -1 й Рнс. Зб Рнс 25 распределенной вертикальной нагрузки интенсивности д =5 кн!м.

Определить реакции опор в точках А и В, если С1У =2а=!,2 м и ОК=Ь=а(р'3 — 1) (рис. 25). Решение. Найдем сначала равнодействующую 1',1 системы параллельных сил, приложенных к раме на участке С0, которая равна сумме слагаемых сил, т. е. (з= д 2а=б кн, и приложена в середине отрезка Сд). Реакцию опоры В обозначим через Вл. Она направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков. Реакция Йд неподвижного шарнира приложена к раме в точке А, но направление ее неизвестно.

Для определения линии действия силы Вд воспользуемся теоремой о трех уравновешенных непараллельных силах. Так как рама находится в равновесии под действием трех сил ф, тсн и В„, то линии действия этих снл пересекаются в одной точке. Продолжив линии действия сил 17 и /~„, найдем точку Е, через которую должна проходить сила В„, приложенная в точке А. Следовательно, прямая АВ является линией действия силы Кд. Теперь задача может быть решена двумя способами: геометрическим (построением замкнутого силового треугольника) и аналитическим (методом проекций). Построим замкнутый треУгольник аЬс сил Ц, Мв и йю в котоРом аЬ =1,Г, а стоРоны Ьс и ас соответственно параллельны прямым ВЕ и АЕ.

Тогда Ьс=Яв и сс~ = йх (рис. 26). Далее определим углы в построенном силовом треугольнике: ~аЬс=а. Из прямоугольного треугольника КЕВ находим: ВЕ = ..=2а, КВ Мп 30 КЕ= ВЕ соз30'=а г' 3, а потому ОЕ=КŠ— КО=а)ГЗ вЂ” Ь, нли ОЕ=а г' 3 — а( 3— — 1) =а. Отсюда А О =ОЕ и,l АЕО = ~ гаЬ =45'. В треугольнике аЬс ьс проведем прямую се, перпендикулярную к аЬ, тогда ае=се= —, Ье=йссоз30, и аЬ=ае+еЬ=Ьс (!+ У 3) 2 ас=ае) 2, а потому йв= — — 4,4 кн, 20 !+У 3 Кх — — 3,1 кн.

1' 2 А ! ! )г3 Рассмотрим теперь аналитический способ реп!ения. Начало координат выберем в точке О, ось у направим по прямой ОЕ, а ось х— по прямой АО. Проектируя силы ф, йх и )св на оси х и у. получим следующие два уравнения равновесйя: 1) ~ Х = йд соз 45' — Йв соз 60' = 0; 2) ~У'= — Я+ Ея соз 45'+ Ввсоз30'=О. Из первого уравнения находим Яя у 2= 1т'в. Тогда из второго уравнения имеем О=Я,— + г, —,= Л,(1+ 1' 3) —,. Ьс2 УЗ А 2 Отсюда 120 2Я "лх „г (~в 3 зак.

237 В заключение можно сделать следующие выводы: 1. Если линии действия всех реакций связей, наложенных на данное тело, равновесие которого рассматривается в задаче, извеатны, то прн геометрическом способе решения задачи нужно построить замкнутый силовой многоугольник, начав построение его с известных сил. Число неизвестных снл не должно быть больше двух. В случае, когда число всех приложенных к данному телу сил, включая и реакции связей, равно трем, задача сводится к построению силового треугольника по заданной стороне и заданным направлениям двух других его сторон.

После того как построен замкнутый силовой многоугольник, две неизвестные силы можно определить либо непосредственным измерением, либо вычислением. При тригонометрическом решении силового треугольника обычно применяется теорема синусов. Однако иногда бывает удобнее вместо теоремы синусов применить метод подобия, т.

е., исходя из условия задачи, найти такой треугольник с известными сторонами, который был бы подобен силовому треугольнику. Тогда легко определить неизвестные стороны силового треугольника из условия пропорциональности соответственных сторон подобных треугольников. 2.

При аналитическом способе решения нужно выбрать систему координатных осей, найти углы, образуемые каждой силой с этими осями, и определить проекции каждой силы иа координатные оси; затем нужно составить два уравнения равяоаесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей, и решить эти уравнения. Если в результате решения этих уравнений значение какой- либо неизвестной силы получилось отрицательным, то это значит, что эта сила имеет направление, противоположное тому, которое мы выбрали для нее при составлении уравнений равновесия. Следует иметь в виду, что если число всех сил, приложенных к данному телу, больше трех, то вычисление величины искомых в задаче сил тригонометрическим способом становится обычно громоздким. В этом случае предпочтительней аналитический способ решения. 3. Когда линия действия какой-либо реакции неизвестна, как, например, в случае неподвижного цилиндрического шарнира или подпятника, а число сил, приложенных к данному телу, равно трем, то, применяя теорему о пересечении в одной точке трех непараллельных уравновешенных сил, можно найти точку, через которую приходит эта неизвестная реакция.

Так как точка приложения неизвестной реакции задана, то тем самым определяется ее линия действия. Далее задача решается или геометрическим, или аналитическим способом, как это было указано в рассмотренных выше примерах. Задачи псина 11 Раиноиесне системы схохящихси сил, не лежащих и одной нлосности 1захачн 212, 2!З, 215, 217) В настоящем параграфе рассмотрим равновесие тела, к которому приложена система сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости. В общем случае задачи, относящиеся к равновеси1в неплоской системы сходящихся сил, проще решать аналитическим способом при помощи трех уравнений равновесия. При этом необходимо обратить внимание на нахождение проекций сил на каор.