Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 10

Представление о траектории движения частицы предполагает возможность одновременного точного измерения координаты и скорости частицы, что противоречит одному из фундаментальных положений квантовой механики — соотношению неопределенностей Гейзенберга. Волновые свойства мнкрочастиц в настоящее время находят широкое практическое применение, в частности при изучении структуры вещества. 2.1. Гипотеза де Бройля Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм материн.

Установление корпускулярно-волнового дуализма в оптических явлениях имело очень большое значение для дальнейшего развития физики. Впервые была выявлена двойственная корпускулярно-волновая природа физического объекта — элек- б1 (2.1) а длина волны 2кл ~в= Р (2.2) Как известно, плоская волна частотой щ распространяющаяся вдоль оси х, может быть представлена в комплексной форме г(х, г) = Аехр(-г(ои — ~х)~, 2к где А — амплитуда волны, а й = — — волновое число. Х Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси х, соответствует плоская волна Ч'(х, г) = Аехр — (Е~ — рх)), Ь (2.3) 62 тромагнитного излучения.

Естественно было ожидать, что подобная двойственность может не ограничиваться только оптическими явлениями. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. По гиложезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения.

Напомним, что энергия Е и импульс рф фотона связаны с круговой частотой оэ и длиной волны Х соотношениями (1.31), (1.43): Е=йа, рф =И=2ялЯ. Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице, обладающей энергией Е и импульсом р, соответствует волновой процесс, частота которого распространяющаяся в том же направлении и описывающая вол- новые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы, Е=лгц р=М, (2.4) где р — импульс частицы, а 1с — волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.

Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего следует отметить, что волны материи — волны де Бройля — в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волны де Бройля и4яе, т.

е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой. Пусть частица движется вдоль оси х, тогда условие постоянства фазы волны (2.3) имеет вид Ег — рх = сопзп Дифференцируя это соотношение, находим Поскольку Е=тс, а р=тп, где т — релятивистская масса г частицы, а и — ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение: с2 Юф,п = —. (2.5) 63 Так как и < с, то фазовая скорость волны де Бройля пф оказывается больше скорости света в вакууме с.

Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений. Найдем теперь групповую скорость о„р волны де Бройля. По определению, Преобразуя зто выражение, получаем а~(йго) йЕ а(м) Ф Связь между энергией Еи импульсом р частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением Е =р с + 2 2 2 +тес, где ес — масса покоя частицы. Дифференцируя это вы- 2 4 ражение, находим 2ЕИЕ=2рс Ир, ДЕ рс Таким образом, рс рс р 2 2 ГР -и 2 Е тс2 т т. е. групповая скорость волны де Бройля о, равна скорости движения частицы и.

Расчет длины волны де Бройля Лн для нерелятивистских и релятивистских частиц. Получим выражение для длины волны де Бройля Лв частицы, обладающей кинетической энергией Е„. В случае нерелятивистской частицы, скорость которой с к с, О~)Ю р Ек 2 2то Тогда, согласно соотношению (2.2), 2яр2 2пл Р (21лОЕ„ (2.6) р=-,1р.1р.+г ')=рь,я, 1р с 2222ос Подставляя это выражение в (2.2), получаем, что в случае реляти- вистской частицы 2яЬ )~в (2т~Е„1+ " 1+ Ек 2л2Ос~ 2асс~ (2.7) Длина волны де Бройля Хн микро- и макрообъектов. Чтобы более отчетливо представить себе порядок дебройлевских длин волн микрочастиц, найдем длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов У.

Для определенности будем считать электрон нерелятивистским. В этом случае, согласно выражению (2.6), 2кй 2~Й ,/2в~Е„,~2т~еУ (2.8) Подставляя в (2.8) численные значения констант, получаем Хв=11 — ' 10 м. Г50,4 -1о 11 и 65 В случае релятивистской частицы, когда скорость частицы о сравнима со скоростью света в вакууме с, связь между импульсом и кинетической энергией часпщы определяется соотношением Таким образом, при значении ускоряющей разности потенциалов от десятков вольт до нескольких киловольт дебройлевская длина волны электрона имеет порядок 10 м.

Напомним, что размеры атомов, а также расстояние между атомами и молекулами в твердых телах имеют тот же порядок — 10 го м. Вычислим теперь длину волны де Бройля у макроскопического, но достаточно малого объекта — пылинки, масса которой т = 10 г, аскоросгь о = 1 мы/с. Используя соотношение (2.2), -6 получаем 2ял б,б 10 „,~ 10-9 10-3 Найденная длина волны значительно меньше не только размеров самой пылинки, но и наименьшего известного в физике размера— радиуса атомного ядра, порядок которого 10 ~ м.

Поскольку никакого принципиального различия между микрон макрообъектами не существует, то возникает вопрос: в каких случаях волновые свойства играют решающую роль в поведении частицы, а в каких случаях они оказываются несущественными и их можно не учитывать? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аналогией с оптикой. Как известно, волновая природа излучения максимально проявляется в тех случаях, когда длина волны излучения Х сравнима с характерными размерами системы Ь, т. е.

Х - 1,. Если же Х «1., то волновые свойства излучения становятся несущественными и можно пользоваться геометрической, или лучевой, оптикой. В силу аналогии, существующей между механическими и оптическими явлениями, классическая ньютоновская механика соответствует геометрической оптике, а квантовая, или, как ее еще называют, волновая механика, — волновой оптике. Таким образом, волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы С, т. е. Хв- А.

Напомним, что в первом из разобранных выше примеров дебройлевская длина волны электрона Хв, размеры атома и рас- стояние между атомами в кристалле имеют один и тот же порядок. Следовательно, при взаимодействии электронов с атомами, а также при их движении в твердых телах волновые свойства электронов будут проявляться максимальным образом. В тех же случаях, когда Хв к Е, как, например, для рассмотренной выше пылинки, волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики. Этот вопрос более подробно разобран в задаче 2.5.

Преломление электронных волн в металле. Как известно, на электрон, находящийся в металле, действует электрическое поле, создаваемое положительно заряженными ионами, которые расположены в узлах кристаллической решетки. Это поле, вообще говоря, периодически меняется внутри металла. Усредненное по объему металла значение потенциала этого поля <ро называется внутренним потенциалом металла.

Для того чтобы вырвать электрон из металла, нужно затратить энергию, равную работе выхода А„которая связана с Зро соотношением А, =есзо. Если же электрон попадает в металл извне, то его энергия возрастает на величину, равную работе выхода. При этом изменяются фазовая скорость и дебройлевская длина волны электронных волн, т. е. на поверхности металла электронные волны испытывают преломление. Пусть электрон падает на металл из вакуума, тогда показатель преломления и электронной волны равен отношению фазовой скорости дебройлевской волны электрона в вакууме пф к фазовой скорости волны в металле м, в м ~фаз .

пе ~фаз 7 сфаз. Используя соотношение (2.5), получаем С27ОВ Юм и е 27ом св ' где ев — скорость электрона в вакууме; пм — скорость электрона в металле. Пусть первоначально электрон обладал кинетической энергией Е„, тогда кинетическая энергия электрона в метал- 67 ле будет равна Е„+ А,. Используя классическую связь между ско12Ек ростью и кинетической энергией частицы и = — ", получаем " шо Е„+А А Выражая кинетическую энергию электрона через ускоряющую разность потенциалов У, а работу выхода электрона из металла через внутренний потенциал <ро, приходим к следующему выражению для показателя преломления электронных волн: , ецио 1 ро (2.9) Согласно (2.9), показатель преломления л, может заметно отличаться от единицы лишь в случае электронов низких энергий (медленных электронов), для которых разность потенциалов У не слишком велика по сравнению с <ро. В случае электронов высоких энергий (быстрых электронов) У~<ро и и, лишь незначительно отличается от единицы.

Задача 2.1. При каком значении кинетической энергии Е, частицы погрешность определения длины волны де Бройля по нерелятнвистской формуле не превышает значения е = 1 %? Решите задачу: а) для электрона; б) для протона. Решение Относительная погрешность е определения длины волны де Бройля по нерелятнвнсгской формуле с учетом (2.6) н (2.7) имеет внд 1 3в Хв Е„ е= =1- 1+ —" 2в ~ 2шос ! Выражая отсюда Е„как функцию е, получаем 68 Так как по условию задачи в = О, 01 ~ 1, то, используя разложение в ряд Тэйлора, находим, что (1-в) = 1+ 2в. С учетом этого получаем Е„(в) = 2всс 2в = 4вгясс = 4вЕс, где Ес = тес — энергия покоя частицы. г Поскольку энергия покоя электрона Ес = 0,511 МэВ, то находим, что для электрона Е, = 20,4 кэВ. Это означает, что при кинетической энергии электронов вплоть до Е„= 20,4 кэВ погрешность определения Хв по нерелятивистской формуле не будет превышать 1 %.

В физическом эксперименте ускорение заряженных частиц осуществляется, как правило, в электрическом поле. Проходя ускоряющую разность потенциалов У, электрон приобретает кинетическую энергию Е„=е11. Для того чтобы кинетическая энергия электрона была равна найденному нами значению Е„= 20,4 кэВ, он должен пройти ускоряющую разность потенциалов У = 20,4 кВ. При меньшем значении У относительная погрешность определения дебройлевской длины волны Хв по нерелятивистской формуле (2.6) будет заведомо меньше 1 %. Поскольку энергия покоя протона Ес = 938,2 МэВ, то кинетическая энергия, при которой погрешность определения дебройлевской длины волны протона не превышает 1 %, Е„= 37,5 МэВ.