Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 6

Из всей совокупности фотонов выделим сначала фотоны, соответствующие излучению частотой оз, для чего введем их объемную концентрацию и„. Рассматривая три взаимно перпендикулязэных равноправных направления движения частиц, будем считать, что в направлении, перпендикулярном поверхности стенки сосуда с фотонным газом, движется одна треть всех фотонов. Из них лишь половина движется к стенке, а другая половина — от стенки. Поскольку фотоны движутся со скоростью с, то число фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, запишем как 1 Ф= — л с.

б Если поглощательную способность вещества стенки обозначить аехг, то из Впадающих фотонов Фз —— ащгФ поглотится стенкой, а М2 — — (1-а,„г)Ф отразится. Очевидно, что Уз+а — — Ф (рис. 1.11). Условие термодинамического равновесия системы Отраженные вещество — излучение требу- ~т Испускаемые ' Падающие ет, чтобы число фотонов Фз, д~з испускаемых с единицы поверхности в единицу времени, было равно числу поглощенных фотонов Жп Только при Уз — — Фз внутренняя энер- Ф1 гия тела не будет изменяться Поглощенные со временем, как и не будет изменяться со временем энер- р„,, тли Баланс фотонов вблизи погия излучения.

верхностн тела 37 И1 Рф+ Мз 2Рф+ ХзРф = 2(Ф1 + Из) Рф — — 2МРф. По второму закону Ньютона этот переданный стенке импульс определяет давление Р„, которое оказывает на стенку сосуда излучение частотой ох Следовательно, 1 1 1 Р = 2Ирф = — л, срф = — л еф = — и 3 3 3 (1.45) где и„— плотность энергии излучения с частотой щ Суммируя воздействие на стенку фотонов излучения различных частот, получаем формулу для результирующего давления фотонного газа, находящегося в равновесии при температуре Т: (1.46) Здесь и(Т) — интегральная плотность энергии излучения всевоз можных частот. Так как с учетом (1.7) и (1.16) и(Т) = — Н = — Т, 4 ~4п4 с с (1.47) то окончательно для давления фотонного газа получаем формулу (1.48) Р= — Т . Зс Здесь а — постоянная Стефана — Больцмана; с — скорость све- та в вакууме. 38 Любой поглощенный и излученный фотон передает стенке импульс рф, величина которого определяется формулой (1.43).

Отраженный фотон, изменяя направление своего движения на противоположное, передает стенке удвоенный импульс 2рф. Следовательно, за единицу времени единице поверхности стенки сообщается импульс, равный Итак, давление, которое оказывает фотонный газ„пропорционально четвертой степени его абсолютной температуры и не зависит от объема полости, в которой заключен фотонный газ, моделирующий в корпускулярной теории тепловое излучение, заполняющее полость. В частности, подставляя в (1.48) Т =10 К, по- 3 лучаем Р = 2,5.10 Па.

С повышением температуры давление фо- 4 тонного газа резко возрастает и при температуре Т =10 К достигает значения Р = 2,5.10 Па =2,5 10ы атм. Термодинамические характеристики фотонного газа Определим теперь внутреннюю энергию фотонного газа, заполняющего при температуре Т полость объема К С учетом формулы (1.47) находим У = и(Т)Р = — Т У.

4п 4 с (1.49) Поэтому для теплоемкости фотонного газа при постоянном объеме г' получаем выражение (1.50) --"+'""-1бпт~тт+1б Тз =а(1б Тз Отсюда, считая, что 5 ~0 при Т-эО, находим энтропию фотонного газа: Зс 39 Отметим, что в отличие от классического идеального газа, теплоемкость которого не зависит от температуры, теплоемкость фотонного газа пропорциональна кубу его абсолютной температуры. Применяя к фотонному газу известное термодинамическое соотношение йЯ = ТпБ = сШ + РФ1, с учетом (1.48) и (1.49) получаем Т Р =сопзг. з (1.52) (1.53) С учетом (1.48) это соотношение преобразуем к виду РУ ~~ =соим.

Тепловое излучение Вселенной. Из анализа соотношения (1.49) следует, что энергия излучения дает существенный вклад во внутреннюю энергию термодинамической системы при больших температурах. Одной из таких систем является высоко- температурная плазма. В таком состоянии вещества фотонный газ (излучение) наряду с газом частиц (электронов, ионов и др.) должен быть включен в рассмотрение как равноправный элемент системы. Многие свойства высокотемпературной плазмы можно объяснить, изучая взаимодействие фотонного газа с газом частиц. Интересный пример такого взаимодействия можно найти в современной космологической теории, описывающей ранние стадии эволюции Вселенной.

Эта теория утверждает, что вся Вселенная возникла приблизительно 10 — 20 млрд. лет назад в результате Большого взрыва. Взрыв образовал в очень малом объеме пространства горячий "котел", в котором при фантастически больших плотностях и температурах находилось все вещество Вселенной. По оценкам Г. Гамова, через 100 с после взрыва плотность вещества была в тысячи раз больше плотности воды, а температура (Т-10 К) 9 значительно превышала температуру в центре термоядерного взрыва. 40 Полученные термодинамические соотношения позволяют рассмотреть различные процессы, в которых может участвовать фотонный газ. В частности, из (1.48) следует, что для фотонного газа изотермический процесс (Т = сопзг) является одновременно и изобарическим процессом (Р = сонат). Если при сжатии или расширении фотонного газа его энтропия не изменяется (5 = сопзг), то в таком процессе газ не обменивается теплотой с окружающими телами (п(2 = О) и такой процесс является адиабатическим.

Из (1.51) следует, что уравнение алиабатического процесса для фотонного газа имеет вид В горячем огненном шаре материя существовала в виде высокотемпературной плазмы, состоящей из протонов, нейтронов, электронов, фотонов, нейтрино и их античастиц. Вещество в таком состоянии было непрозрачно для излучения, и излучение находилось в "плену" у вещества. Согласно теории А.А.

Фридмана, высказанной еще в 1922 г., после взрыва Вселенная начала расширяться. В результате расширения Вселенной температура вещества и излучения уменьшалась и через тысячу лет после взрыва достигла значения Т„= 3000 К. Плотность вещества во Вселенной к этому времени уменьшилась -17 3 до значения порядка р, =10 кгlм . В этих условиях электроны, протоны и нейтроны объединяются, образуя атомы водорода, гелия и других легких элементов. Среда, состоящая нз таких нейтральных атомов, становится прозрачной для излучения, и оно "отрывается" от вещества. Начиная с этого момента фотонный газ занимает весь объем Вселенной и расширяется вместе с ней.

Это расширение фотонного газа можно считать адиабатическим. Из соотношения (1.52) следует, что по мере роста объема расширяющейся Вселенной температура фотонного газа, заполняющего ее, будет уменьшаться. Простой расчет (см. задачу 1.6) показывает, что в результате такого процесса вся Вселенная к настоящему времени должна быть заполнена равновесным излучением с температурой около 3 К. Так как это тепловое космическое излучение представляет собой первичное излучение, зародившееся на ранней стадии эволюции Вселенной, то оно было названо известным астрофизиком И.С.

Шкловским реликтовым (от лат. ге11сшз — оставленный). Оценки показывают, что сейчас в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится порядка 700 фотонов реликтового излучения. В 1965 г. американские инженеры А. Пензиас и Р. Вилсон при отладке приемника радиотелескопа обнаружили слабый фоновый радиошум, приходящий нз космоса в виде равномерно распределенного по небесной сфере излучения с максимумом энергии на длине волны ~. = 0,96 мм.

Закон Вина (1.11) позволяет определить, что на такой длине волны находится максимум энергии равновесного теплового излучения при температуре Т =3 К. Так, в какой-то мере случайно, было обнаружено реликтовое тепловое излучение как след процессов, происходивших во Вселенной в далеком прошлом. 41 Открытие реликтового излучения (Нобелевская премия по физике, 1978 г.) является важным достижением современной науки.

Оно подтверждает правильность теории "горячей" расширяющейся Вселенной, описывающей эволюцию Вселенной в течение десятков миллиардов лет. Из этой теории следует, что на ранней стадии эволюции Вселенная существенно отличалась от современной и представляла собой сгусток сверхплотной плазмы и излучения очень высокой температуры, рожденных в момент Большого взрыва. Таким образом, физические законы, открытые в земных условиях, справедливы и для явлений в космических масштабах. Значимость такого вывода очень велика. Отметим также, что реликтовое излучение можно рассматривать как своеобразную выделенную систему отсчета во Вселенной, причем движение Солнечной системы относительно реликтового излучения может быть обнаружено экспериментально. Такая возможность обусловлена тем, что вследствие эффекта Доплера реликтовые фотоны, летящие навстречу наблюдателю, кажутся более энергичными, т.